张量分析第二章.ppt

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1、第二章 矢量代数和矢量分析在第一章中给出了Euclid矢量空间V。V中的元素是除度量大小的数量外还具有方向的量。这些量被称为矢量（按张量空间的一般叙述，矢量也被称为一阶张量）。这一章主要对具有给定标准正交坐标系 o；i1，i2，i3的Euclid矢量空间进行讨论。2.1 矢量集合的运算矢量集合的运算设r1，r2，r3是V的一组基底，由（1.3-2）式可知x V可在r1，r2，r3的基底上唯一地线性表示为：其系数xi(i=1,2,3)称为x在基底r1，r2，r3上的坐标。且记为（x1，x2，x3）。x在r1，r2，r3上的线性表示实质上是x的加法分解表示。即x是矢量 x1r1，x2r2，x3r3

2、 V 的矢量和。由平行四边形法则，x1，x2，x3是由平行性所确定（如图21）。x 3x 2x 1r 3r 2r 1图21投影：投影：对a、b V将b的始点平移至a的始点o；由b的终点作与a 矢量线垂直的垂线。且与a矢量交与a点；则a矢量的始点o指向a点的有向线段长度值称为b在a上的投影。abboa图22注意：注意：a矢量的始点o指向a点与a矢量方向相反，其投影值为负。a矢量的始点o指向a点与a矢量方向一致，其投影值为正。例1：解：给定二维矢量空间矢量x。试求在给定基底r1，r2（非正交）和i1，i2中的坐标和投影。x 1xx 2X 2X 1r 2r 1o(a)X 1x 1x 2X 2xi2i

3、1(b)图23在r1，r2基底上按平行四边形法则，可确定x的坐标为（x1，x2）。按投影法则可的x在r1，r2上的投影为X1，X2。或形式上记为（X1，X2）。如图23（a）所示。在i1，i2基底上，因 i1 i2，所以平行四边形法则所得四边形与投影法则所得四边形重合。显然x的坐标（x1，x2）和x在i1，i2上的投影（X1，X2）形式上相同。如图23（b）所示。设V的坐标系为o；i1，i2，i3，V中矢量的加法和矢量与数量的标量积按（1.1-3）和（1.1-4）定义，即对x，y V；，F有（2.1-3）（2.1-2）定义 x 与 y 的逆矢量（-y）的加法运算为 x 与 y 的减法运算（x

4、减 y 或 x 与 y 之差）在矢量的加法和减法运算中定义单位元素为：同时长度为1的矢量称为单位矢量。应当注意单位矢量元素和单位矢量的区别应当注意单位矢量元素和单位矢量的区别。例2：图 24 所示具有坐标系的矢空间 V 中矢量a、b。试求 2a+1.5b在o；i1，i2 中的表示。ox 2x 13ab32121图24解：例3：abx 2x 1(a)a-bx 2x 1(b)a -b-bax 2x 1(c)图25如图25（a）所示给定矢量a、b，根据平行四边形法则用几何作图给出ab矢量的几何表示。解：见图25（b）（c）定义数量积数量积 定义矢量积矢量积 定义混合积混合积 其中ij称为Kronec

5、ker符号。其中eijk称为Ricci置换符号。（2.1-4）（2.1-5）（2.1-6）（2.1-7）（2.1-8）Kronecker符号三维矢量空间 取值表：Ricci置换符号三维矢量空间 取值表：（2.1-9）（2.1-11）但应当特别注意的是：（2.1-10）例4：若i1，i2，i3是V的标准正交矢量。计算iiij(i,j=1,2,3)。解：综合以上各式可得：（2.1-12）证明矢量的叉积和混合积有以下结论：例5：1（2.1-13）2 3 4（2.1-14）（2.1-15）（2.1-16）证：1 2 3 4 例6：证明e恒等式：证：由（2.1-12）式有：i e 只有当 i=e 时为

6、1，其余为零。由(2.1-16)式：最后得：例7：a、bV。证明：证：bao 1oababi图26 对三维矢量空间ab的几何表示如图26所示。2.2 仿射（斜角）坐标系仿射（斜角）坐标系在三维矢量空间V 中不存在一组四个线性独立的矢量，但同时 V 中存在许多组三个线性独立矢量。V 中的任意一组三个独立的矢量都可以作为基底。与之相应的可以构造对应的坐标系o；r1，r2，r3。一般情况下 r1，r2，r3不是单位长度，且不一定两两正交。V中的坐标系o；r1，r2，r3称为仿射坐标系。当 r1，r2，r3均为单位矢量，且两两正交时称为标准正交坐标系。记为o；i1，i2，i3。从线性相关的概念，三维矢

7、量空间的任意矢量 a V 都能够在坐标系o；r1，r2，r3中线性表示为：是a在基底r1，r2，r3上的坐标。由于r1，r2，r3不在两两正交，因此对x，y V两矢量的点积只能表示为：而不能象标准正交基底那要表示为：仿射坐标系的对偶（或到逆）基底：设r1，r2，r3是V的一组基底，构造如下三个矢量：（2.2-1）并称r1，r2，r3是基底r1，r2，r3的对偶（或互逆）基底。同时对任意a V构造：（2.2-2）基底基底r1，r2，r3的对偶基底具有基本性质：的对偶基底具有基本性质：1正交性：正交性：（2.2-3）2r1，r2，r3线性无关线性无关（因此可作为V的基底）：证：1 同理可证：同理可

8、证：2 r1，r2，r3线性无关,上式化为：用r1，r2，r3点乘上式两边得：显然只有当时：r1，r2，r3线性无关。由对偶基底的基本性质2：是在对偶基底坐标系中的坐标。特别应当注意的是a在对偶基底上的坐标与式（2.2-2）定义的 a1，a2，a3 的区别(a1，a2，a3是由投影法则确定)如图（27）所示。a 2a 2a 1r 1r 2a 1图27对r1，r2，r3由（2.2-1）：同理可得r 2，r 3的对偶基表示。最后得：（2.2-4）与（2.2-1）比较可知r1，r2，r3是基底r1，r2，r3的对偶（或互逆）基底(r1，r2，r3和r1，r2，r3互为对偶基底)。按（2.2-2）式可

9、构造：（2.2-5）矢量空间V中互为对偶的基底是一组基底的两种不同的表达形式。对任意矢量 aV：r1，r2，r3是基底上：r1，r2，r3是基底上：（a）（b）由（2.2-2）和（2.2-1）得：（c）将（c）代入（a）得：（d）由（2.2-5）和（2.2-4）同样可得：（e）（f）由（d）和（f）式有：（2.2-6）Einstein求和约定：求和约定：仿射坐标系中上标上标和下标下标重复且仅重复一次表示从1到3求和。同是上标或同是下标重复且仅重复一次不表示求和。如：（2.2-6）式中a1,a2,a3(a1,a2,a3)不是 a 在 r1,r2,r3 (r1,r2,r3)中的坐标（平行四边法则）

10、的表示，而是 a 在 r1,r2,r3(r1,r2,r3)基矢量上的投影。且称 a1,a2,a3是 a 的协变分量；a1,a2,a3是 a 的逆变分量。r1,r2,r3 是 a 的协变基矢量；r1,r2,r3 是 a 的逆变基矢量。a 2a 2a 2a 2a 1a 1a 1a 1ar 2r 2r 1r 1图28例8：如图28所示基底r1，r2，r3。其中r3是垂直于 r1，r2所在平面的单位矢量。试确定 r1，r2，r3 的对偶基底；图中矢量a的坐标表示和协变、逆变分量表示。解：r1，r2，r3如图所示。由图中还可得：最后得：o；i1，i2，i3是V的标准正交坐标系。试求：例9：以矢量 为仿射

11、坐标系基矢量的对偶基底。在o；r1，r2，r3基底及其对偶基底上求：的协变和逆变分量表示。解：例10：r1=i2+i3，r2=i3+i1，r3=i1+i2。矢量a=2r1+r2+3r3，b=r13r2+2r3，=3r1+r2r3。试求：1 2 3 4 解：或 因此a、b、c又可表示为：1 2 3 4 在例10中协变基底和逆变基底存在关系 尽管r1，r2，r3和r1，r2，r3是V中两组线性无关的矢量。但它们是V中一组基底的两种不同表示方法。如果在V中给出两组基底 r1，r2，r3和 e1，e2，e3。那么e1，e2，e3作为V中矢量可以用基底r1，r2，r3表示为：称为e1在r1，r2，r3仿

12、射坐标系中的坐标。称为e2在r1，r2，r3仿射坐标系中的坐标。称为e3在r1，r2，r3仿射坐标系中的坐标。同样r1，r2，r3作为V中矢量可以用基底e1，e2，e3表示为（2.2-7）（2.2-7a）（2.2-7）和（2.2-7a）称为两组基底r1，r2，r3和e1，e2，e3之间的坐标基底变换。设r1，r2，r3；e1，e2，e3是V中的两组基底。两组基底之间满足（2.2-7）或（2.2-7a）变换关系。r1，r2，r3；e1，e2，e3是r1，r2，r3；e1，e2，e3的对偶基底。对任意aV有：（2.2-8）由 可得：（2.2-9a）同理由 还可得：将（2.2-9b）代入（2.2-9

13、a）得：利用Einstein求和约定。（2.2-7）（2.2-10）可表示为：（2.2-9b）（2.2-10）（2.2-11）（2.2-11）式给出了协变基底到协变基底的变换。同样也可得出协变基底到逆变基底；逆变基底到协变基底；逆变基底到逆变基底所对应的变换。在标准正交坐标系（r1，r2，r3 和 e1，e2，e3均是标准正交坐标系）中，由于 r1=r 1，r2=r 2，r3=r 3，和e1=e 1，e2=e 2，e3=e 3。协变基底与逆变基底相同。同时协变分量与逆变分量相同。这时（2.2-11）到（2.2-14）的表达式均可表达为：（2.2-12）（2.2-13）（2.2-14）以下给出这三种基底间变换的表达式：（2.2-15）例11：已知r1=i1，r2=i1+i2，r3=i1+i2+i3和e1=i1+i3，e2=i2+i3，e3=2i3。若矢量：a=r1+2r2+r3试求：1a在r1，r2，r3仿射坐标系中的协变分量a1，a2，a3。2a在e1，e2，e3仿射坐标系中的协变和逆变分量：解：由（2.2-1）式得：1 比较对应项可得：2由（2.2-1）式得：又 比较对应项得：由（2.2-11）式有：由（2.2-13）式有：由（2.2-12）式有：由（2.2-14）式有：