高等数学课件D12_4一阶线性微分方程.ppt

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1、一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程二、伯努利方程二、伯努利方程 第十二章 12/25/2022高等数学课件一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x)0,若 Q(x)0,称为非齐次方程非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程齐次方程;机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022高等数学课件对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022

2、高等数学课件例例1.解方程 解解:先解即积分得即用常数变易法常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022高等数学课件例例2.求方程的通解.解解:注意 x,y 同号,由一阶线性方程通解公式通解公式,得故方程可变形为所求通解为 这是以为因变量,y为 自变量的一阶线性方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022高等数学课件在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0例例3.有一电路如图所示,电阻 R 和电解解:列方程.已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为因此有即初始条件:由回路电压定律:其中电源求电流感

3、L 都是常量,机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022高等数学课件解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022高等数学课件暂态电流稳态电流因此所求电流函数为解的意义:机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022高等数学课件二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方程方程 伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022高等数学课件例例4.求方程的通解.解解:令则方程变形为其通解为将代入

4、,得原方程通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022高等数学课件内容小结内容小结1.一阶线性方程方法1 先解齐次方程,再用常数变易法.方法2 用通解公式化为线性方程求解.2.伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022高等数学课件思考与练习思考与练习判别下列方程类型:提示提示:可分离 变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022高等数学课件P281 1(3),(6),(9);2(5);6;7(3),(5)作业第五节 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022高等数学课件备用题备用题1.求一连续可导函数使其满足下列方程:提示提示:令则有利用公式可求出机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022高等数学课件2.设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解解:1)先解定解问题利用通解公式,得利用得故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022高等数学课件2)再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3)原问题的解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/25/2022高等数学课件