第一章利息的基本概念.ppt
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1、2022/12/251利息理论主讲人:张霞2022/12/252精算职业简介精算师的职业生涯被喻为“金领中的金领”。因为在发达国家,精算师既是商业保险界的核心精英,又可在金融投资、咨询等众多领域担任要职。精算职业在美国长期被评为第一或第二好的职业。我国保险法第八十五条规定:保险公司应当聘用经国务院保险监督管理机构认可的精算专业人员,建立精算报告制度。2022/12/253中国精算师考试体系简介中国精算师资格考试分为两个层次,第一层次为准精算师资格考试,第二层次为精算师资格考试。2011年起准精算师阶段共有八门课程,均为必考。A1数学、A2金融数学、A3精算模型、A4 经济学、A5 寿险精算、A
2、6 非寿险精算、A7 会计与财务、A8 精算管理。2022/12/254利息理论课程介绍金融领域的许多计算问题具有共同的数学特征和模型,大量的计算和分析实践的基础是现金流分析和货币的时间价值(累积和贴现)计算。例如:银行的资产负债分析、融资成本和投资收益分析、金融市场产品的定价和保险精算分析等。本课程的基本目的是使学生掌握基本的金融计算的概念、术语和原则,同时对一些基础性的金融工具进行现金流价值分析。2022/12/255参考书目S.G Kellison 著,尚汉冀译,利息理论,上海科学技术出版社,1995刘占国,中国精算师资格考试用书利息理论,南开大学出版社,2000李晓林编著,复利数学,中
3、国财政经济出版社,19992022/12/256第一章 利息的基本概念1.1 利息度量1.2 利息问题求解2022/12/2571.1 利息度量利息的基本概念利息的定义2022/12/258“利息”一词可以定义为向人借资本以供自用者给予出借资本者的报酬。这样,利息可被视为借款者付给出借者的租金,用以赔偿出借者由于不再能使用这笔出借的资本而蒙受的损失。从理论上说,资本和利息不一定要是同类的东西。例如,农夫A可以出借一台拖拉机给农夫B,用以收割B的小麦,而B则用收割到的小麦的一定的百分比给A作为回报。然而,在几乎所有的实际应用中,资本和利息都是用货币来表示的。2022/12/259利息是借款方支付
4、给贷款方的报酬;利息是掌握和运用他人资金所付的代价或转让货币使用权得到的报酬;利息是货币资本投资的收益。利息的定义2022/12/25101.1 利息度量利息的基本概念利息的定义几个常用的专业术语2022/12/2511几个常用的专业术语本金初始投资的资本金额租用期或投资期利用本金的时间长度计息期在投资过程中,相邻两次计算利息的时间间隔每一计息期一般是等长度的,如有:日、周、月、季、半年、一年或几年不等2022/12/25121.1 利息度量利息的基本概念利息的定义几个常用的专业术语利率的定义2022/12/2513利率的定义单位时间单位本金所获得的利息年利率的计算公式 利率的一般计算公式20
5、22/12/25141.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数积累值2022/12/2515积累值本利和、积累值、累积值、积存值、终值一笔投资资金到投资期末的本金和利息之和基本关系式:终值本金利息 影响积累值的主要因素借款额(本金);利率;借款时间(投资期的长度);计息次数;计息方式。2022/12/25161.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数积累值积累函数2022/12/2517积累函数积累函数随投资时间的长度 t 的变化而变化的积累值,记为A(t)单位积累函数单位本金的积累函数,记为a(t)单位积累函数的性质1)a(0)=12)一般的a(t)关于时间严格单调递增3)a(t)在
6、多数情况下是连续函数2022/12/2518i=2.50%i=2.50%时刻t累计函数a(t)=1累计函数a(t)=1+it累计函数a(t)=(1+i)t011.0001.000111.0251.025211.0501.051311.0751.077411.1001.104511.1251.131611.1501.160711.1751.189811.2001.218911.2251.2491011.2501.2801111.2751.3121211.3001.3451311.3251.3791411.3501.4131511.3751.4481611.4001.4851711.4251.52
7、21811.4501.5601911.4751.5992011.5001.6392022/12/25192022/12/25201.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数积累值积累函数积累函数与单位积累函数的关系2022/12/2521积累函数与单位积累函数的关系与的关系,其中P为本金表示投资在第n期赚取的利息量与具有类似的性质表示投资本金在第n期里的当期利率(实际利率)2022/12/25221.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数计息方法2022/12/2523计息方法单利复利标准复利一般复利连续复利2022/12/2524单利考虑投资1单位,使在每一时期中得到的利息为常数。1单
8、位的积累值在第一时期末为1+i,在第二时期末为1+2i,如此等等。对一般情形,得到线性积累函数a(t)1+it(对整数t0)象这种类型产生的利息称为单利。2022/12/2525相应单利的累积函数为时间的线性函数注 常数的单利率并不意味着常数的实际利率!因为相应于单利的第n 个时期的实际利率in为为什么在每一个时期中所获的利息金额相等可实际利率却越来越小呢?是一个关于n 的单调递减的函数,并且当n 的取值较大时实际利率in 将变得较小问题问题2022/12/2526注 当计算实际利率in时是把第n 期开始时的资本总额作为投资额来计算相应的所得利息与期初投资额之比。随着资本总额的不断增加常数的利
9、息必将导致单调递减的实际利率。注 上面的讨论虽然只是在整点时刻上进行观察,但由于所产生的利息被认为是在该期间的各个小区间上按比例产生的,从而上面给出的关于整数t 的单利的生成方式可以认为是对于所有的t0 都成立的利息产生方式。单利的直观表述不同的时期所获利息金额的大小只与所历经的时期的长短有关系而与该时期的具体位置无关2022/12/2527单利是由满足如下条件的连续函数a(t)所相应的累积函数所给出的:注 上式意味着经过时间t+s所产生的利息等于经过时间t 产生的利息与经过时间 s 产生的利息之和。或等价的从上述性质可以推出函数a(t)满足单利是由满足如下条件的连续函数a(t)所相应的累积函
10、数所给出:及2022/12/2528 例1-1 若单利年息为8,求投资2000元在4年后的积累值。注 每年所获得的利息金额都是160元解按照单利的计算公式有A(4)=2000a(4)=2000(1+8%4)=2640(元)其中所获得的利息金额为I=20008%4=640(元)注 利息金额=本金金额利率时期2022/12/2529计息方法单利复利标准复利一般复利连续复利2022/12/2530复利单利具有这样的性质:利息并不再投资以赚取附加的利息。例如,考虑$100的本金以10的单利投资2年。对于单利而言,投资者在两年中每一年末将收入$10,但实际上,投资者在第2年中是有$110可用以投资的。显
11、然,如果用10的利率投资$110将会更好,因为投资者将在第2年收入$11而不是$10。复利理论用假设得到的利息自动再投资来处理这个问题。“复”这个词在这里是指利息再投资以得到额外利息的过程。对复利而言,在任何时侯本金和到该时为止得到的利息,总是都用去投资。2022/12/2531计息方法单利复利标准复利一般复利连续复利2022/12/2532时间单位为一年,每年利息转换一次的复利一年终所得利息I1=Pi一年终本利和A(1)=P+Pi=P(1+i)二年终所得利息 I2=P(1+i)i二年终本利和 A(2)=P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)2t 年终本利和 A(t)=P(1+i)t本金为
12、P,年利率为i注 t 可以不是整数。注 隐含假设:所赚利息能以相同利率再投资。标准复利2022/12/2533计息方法单利复利标准复利一般复利连续复利2022/12/2534一般复利在标准复利中,计息期为一年,即每隔一年计息一次,并将利息转为本金计算复利。但在金融实务中,也存在着一年计息多次或多年计息一次的计息方式,即存在着一年利息转换多次或多年利息转换一次的复利。一般复利计息期不为一年的计息方式2022/12/2535一年分12期结算,每期利率为1期终利息1期终本利和2期终本利和12期终本利和t 年终本利和本金为P,年利率为i一年均分为m期(m为正整数),由以上推算法得:t 年终本利和202
13、2/12/2536计息方法单利复利标准复利一般复利连续复利2022/12/2537连续复利在一般复利计息方式中,当复利期的时间间隔趋近于零,即利息转换在每时每刻不断进行着,这种方式增长的利息称为连续复利。2022/12/25381.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数计息方法单利复利标准复利一般复利连续复利各种计息方法的比较2022/12/2539各种计息方法的比较(一)对终值进行比较2022/12/2540(一)对终值进行比较2022/12/2541 例1-2:某人2003年1月1日从银行借款1000元,假设年利率为12%,试分别以单利和复利计算:(1)2003年5月20日时,他需还银
14、行多少钱?(2)2005年1月1日时,他需还银行多少钱?(3)几年后需还款1500元?解:(1)从2003年1月1日到5月20日共计140天,故计息天数为139天,单利:(元)复利:(元)2022/12/2542单利:(2)从2003年1月1日到2005年1月1日为两年,单利:复利:复利:(3)(元)(元)(年)(年)2022/12/2543各种计息方法的比较(一)对终值进行比较(二)对积累函数的性质进行比较2022/12/2544(二)对积累函数的性质进行比较复利的可分离变量性复利是由满足如下条件的非零连续函数a(t)所相应的累积函数所给出的注 复利终值不受人为的利息转换行为的影响。注 单利
15、不具备该性质2022/12/2545各种计息方法的比较(一)对终值进行比较(二)对积累函数的性质进行比较(三)对所产生的利息量进行比较2022/12/2546(三)对所产生的利息量进行比较本金为P,年利率为i,则第n年里产生的利息量为:单利:注 与n无关,说明单利投资期内任何一年所产生的利息都相等2022/12/2547标准复利:一般复利:连续复利:注 复利在投资期第n年内的利息量随着n的增大而单调增加2022/12/2548各种计息方法的比较(一)对终值进行比较(二)对积累函数的性质进行比较(三)对所产生的利息量进行比较(四)对利率的变化情况进行比较2022/12/2549(四)对利率的变化
16、情况进行比较年利率为i,则第n年的利率为:单利:标准复利:一般复利:连续复利:2022/12/2550各种计息方法的比较(一)对终值进行比较(二)对积累函数的性质进行比较(三)对所产生的利息量进行比较(四)对利率的变化情况进行比较(五)复利计息方式的优缺点2022/12/2551(五)复利计息方式的优缺点优点体现了资金的时间价值每年的实际利率不变终值不受人为利息转换方式的影响符合资本增殖的内在规律,满足资金融通的客观要求缺点计算较复杂2022/12/2552各种计息方法的比较(一)对终值进行比较(二)对积累函数的性质进行比较(三)对所产生的利息量进行比较(四)对利率的变化情况进行比较(五)复利
17、计息方式的优缺点(六)单利计息方式的优缺点2022/12/2553(六)单利计息方式的优缺点优点计算较简单缺点实际利率逐年下降终值受人为因素影响不符合资本增殖的内在规律,不满足资金融通的客观要求2022/12/25541.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数计息方法实际利率与名义利率(一)实际利率2022/12/2555(一)实际利率(实质利率、有效利率)定义一定义一金额与此时期开始时投资的本金金额之比。实际利率i是某时期内得到利息的注投资到n期末的积累函数的值等于各期积累因子的乘积2022/12/2556定义二定义二实际利率i是指在某一时期开始时投资1单位本金时,在此时期内应获之利息,
18、此处利息是在期末支付的。或即注1“实际”这一术语用于利率是指利息在每一度量时期之末支付。这与“名义”利率不同,后者利息的支付比每个度量时期一次更为频繁。2利率和实际利率无量纲,常用百分比来表示。3本金在整个时期内视为常数,即在此期间既无新的本金加入也不抽回本金。4本课程中的实际利率由计息方式决定。货币金融学中的实际利率是扣除通货膨胀因素后的利率。2022/12/25571.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数计息方法实际利率与名义利率(一)实际利率(二)名义利率2022/12/2558(二)名义利率 储蓄、保险、债券投资等金融业务通常会涉及许多不同的期限,比如,目前银行开设的人民币整存整
19、取定期储蓄业务包括3个月、6个月、1年、2年、3年和5年六个档期,它们各自的利率相互之间如何比较?问题的提出:2022/12/2559现行人民币储蓄存款利率:项目年利率()活期存款0.81定期存款(整存整取)三个月半年一年2.61二年三年五年3.603.154.234.955.492022/12/2560分析:若存三个月的实际利率为2.61%而存1 年的实际利率为3.60%,恐怕就不会有人存1 年期的定期了。因为在1 年期间可以通过反复存取得到四个3 个月定期,这样的话,按照复利公式可以得到1 年下来1 个单位的本金的累积值为利息收入远远超过存一个1 年的定期。五年期定期的利率仅为5.49%,
20、而1 年期定期的利率为3.60%,难道还会有人存五年的定期吗?这样理解肯定是有问题的。2022/12/2561 实际利率考虑的是在一个计息期内所真实获得的全部利息与期初本金金额之比。名义利率考虑的是在一个单位时间内当支付利息的次数不止一次或不足一次时如何计算利率。一笔给定了单位时间上的利率的投资项目,由于计息方式不同,在该单位时间上所产生的实际利率也不同。我们称原给定的单位时间上的利率为名义利率。2022/12/2562 表示每一时期付m次利息的名义利率,其中m是l的正整数 指一个每 时期支付一次的利率,也就是说,对于每 时期付的利息是 ,而不是 注每一时期 的名义利率就等于每 时期 的实际利
21、率2022/12/2563时间点:利息量:积累值:2022/12/25642 年期定期2 年的实际利率为3 年期定期3 年的实际利率为5 年期定期5 年的实际利率为1年期定期1 年的实际利率为半年期定期半 年的实际利率为三个月定期三个月的实际利率为2022/12/2565期限 银行挂牌利率等价年实利率0.252.61%2.64%0.53.15%3.17%13.60%3.60%24.23%4.14%34.95%4.72%55.49%4.97%2022/12/2566 例1-3 有以下两种5 年期的投资选择:A 年利率7%,每半年计息一次;B 年利率7.05%,每年计息一次。试比较两种选择的收益。
22、解方法一:比较等价的年实利率已知方法二:比较实际收益结论:A收益高2022/12/2567 人民币储蓄按存款期限不同分为活期储蓄和定期储蓄两大类,定期储蓄又包括了整存整取、零存整取、整存零取、存本取息、定活两便等。补充银行储蓄常识 活期储蓄存款由储蓄机构发给存折,凭存折存取开户后可以随时存取。活期储蓄存款帐户每年结算利息四次,分别在3 月、6月、9月和12月的21 日,利息并入本金一并生息。整存整取定期储蓄存款由储蓄机构发给存单,存期分3个月、半年、1年、2年、3年、5年六档期,本金一次存入,到期凭存单支取本息。各种储蓄存款除活期(存折)年度结息可将利息转入本金生息外,其它各种储蓄不论存期如何
23、,一律于支取时利随本清,不计复息。不足一个计息期的活期储蓄按单利计息。2022/12/2568 按储蓄管理条例规定存款的计息起点为元,元以下角分不计利息。利息金额算至分位,分以下尾数四舍五入。定期储蓄存款提前支取的,按支取日挂牌公告的活期储蓄存款利率计付利息。部分提前支取的,提前支取的部分按支取日挂牌公告的活期储蓄存款利率计付利息,其余部分到期时按开户日挂牌公告的整存整取定期储蓄存款利率计付利息,部分提前支取以一次为限。存期的计算采用算头不算尾的方法,即是从存款存入银行的当日算起直至取款日前一天为止,取款当日不计利息。2022/12/2569 除约定自动转存外,定期储蓄存款过期支取的其过期部分
24、的利息按活期存款计算。例:一年期定期储蓄挂牌利率为3.60%,税后实际利率为 从1999 年11 月1 日起,储蓄存款利息所得按照每次取得的利息所得额征收20%的个人所得税。定期储蓄存款在存期内如遇利率调整,仍按存单开户日挂牌公告的相应的定期储蓄存款利率计算利息。活期储蓄存款在存入期间遇有利率调整按结息日挂牌公告的活期储蓄存款利率计算利息。2007年8月15日起,利息税调整为5。2022/12/25701.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数计息方法实际利率与名义利率现值与贴现(一)现值与现值函数2022/12/2571(一)现值与现值函数 在实务中常常要回答诸如投资者最初应投资多少本金
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