固体物理习题答案.ppt

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1、第二章 习题答案3解解:（c)衍射先只出现在同时满足以下二个方程的方衍射先只出现在同时满足以下二个方程的方向上：（向上：（1）acos1=n,(2)bcos(2)bcos2 2=m=m (为二个方向矢量）为二个方向矢量）所以在二个锥面的交线上出现衍射极大。当底板所以在二个锥面的交线上出现衍射极大。当底板/原子面时，衍射花样为二个锥面的交线与底板原子面时，衍射花样为二个锥面的交线与底板的交点。的交点。（d）反射式低能电子衍射反射式低能电子衍射(LEED)中，只有表面中，只有表面层原子参与衍射，故为二维衍射，衍射点的周期层原子参与衍射，故为二维衍射，衍射点的周期大小与晶体表面原子排列方向上周期大小

2、成反比大小与晶体表面原子排列方向上周期大小成反比。图图1 图图24 解：解：(a)(b)(c)倒易矢量：倒易矢量：离原点最近的八个倒易格点（离原点最近的八个倒易格点（hkl):上述八个矢量的垂直平分面，形成了第一布里渊上述八个矢量的垂直平分面，形成了第一布里渊区。区。5 解：解：8:解：解：（a）金刚石晶胞中的八个原子位置为：金刚石晶胞中的八个原子位置为：（1）对于后一项来讲为对于后一项来讲为FCC结构因子，不为零结构因子，不为零的条件是为的条件是为hkl全奇或全偶。全奇或全偶。（2）对于第一项而言，是由于复式格子错）对于第一项而言，是由于复式格子错位（沿对角线）位（沿对角线）1/4距离而产生

3、，不为零条距离而产生，不为零条件要求：件要求：(h+k+l)/2=2n,即即(h+k+l)=4n因此，得到因此，得到 Fhkl20的条件为：的条件为：hkl 为全偶，且为全偶，且h+k+l=4nhkl为全奇为全奇,即下述衍射线会出现即下述衍射线会出现:(1,1,1)(2,0,0)(2,2,0)(3,1,1)(2,2,2)(4,0,0)第三章第三章 习题答案习题答案2 解：解：平衡时，平衡时，dutot/dR|R=R0=0，得得此时设此时设对对fcc结构结构:Afcc=14.45392,Bfcc=12.13188对对bcc结构：结构：Abcc=12.2533,Bbcc=9.11418而而取取fc

4、c结构更稳定。结构更稳定。6解：当解：当 KCl 取取 ZnS 结构时，晶体总相互作用结构时，晶体总相互作用能为能为已知：已知：N=6.023*1023/mol,=0.326埃，埃，ZnS=1.6381,（见（见P103)为为NaCl结构时，结构时，Z=2.05*10-8erg,Z=6当为当为ZnS 结构时，结构时，Z=4,Z=（4/6）*2.05*10-8erg设设ZnS 结构时，其晶格常数与结构时，其晶格常数与NaCl结构相同，结构相同，（为原子最近邻距离）（为原子最近邻距离）即即 a=6.294埃（见埃（见P20，图图20配位数为配位数为6，参见表，参见表10，表，表11，a=2*1.3

5、3+1.81=6.2埃埃），），3 31/21/2a/4=2.72a/4=2.72埃（为原子最近邻距埃（为原子最近邻距离）离）而由表而由表6知，知，KCl 取取 NaCl结构时结构时，取取fcc结构更为稳定。结构更为稳定。第四章第四章 习题答案习题答案1 解解:(a)只考虑四个近邻时，其运动方程为：只考虑四个近邻时，其运动方程为：Md2ul,m/dt2=cul+1,m+ul-1,m-2ul,m+ul,m+1+ul,m-1-2ul,m(b)设该方程有如下形式的解：设该方程有如下形式的解：ul,m=u0ei(lkxa+mkya-wt)式中：式中：a=最近邻原子距离最近邻原子距离 代入运动方程有：代

6、入运动方程有：w2M=-c(eikxa+e-ikxa+eikya+e-ikya-4)=2c(2-coskya)（c）由上式可知，由上式可知，kxa,kya 的单值范围为：的单值范围为：kxa(-,kya(-,亦即：亦即：-/a-/ak kx x/a/a,-/a-/ak ky y/a/a 全部独立解区域为第一布里渊区。全部独立解区域为第一布里渊区。当当 k=k=k kx x,k,ky y=0=0 时，时，w w2 2=2c(1-coska)/M=2c(1-coska)/M 当当 k kx x=k ky y 时时，w w2 2=4c(1-cosk=4c(1-coskx xa)/M=4c(1-cos

7、ka/2a)/M=4c(1-coska/21/21/2)/M)/M（d）当当 ka1时，时，因为因为cosx1-x2/2,所以所以w w2 2=2c2-(1-k=2c2-(1-kx x2 2a a2 2/2)-(1-k/2)-(1-ky y2 2a a2 2/2)/M=ca/2)/M=ca2 2(k(kx x2 2+k+ky y2 2)/M)/M,w=(caw=(ca2 2)1/2.1/2.(k(kx x2 2+k+ky y2 2)1/21/2=(ca=(ca2 2/M)/M)1/2.1/2.k k,群速度：群速度：v=v=dw/dkdw/dk=(ca=(ca2 2/M)/M)1/21/2 a

8、 aa aL-1,mL,mL+1,mL,m+1L,m-14 解：解：设有如下形式的解：设有如下形式的解：代入（代入（1）得：）得：由有解条件得到：由有解条件得到：当当 时，（时，（2）式变为：）式变为：，解为解为（1）当）当 时，得到时，得到 ，与，与 v=v，即必须有即必须有u=0,v=v。（2）当当 时，得到时，得到 u=u，即即必须有必须有u=u,v=0。即无论是光学支还是声学支，在即无论是光学支还是声学支，在 处，其二类原子振动状态为：一类原子振动时，处，其二类原子振动状态为：一类原子振动时，另一类原子保持不动。另一类原子保持不动。6解：设一维原子链如下所示：解：设一维原子链如下所示：

9、运动方程为：运动方程为：设有如下形式的解：设有如下形式的解：（2）代入（）代入（1）有：）有：有条件解为：有条件解为：即即 （1）当）当 k=0 时，时，（2）当）当 k=/a 时，时，（3）色散关系示意图：）色散关系示意图：第五章第五章 习题答案习题答案3.解：（解：（a）由（由（4.29）知声子振幅的平方值为：）知声子振幅的平方值为：u02=2(n+1/2)h/Vw,振幅平方的零点值为：振幅平方的零点值为：u0i2=(h/V).(1/wi)，原子的位移量的方均值为原子的位移量的方均值为u0i2/2。位移平均值位移平均值=对全部本征振动频率求和对全部本征振动频率求和后后的结果：的结果：在在D

10、ebye 近似下，可用积分代替求和，上式变为：近似下，可用积分代替求和，上式变为：wD 为为Debye截止频率截止频率 （对于某一偏振：由（对于某一偏振：由（5.21）知）知 D=Vw2/22v3，对于三个方向上，要乘因子对于三个方向上，要乘因子“3”）（b）对于一维晶格，由（对于一维晶格，由（16）式知：）式知：D(w)=L/vv 即即 或或 是激发的。是激发的。考虑应变的方均值：考虑应变的方均值：=ki2u0i2/2 作为均方应变时，作为均方应变时，只考虑纵振动时，取只考虑纵振动时，取D(w)=L/vv，且且 w=kv，有有 （利用（利用 V=NM）即虽然即虽然 发散，但发散，但 却有限。

11、却有限。4.解：（解：（a）在）在Debye近似下，一维单原子晶格的近似下，一维单原子晶格的平均热能为：平均热能为：下面求下面求 D(w)的表达式。由的表达式。由 ，对于线，对于线性原子链，当仅考虑最近邻原子间的相互作用时，性原子链，当仅考虑最近邻原子间的相互作用时，其色散关系（其色散关系（49 a）知：知：w2=wm2.sin2(ka/2)(3)(3)则 dw/dkdw/dk=a/2=a/2.w wm m.cos(ka/2)cos(ka/2)=a/2 =a/2.w wm m.(1-sin(1-sin2 2(ka/2)=a/2(w(ka/2)=a/2(wm m2 2-w-w2 2)1/21/2

12、(4)(4)将（将（5）代入（）代入（2）式有：）式有：式中式中=hwhwm m/k/kB B=hv=hv0 0/k/kB Ba a，为有效为有效Debye温度，温度，在在 T 时，时，(b)层状晶体，当层间相互作用很弱时，可视为层状晶体，当层间相互作用很弱时，可视为无相互作用的二维原子层的叠加。按二维晶体情无相互作用的二维原子层的叠加。按二维晶体情况来处理：况来处理：因为因为D(w)=D(w)=dN/dwdN/dw=(L/2)=(L/2)2.2.d(kd(k2 2)/dw)/dw=(L/2)=(L/2)2.2.d(w/v)d(w/v)2 2/dw=(L/2)/dw=(L/2)2.2.2w/v

13、2w/v2 2ww 设设 D(w)=Aw,由于由于 （层状三维）（层状三维）即即 即即(w)=6N/w(w)=6N/wD D2.2.w(9)w(9)代入（代入（2）得：）得：其中其中D D=hwhwD D/k/kB B，当当 TTD D 时，时，第六章第六章 习题答案习题答案1.解：解：T=0K 时，时，V 中中 N 个自由电子总能量为个自由电子总能量为每个状态在每个状态在 K 空间所占体积为空间所占体积为 3 3k=8k=83 3/V,/V,3 3k0k0 时，用积分代替求和：时，用积分代替求和：而费米球内容许电子数为：而费米球内容许电子数为：N=2N=2.(4k(4kF F3 3/3)/3

14、).V/(2)V/(2)3 3=k=kF F3 3V/3V/32 2 代入（代入（2）式有）式有u u0 0=3N=3NF F/5,(/5,(F F=h=h2 2k kF F2 2/2m)/2m)3.解：在解：在 K 空间，空间，kk2 2 费米圆内，考虑到自旋费米圆内，考虑到自旋后，容许的状态为：后，容许的状态为：N=2N=2.kk2 2A/(2)A/(2)2 2=k=k2 2A/2A/2电子气浓度：电子气浓度：n=N/A=kn=N/A=k2 2/2,/2,A=LA=L2 2为为面面积积。由由=h=h2 2k k2 2/2m/2m 得：得：n=(2m/hn=(2m/h2 2)/2=m/h)/

15、2=m/h2 2 D()=D()=dn/ddn/d=m/h=m/h2 2，即即 D()与与 无关。无关。由由 可以求出化学势可以求出化学势 u。5.解：单位体积内解：单位体积内He3 的数目：的数目：He3 是费米子是费米子,故故有有n=/m=0.081g.cm-3/3mp0.081g.cm-3/5*10-24g=1.62*1022.cm-3 费米能：费米能：F=h2/2m.(32n)2/36.8*106.8*10-16-16erg=4.3*10erg=4.3*10-4-4evev费米温度：费米温度：T TF F=F F/k/kB B=4.3*10=4.3*10-4-4/8.617*10/8.

16、617*10-5-54.9K4.9K!F F=h2/2m.(32n)2/3=1.0552*10-54/(2*5*10-24).(3*3.142*1.62*1022)2/3=1.113*10-31*61.3*1014=6.82*10-16erg=6.82*10-16/(1.6*10-12)ev=4.26*10-4ev(1ev=1.6*10-12erg)第七章第七章 能带习题答案能带习题答案1.解：解：（a）设二维晶格点阵的晶格常数为设二维晶格点阵的晶格常数为 a,则倒易空间的基矢为：则倒易空间的基矢为：在在 A 点的波矢为：点的波矢为：在在 B 点的波矢为：点的波矢为：能量：能量：A=h2(KA

17、x2+KAy2)/2m=h2/2m.2(/a)2 B=h2/2m.(/a)2 所以所以A=2=2B（b）对于三维立方晶格来说，倒格子基矢为：对于三维立方晶格来说，倒格子基矢为：对第一布里渊区：对第一布里渊区：能量：能量：A=h2(KAx2+KAy2+KAz2)/2m=h2/2m.3(/a)2 B=h2/2m.(/a)2 所以所以 A=3=3B 第一布里渊区第一布里渊区(a)第一布里渊区第一布里渊区(b)0A-/a-/a/a/a0BA（c）设二价金属具有简单立方晶格结构设二价金属具有简单立方晶格结构由自由电子理论知其费米面应该为球面，而第一由自由电子理论知其费米面应该为球面，而第一布里渊区的内切

18、球体积为：布里渊区的内切球体积为：V=4/3/3.(/a)3,而而态密度为：态密度为：2.V/(2)3 3,球内所容纳的电子数为：球内所容纳的电子数为：4/3/3.(/a)3.V/(2)3 3=N/3=1.047N=N/3=1.047N即内切球内只能容纳即内切球内只能容纳 1.047N 个电子，相当于可个电子，相当于可容纳每个元胞中容纳每个元胞中2 个电子的个电子的1.047。其余的电子将。其余的电子将 填在第一布里渊区内余下的状态处，形成绝填在第一布里渊区内余下的状态处，形成绝缘体缘体。但实际上，但实际上，A 点能量点能量=3B 点能量，点能量，A A 太高，电子趋向于占据第二布里渊区和第一

19、、太高，电子趋向于占据第二布里渊区和第一、第二区重叠的区域，能量出现重叠后便具导第二区重叠的区域，能量出现重叠后便具导电性，二价金属多出现能带重叠现象。电性，二价金属多出现能带重叠现象。2.解：空点阵近似（解：空点阵近似（P 217）：）：把实际能带结构把实际能带结构全部表示在第一布里渊区内，自由电子近似。全部表示在第一布里渊区内，自由电子近似。fcc 的倒格子是的倒格子是 bcc，倒格矢量为：倒格矢量为：自由电子能量：自由电子能量：第一带：第一带：G=0,kG=0,k第一布里渊区第一布里渊区带底：带底：1 1(000)=0,A(000)=0,A点点A A(1/2,1/2,1/2)=h(1/2

20、,1/2,1/2)=h2 2/2m/2m.3(3(/a)3 3 下面的计算中以下面的计算中以 A 点能量为基本单位，点能量为基本单位，上能量：上能量：k kx x=k ky y=k kz z=k,=k,1 1(kkk)=h(kkk)=h2 2/2m.3k/2m.3k2 2=(a/)=(a/)2.2.k k2.2.A A 第第 23 带带 ：G0,G=2G0,G=2/a(111)第第2带带，G=2G=2/a(TTT)第第3带带 当当 k kx x=k ky y=k kz z=0=0 时时2,32,3(000)=h(000)=h2 2/2m/2m.3 3.(2(2/a)2=4A A 在在上，上，2

21、,32,3(kkk)=h(kkk)=h2 2/2m/2m.3 3.(k(k+22/a)2 第第46 带带,G=2/a(T11),2/a(1T1),2/a(11T)G=2/a(T11),2/a(1T1),2/a(11T)当当 k kx x=k ky y=k kz z=0=0 时，时，4,5,64,5,6(000)=h(000)=h2 2/2m/2m.3 3.(2(2/a)2=4A A ：4,5,64,5,6(kkk)=h(kkk)=h2 2/2m2(k+2/2m2(k+2/a)2+(k-22/a)2 第第79带带:G=2/a(11T),2/a(T1T),2/a(TT1)G=2/a(11T),2/

22、a(T1T),2/a(TT1)同同46带：带：7,8,97,8,9(kkk)=(a/)(kkk)=(a/)2 2/3/3.2(k+22(k+2/a)2+(k-22/a)2A A 第第1012带：带：G=(200),(020),(002)G=(200),(020),(002)：10,11,1210,11,12=(a/)=(a/)2 2/3/3.(k+4(k+4/a)2+2k2 第第1315带：带：13,14,1513,14,15=(a/)=(a/)2 2/3/3.(k-4(k-4/a)2+2k2 第九章第九章 习题答案习题答案1.解：解：第一布里渊区见下图第一布里渊区见下图kxky2/a2/3a2.解：（解：（1）（2）费米半径费米半径kF：2.kF2/(2)2 2/ab=z=1,/ab=z=1,（z为原子价数）为原子价数）二维自由电子气能量：二维自由电子气能量：（取（取0=h2/2m.2/4埃为单位）埃为单位）在在 kx 方向上，因为方向上，因为ky=0,故有故有 在在ky 方向上，方向上，kx=0,有有与与 kx 不同，第一布里渊区为不同，第一布里渊区为正好比正好比 kx 压缩了一半，不再画出。压缩了一半，不再画出。