抽象代数.ppt

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1、第一章群第一章群12/25/202211.群的概念和例子群的概念和例子 v首先复习一下群的概念首先复习一下群的概念v定义定义设是一个设是一个非空集合，如果上非空集合，如果上定义了一个运算满足定义了一个运算满足v（）（）结合律结合律 a,b,cA 有有(ab)c=a(bc)；v（）有单位元有单位元：aA有有ea=ae=a；v（）有逆元有逆元 aG，有，有 b使得使得v ab=ba=ev(其中其中 b 称为称为 a 的的逆元逆元，记为记为 a)。v则称是一个群则称是一个群v注意注意：记住验证运算的封闭性！：记住验证运算的封闭性！12/25/202221.群的概念和例子群的概念和例子v例例实集实集、

2、有理数集、整数集关于有理数集、整数集关于数的加法都是数的加法都是交换群交换群（满足交换律的群）；（满足交换律的群）；v关于数的乘法怎么样？关于数的乘法怎么样？v例例正实集正实集、正有理数集正有理数集关于数的关于数的乘法都是交换群；乘法都是交换群；v正整数集正整数集关于数的乘法怎么样？关于数的乘法怎么样？12/25/202231.群的概念和例子群的概念和例子v例例设设是是n次单位根集次单位根集即方程即方程xn=1的全部根之集，的全部根之集，不难验证不难验证:n关于数的乘法是一个群关于数的乘法是一个群叫做叫做n次次单位根群。单位根群。12/25/202241.群的概念和例子群的概念和例子v例例域上

3、的全体域上的全体n阶可逆方阵阶可逆方阵GLn(F)关关于矩阵的乘法构成一个群，称为上的于矩阵的乘法构成一个群，称为上的n阶阶一一般线性群般线性群 v证明证明：封闭性可逆矩阵的乘积还是可逆矩封闭性可逆矩阵的乘积还是可逆矩阵，即阵，即,GLn(F)，有，有ABGLn(F)v矩阵的乘法满足结合律；矩阵的乘法满足结合律；v单位矩阵就是单位元；单位矩阵就是单位元；v GLn(F)，可逆，可逆，A就是的逆元就是的逆元12/25/202251.群的概念和例子群的概念和例子v例域上的行列式为域上的行列式为1的全体的全体n阶方阵之集阶方阵之集SLn(F)关于矩阵的乘法构成一个群，称为上关于矩阵的乘法构成一个群，

4、称为上的的n阶阶特殊特殊线性群线性群v例6实数域实数域R上的全体上的全体n阶正交矩阵之集阶正交矩阵之集On(R)关于矩阵的乘法构成一个群，称为关于矩阵的乘法构成一个群，称为n阶阶正交正交群群12/25/202261.2 变换群变换群v对对称称群群：非非空空集集M到到自自身身的的一一一一对对应应(双双射射,可可逆逆变变换换)全全体体之之集集SM关关于于映映射射的的合合成成运运算算构成一个群构成一个群,称为称为M上的对称群上的对称群.v证明：封闭性两个一一对应的合成还是一证明：封闭性两个一一对应的合成还是一一对应，即一对应，即,SM，有，有AB SMv映射的合成运算满足结合律；映射的合成运算满足结

5、合律；v单位元就是单位元就是恒等映射恒等映射:xM,(x)=x；v f SM，f 可逆，可逆，f 就是就是 f 的逆元的逆元12/25/20227注意注意:b1b2bn是是,2,n 的一个排列的一个排列.且且 b1b2bn是是Sn到到,2,n 的全体无重复全排列之集的一个双的全体无重复全排列之集的一个双射射.因而因而|Sn|=n!。1.2 变换群变换群v置换群当是有限集时，称当是有限集时，称M上的对称群上的对称群SM为为上的上的置换群若群若n，则记，则记SM为为Sn，Sn中中的元素称为上的的元素称为上的n元置换元置换v例如，例如，,2,n,Sn,若若(i)=bi,则则将将 表示为表示为 12/

6、25/202281.2 变换群变换群v置换的循环表示置换的循环表示:v设设 Sn,若若v (bi)=bi+1,i=1,2,m-1,(bm)=b1,v且且 xMb1,b2,bm,(x)=x,v则称则称 是一个是一个循环置换循环置换（轮换轮换），记为），记为v (b1b2bm).v其中其中m为为 的的长度长度.长度为长度为2 2的轮换的轮换(abab)称为称为对换对换当当b1b2bn是奇（偶）排列时是奇（偶）排列时即即含有奇（偶）数个反序含有奇（偶）数个反序，则说，则说 是是奇（偶）置换奇（偶）置换12/25/202291.2 变换群变换群v则则 的的循环表示为循环表示为v =(126894)(5

7、)(37)=(126894)(37).=(126894)(5)(37)=(126894)(37).v注意注意：长度为的长度为的轮换轮换(a)就是恒等置换故就是恒等置换故有有(1)=(2)=(1)=(2)=(=(a););v思考思考：下列轮换有何关系？下列轮换有何关系？v (136425),(364251),(425136),(513642).(136425),(364251),(425136),(513642).v例如例如12/25/2022101.2 变换群变换群v定理定理1.1每个置换都能分解为一些不相交的轮换的每个置换都能分解为一些不相交的轮换的乘积若不记轮换的排列顺序乘积若不记轮换的排

8、列顺序,则分解是唯一的则分解是唯一的.v两个轮换两个轮换(a1a2am)和和(b1b2bt)不相交是指不相交是指v a1,a2,am b1,b2,bt=.v证明：证明：设设 Sn,a1M,令令v (ai)=ai+1,i=1,2,v由于由于M是有限集是有限集,则则a1,a2,必为有限集必为有限集,设为设为va1,a2,am,于是有于是有 (am)=a1(为什么为什么?).令令v u1=(a1a2am).12/25/2022111.2 变换群变换群v b1M a1,a2,am,令令 (bi)=bi+1,i=1,2,v同理同理,有有 t 使得使得 (bt)=b1,令令v u2=(b1b2bt).v依

9、此作下去依此作下去,将得到一系列轮换将得到一系列轮换 u1,u2,这这些轮换是不相交的些轮换是不相交的(为什么为什么?).v进而进而,这些轮换这些轮换u1,u2,最多有最多有n个个(为什么为什么?).v于是于是 =u1 u2ur(为什么为什么?).这就证明了分解这就证明了分解的存在性的存在性.12/25/2022121.2 变换群变换群v下面证明分解的唯一性下面证明分解的唯一性v设设 有两个不相交的轮换分解有两个不相交的轮换分解v =u1 u2ur=v1 v2vt v唯一性是指唯一性是指:v r=t,且且 v1,v2,vt 是是 u1,u2,ur的一个排列的一个排列.v设设vi=(a1a2as

10、),则则v(al)=al+1,l=1,2,s-1,(as)=a1,v因为因为不相交不相交,则有且仅有一个则有且仅有一个uj使得使得vuj(al)=al+1,l=1,2,s-1,uj(as)=a1,v可见可见,uj=(a1a2as)=vi,即即有且仅有一个有且仅有一个uj使得使得uj=vi,v所以所以,r=t,且且 v1,v2,vt 是是u1,u2,ur的一个排列的一个排列.12/25/2022131.2 变换群变换群v定理定理1.2每个置换都能分解为一些对换的乘积且每个置换都能分解为一些对换的乘积且分解式中所含对换个数的奇偶性与置换的奇偶性相分解式中所含对换个数的奇偶性与置换的奇偶性相同同.v

11、证明：证明：根据定理根据定理1.1,只需证明只需证明v “每个轮换每个轮换都能表示为一些的对换的乘积都能表示为一些的对换的乘积”v事实上，对于任意的轮换事实上，对于任意的轮换(a(a1a2am).我们有我们有v (a(a1a2am)(a a1am)(a a1am-1)(a a1a3)(a a1a2).v这就证明了分解的存在性这就证明了分解的存在性.v 奇偶性问题的证明略奇偶性问题的证明略v推论推论 奇置换奇置换奇置换奇置换=偶置换偶置换偶置换偶置换=偶置换偶置换;v 奇置换奇置换偶置换偶置换=偶置换偶置换奇置换奇置换=奇置换奇置换;12/25/2022141.2 变换群变换群v推论推论轮换的奇

12、偶性与其长度的奇偶轮换的奇偶性与其长度的奇偶性相反性相反v定理定理1.3Sn中的所有偶置换之集中的所有偶置换之集An关于映射关于映射的合成运算构成一个群的合成运算构成一个群,称为称为n次交错群次交错群v证明：证明：结合律和封闭性是显然的结合律和封闭性是显然的(?)；v恒等映射是偶置换，故有单位元；恒等映射是偶置换，故有单位元；v注意到注意到(a1a2am)am a2a1.可可知知,偶置换的逆也是偶置换偶置换的逆也是偶置换(?),故故An中每个元中每个元素有逆元素有逆元.12/25/2022151.2 变换群变换群vS1=(1)=A1 是单位元群是单位元群(只有一个元素的群只有一个元素的群);v

13、S2=(1),(12),A2=(1);vS3=(1),(12),(13),(23),(123),(132);非交换群非交换群vA3=(1),(123),(132);vS4=(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34),v (123),(132),(124),(142),(134),(143),v (234),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23),v (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432);vA4=(1),(123),(132),(124),(142),(134),(143),v (234),(243)

14、,(12)(34),(13)(24),(14)(23),12/25/2022161.2 变换群变换群v在群的研究中在群的研究中,群的元素间有一个重要的关系群的元素间有一个重要的关系,叫做叫做共轭关系共轭关系.v定义定义 设设G是一个群是一个群,a,bGG,若有若有gGG使得使得a=g-1bg,则说则说a与与b是是共轭共轭的的v共轭技巧共轭技巧:ab=ag-1gb=b(b-1ab)v定义定义 设设 S Sn，若，若 得循环分解为得循环分解为v其中其中0r1 r2 rs,则称数组则称数组(r1,r2,rs)为为置换置换 的型的型。规定恒等置换的型为（规定恒等置换的型为（1）。）。12/25/202

15、217v引理引理 设设，则有，则有v (a1a2 ar)1=(a1)(a2)(ar)。v证明证明 x1,2,n,分分x(a1),(a2),(ar)和和x (a1),(a2),(ar)两种情况验证等式两端的作用即知。两种情况验证等式两端的作用即知。v命题命题 S Sn中两置换中两置换,共轭共轭 和和具有相同的型。具有相同的型。v证明证明 充分性：设充分性：设v令令v则有则有1。必要性由定理。必要性由定理1 1.1和引理即得。和引理即得。1.2 变换群变换群12/25/2022181.2 变换群变换群v变换群是刻画事物对称性的工具，它可以刻变换群是刻画事物对称性的工具，它可以刻画图形的对称性，也可

16、以刻画多元函数的对画图形的对称性，也可以刻画多元函数的对称性，甚至可以刻画物理系统的对称性称性，甚至可以刻画物理系统的对称性v设设是一个平面（或空间）图形，如果平面是一个平面（或空间）图形，如果平面上（或空间中）的一个正交变换将上（或空间中）的一个正交变换将变成与变成与自己重合，则称此变换为自己重合，则称此变换为的一个的一个对称性变对称性变换换.12/25/2022191.2 变换群变换群v命题命题 图形图形的全部对称性变换之集的全部对称性变换之集()()关于变换的合成关于变换的合成运算构成一个群，称为运算构成一个群，称为的对称性群的对称性群v证明：证明：封闭性封闭性如果两个正交变换如果两个正

17、交变换和和都将都将变成与自己变成与自己重合，那么，重合，那么，和和相继作用于相继作用于后，结果还是将后，结果还是将变成与变成与自己重合，所以，自己重合，所以，仍然是仍然是的一个对称性变换的一个对称性变换.v结合律结合律显然成立显然成立v有单位元有单位元恒等变换恒等变换显然显然是是的一个对称性变换的一个对称性变换.v有逆元有逆元 ()()，有，有()()，于是，于是，v()=()=()=()=()()=)()=()=.()=.v正交变换的逆变换还是正交变换所以，正交变换的逆变换还是正交变换所以，()()12/25/2022201.2 变换群变换群v例求正四边形的对称性群例求正四边形的对称性群v解

18、解:绕中心绕中心O分别旋转分别旋转0,90,v180,270的变换的变换T0,T1,T2,vT3都是正四边形的对称性变换都是正四边形的对称性变换.v关于直线关于直线l1,l2,l3,l4的反射的反射1,2,v3，也都是正四边形的也都是正四边形的v对称性变换对称性变换.下面证明：四边形的对称性群下面证明：四边形的对称性群v T0,T1,T2,T3，1,2,3，l3 l2 l1 A3 A2 l4 o A0 A112/25/2022211.2 变换群变换群v证明证明:设设T是是正四边形的任一对称性变换，它只能把正四边形的任一对称性变换，它只能把顶顶点变为顶点，必有点变为顶点，必有T(A0)=A i，

19、注意到，注意到Ti(A0)=A i，则有，则有(Ti-1T)(A0)=A0,根据命题根据命题1可知可知,(Ti-1T也是对称性变也是对称性变换换,它保持它保持A0和原点和原点O不动不动,因而保持因而保持 v直线直线A0O不动不动,于是于是(Ti-1T)(A2)=A2,v且且(Ti-1T)(A1)=A1,或或A3,(为什么为什么?)v当当(Ti-1T)(A1)=A1时时,必然必然v(Ti-1T)(A3)=A3,故故Ti-1T=T0 v T=Ti.v当当(Ti-1T)(A1)=A3时时,必然必然(Ti-1T)(A3)=A1,故故Ti-1T=S1 T=Ti.S1=Si.l3 l2 l1 A3 A2

20、l4 o A0 A112/25/2022221.2 变换群变换群v历史上引入群的定义后不久，群就用于刻画晶体的历史上引入群的定义后不久，群就用于刻画晶体的对称性。下面就简单介绍一下晶体对称性定律。对称性。下面就简单介绍一下晶体对称性定律。v实验证明晶体是由原子、分子实验证明晶体是由原子、分子(团团)排成的格子点阵排成的格子点阵(很有规律的排列方式很有规律的排列方式)。抽象地看。抽象地看,可以用空间的无可以用空间的无限格点阵来代表晶体结构限格点阵来代表晶体结构.v在数学上可描述为在数学上可描述为:在一个坐标系在一个坐标系O,1 1,2 2,3 3下全体取下全体取整数坐标的点整数坐标的点的集合的集

21、合就称为一个就称为一个空间格空间格点阵点阵(简称简称空间点阵空间点阵).v注意注意:给定一个坐标系就确定一个给定一个坐标系就确定一个空间点阵空间点阵.描述描述不同的空间点阵的坐标系肯定是不相同的不同的空间点阵的坐标系肯定是不相同的;但不同但不同的坐标系所的坐标系所确定的确定的空间点阵可以是相同的空间点阵可以是相同的.12/25/2022231.2 变换群变换群v命题命题2 描述一个空间点阵描述一个空间点阵的坐标系的坐标系O,1 1,2 2,3 3的原的原点点O 可取可取中任意的点中任意的点.v说明说明命题的含义是：如果由坐标系命题的含义是：如果由坐标系O,1 1,2 2,3 3确定的确定的空间

22、点阵是空间点阵是，,则由坐标系则由坐标系O,1 1,2 2,3 3确定的空间点阵也是确定的空间点阵也是。v证明证明设设O,1 1,2 2,3 3确定的空间点阵是确定的空间点阵是。vm m1 11 1+m+m2 22 2+m+m3 33 3.m mi i全是整数。全是整数。v对空间任一点对空间任一点P,P,设设v由由 得得 xi=mi+yi,i=1,2,3.可见，可见，vxi y，因而，因而，。12/25/2022241.2 变换群变换群v晶体对称性定律晶体对称性定律v设由坐标系设由坐标系O,1 1,2 2,3 3确定的空间点确定的空间点阵是阵是，直线过上一点，根据命题，不，直线过上一点，根据命

23、题，不妨设为，如果绕的某个旋转是妨设为，如果绕的某个旋转是的对称的对称性变换，则转角只有，性变换，则转角只有，和和 这种可能。这种可能。v晶体的对称性定律先是在实验中发现的，后晶体的对称性定律先是在实验中发现的，后来利用空间点阵的结构从数学上给出了证明。来利用空间点阵的结构从数学上给出了证明。12/25/2022251.2 变换群变换群v点群点群保持点阵保持点阵中某一固定点不动的若干中某一固定点不动的若干对称性变换组成的群叫点群。对称性变换组成的群叫点群。v空间点阵可能的点群只有种。空间点阵可能的点群只有种。v利用利用晶体对称性定律可以计算：由绕一固定晶体对称性定律可以计算：由绕一固定转轴的旋

24、转组成的点群只有个。转轴的旋转组成的点群只有个。v全面反映空间点阵对称性的对称性群（叫空全面反映空间点阵对称性的对称性群（叫空间群）只有种。间群）只有种。v种空间群的导出是群论结晶学的重要种空间群的导出是群论结晶学的重要应用。应用。12/25/202226作业作业 P17_19:5,9,13,P25:1,412/25/2022271.子群、同态子群、同态 v内容提要内容提要 v子子群群的的概概念念,子子群群的的判判定定定定理理,生生成成子子群群v同态的定义同态的定义,同构思想。同构思想。vCayleyCayley定理。定理。12/25/2022281.子群、同态子群、同态v在分析一辆汽车、一架

25、飞机、一栋房屋、或一个团在分析一辆汽车、一架飞机、一栋房屋、或一个团体时，人们常常谈论它的结构。何谓结构？体时，人们常常谈论它的结构。何谓结构？v事物的结构就是组成的各个部分的功能属性，事物的结构就是组成的各个部分的功能属性，以及这些部分组成以及这些部分组成i的结合方式。的结合方式。v只有了解事物的结构，才能说对事物有比较深只有了解事物的结构，才能说对事物有比较深入的认识。入的认识。v所以，所以，研究群的结构是群论的基本课题。研究群的结构是群论的基本课题。v一个群的一部分就是的一个子集合。经验告一个群的一部分就是的一个子集合。经验告知，泛泛的研究群的任一子集合通常是行不通的。知，泛泛的研究群的

26、任一子集合通常是行不通的。最有效的方法是研究的一些特殊子集，最好是最有效的方法是研究的一些特殊子集，最好是关于的运算也是一个群关于的运算也是一个群。为了讨论方便，我们为了讨论方便，我们把这样的群称为的把这样的群称为的子群子群，记为记为。12/25/2022291.子群、同态子群、同态v子群的判定定理子群的判定定理设是一个群，设是一个群，。下列条件等价。下列条件等价v（）（）；v（）a,b H,abH且且 a-1H；v（）a,b H,ab-1H。v证明：证明：根据群的定义，根据群的定义，()()()是显然的是显然的v()()证明证明是的子群，即验证关于的运算也是是的子群，即验证关于的运算也是一个

27、群一个群.v1、a,aH,有有 aa-1H有单位元；有单位元；v2、aH,由由 e,aH得得a-1 ea-1 H.有逆元有逆元.v3、a,bH,则则a,b-1H ab=a(b-1)-1 H.运算封闭运算封闭.v4、中所有元素都满足结合律，自然满足。、中所有元素都满足结合律，自然满足。12/25/2022301.子群、同态子群、同态v问题问题如果是加群，如何表达子群的判定定理？如果是加群，如何表达子群的判定定理？v例例特殊线性群特殊线性群SLn(F)和正交群和正交群On(F)都是一般都是一般线线性群性群GLn(F)的子群的子群vn元交错群元交错群n是是n次对称群次对称群Sn的子群的子群vn次单位

28、根群次单位根群n是非零复数群的子群是非零复数群的子群v按基数将群分为按基数将群分为v无限群无限群：含有无穷多个元素的群；和含有无穷多个元素的群；和v有限群有限群：含有有限多个元素的群含有有限多个元素的群v设是一个群，用设是一个群，用表示群所含的元素个数，表示群所含的元素个数，称为群的称为群的阶阶12/25/2022311.子群、同态子群、同态v利用判定定理不难证明：群的任何两个子利用判定定理不难证明：群的任何两个子群的交集也是的子群群的交集也是的子群v群的两个子群的并集也是的子群吗？群的两个子群的并集也是的子群吗？v设是群的一个非空子集，当不是的设是群的一个非空子集，当不是的子群时，如何讨论的

29、运算性质？通常是把子群时，如何讨论的运算性质？通常是把放到的一个子群中去讨论为此而引入放到的一个子群中去讨论为此而引入v生成子群设是群的一个非空子集，生成子群设是群的一个非空子集，的所有包含的子群中最小的一个称为的所有包含的子群中最小的一个称为由由生成的子群生成的子群记为记为 A 其最小性是指：若其最小性是指：若 ，则，则 A 12/25/2022321.子群、同态子群、同态v生成子群是存在的，事实上生成子群是存在的，事实上v命题命题1.3.1 设是群的一个非空子集，则设是群的一个非空子集，则v证明证明：因为因为 A ，则，则 A 是交运算中的一个是交运算中的一个因子，因而因子，因而vv又由又

30、由 A 的最小性知，的最小性知，A 含于交运算中的每一个因含于交运算中的每一个因子，因而子，因而v12/25/2022331.子群、同态子群、同态v下面是生成子群的运算表达方式记下面是生成子群的运算表达方式记va-1:aAv命题命题1.3.设是群的一个非空子集，则设是群的一个非空子集，则v A=a1a2 an|a1,a2,anAU U,nNv证明：证明：记等式右边集合为记等式右边集合为由由 A 及子群及子群 A 中中逆元的存在性得逆元的存在性得 A,再由运算封闭性即再由运算封闭性即得得 A v另一方面，满足运算封闭，注意到另一方面，满足运算封闭，注意到(ab)-1=b-1a-1,即知中每个元的

31、逆元也在中所以，是的一即知中每个元的逆元也在中所以，是的一个子群，且包含，再由个子群，且包含，再由 A 的最小性得的最小性得 A 12/25/2022341.子群、同态子群、同态v当当a时，称时，称 A 为为循环群循环群，记为，记为av循环群的循环群的运算表达式运算表达式v a a:Z Z v群群G的基数的基数|G|称为群称为群G的阶的阶.当当|G|=n时时,则称则称G是是 n 阶群阶群.v当当 a 是是 n 阶群时阶群时,a a,a2,a=e.v问题问题:请写出加群的上述运算表达式请写出加群的上述运算表达式.v例例(Z,+)=1=-1.在在(Z,+)中中,=?12/25/2022351.子群

32、、同态子群、同态v在平面几何学中在平面几何学中,有两个非常熟悉的概念有两个非常熟悉的概念:全全等三角形和相似三角形等三角形和相似三角形.请问请问:这两个概念的这两个概念的思想是什么思想是什么?通过比较进行分类通过比较进行分类.v全等三角形具有完全相同的几何性质和数量全等三角形具有完全相同的几何性质和数量关系关系;相似三角形具有相似的几何性质和数相似三角形具有相似的几何性质和数量关系量关系.v问题问题:比较的实质是什么比较的实质是什么?如何用数学语言来描述如何用数学语言来描述?v比较的实质就是在两个事物之间建立一个对比较的实质就是在两个事物之间建立一个对应应,若能使相互对应的元素具有相同或相似若

33、能使相互对应的元素具有相同或相似的属性的属性,就可以说这两个事物是一样的或相就可以说这两个事物是一样的或相似的似的.12/25/2022361.子群、同态子群、同态v定义定义 设设 f 是群是群G到群到群H的一个映射的一个映射,如果如果v a,bG,f(ab)=f(a)f(b)保持运算保持运算v则称则称f是到的一个是到的一个同态同态（映射）（映射）v当是满射时，则称当是满射时，则称f是是满同态满同态，此时有记号，此时有记号GH；当是单射时，则称当是单射时，则称f是是单同态单同态；当是双射时，则称当是双射时，则称f是是同构，同构，此时有记号此时有记号G H 当当G=H时，则称时，则称f是是G的的

34、自同态自同态；何谓何谓自同构自同构？v命题命题1.3.3 若若 f是群到群的一个同态是群到群的一个同态,则则v f(eG)=eH,f(a1)=f(a)1。v证明证明:aG,f(a)=f(eG a)=f(eG)f(a),等式两端等式两端右右f(a)的逆得的逆得 f(eG)=eH.v f(a1)f(a)=f(a1 a)=f(eG)=eH,故故 f(a1)=f(a)1。12/25/2022371.子群、同态子群、同态v命题命题1.3.4 (同态核同态核)ker(f)=aG：f(a)=eH G G。v证明证明:a,b ker(f),f(a)=eH,f(b)=eH,于是于是,vf(ab)=f(a)f(b

35、)=eH ab ker(f).由命题由命题1.3.2得得v f(a1)=f(a)1=eH1=eH。v因而因而 a 1 ker(f),根据判定定理知根据判定定理知 ker(f)G G。v命题命题1.3.5 (同态像同态像)Im(f)=f(G)=f(a):aG H.H.v证明证明:a,b Im(f),有有 x,yG使使 f(x)=a,f(y)=b,于是于是v ab=f(x)f(y)=f(xy)Im(f).v a1=f(x)1=f(x 1)Im(f).v根据判定定理知根据判定定理知 Im(f)G G。12/25/2022381.子群、同态子群、同态vCayley定理定理每个抽象群必与某个变换群同构每

36、个抽象群必与某个变换群同构v证明：证明：设是任一群设是任一群v、构造变换群、构造变换群v gG,令令 Ig:G G,Ig(x)=gx,则则IgSG.vIg是满射是满射:每个每个 xG在在Ig下都有原像下都有原像g-1x;vIg是单射是单射:若若Ig(x)=Ig(y),即即gxgy，由消去，由消去律得律得 xyv令令H=Ig:gG，则是，则是SG的子群。根据命题的子群。根据命题1.3.5,其证明蕴涵于下面的证明其证明蕴涵于下面的证明.12/25/2022391.2 子群、同态子群、同态v2、验证同构映射验证同构映射f:G G,f(g)=Ig.v g,hG,xG,Igh(x)=gh(x)=g(h(

37、x)=Ig(Ih(x)=(IgIh)(x).v故故Igh=IgIh,即即 f(gh)=f(g)f(h).f 是同态映射是同态映射.v若若 f(h)=f(g),即即 Ih=Ig,于是于是,Ih(e)=Ig(e)h=g.所以所以,f 是单射是单射,G与与(G)=H同构同构.v注注:两个同构的群具有完全一样的运算性质两个同构的群具有完全一样的运算性质,其代数其代数结构也完全一样结构也完全一样.代数学中主要是研究运算的一般代数学中主要是研究运算的一般性质性质,而对承载运算的集合是不注意的而对承载运算的集合是不注意的.因此因此,同构同构的群作为代数运算系统被看作是一样的的群作为代数运算系统被看作是一样的

38、.如此说来如此说来,Cayley定理告诉我们定理告诉我们:第一第一,只需要研究变换群就可只需要研究变换群就可以了以了;第二第二,每个抽象群都有具体的模型每个抽象群都有具体的模型.12/25/2022401.2 子群、同态子群、同态v例例.域上的域上的N维向量空间上的全体可逆线性变换维向量空间上的全体可逆线性变换之集之集GLn(V)关于变换的合成运算构成一个群关于变换的合成运算构成一个群,且与且与GLn(F)同构同构.v因为因为,两个可逆线性变换的合成还是可逆线性变换两个可逆线性变换的合成还是可逆线性变换,且可逆线性变换的逆变换还是可逆线性变换且可逆线性变换的逆变换还是可逆线性变换,即即,GLn

39、(V)有有v GLn(V),且且-1-1 GLn(V),v所以所以,GLn(V)是是SV的子群的子群,因而是群因而是群.v给定给定V的一个基的一个基X,GLn(V),记记关于基关于基X 的矩阵的矩阵为为f(),在高等代数中已经证明在高等代数中已经证明,f是群是群 GLn(V)到群到群 GLn(F)的双射的双射,且保持运算且保持运算.12/25/2022411.2 子群、同态子群、同态v例例.v对数函数对数函数log是乘法群是乘法群R+到加群到加群R的同构的同构.v设设n n是非零整数是非零整数,则则 k kkn 是加群是加群Z到生成子到生成子群群 n=kn:kZ=nZ的同构的同构.v A A|

40、A|是是 GLn(F)到乘法群到乘法群F*的同态的同态.12/25/2022421.2 子群、同态子群、同态v作业：作业：v 2,3,4,12.12/25/202243第一章第一章1.4 群的作用群的作用12/25/2022441.4 群的作用群的作用v群在集合上的作用是群论中的重要概念群在集合上的作用是群论中的重要概念,也是其它数也是其它数学分支中的重要概念学分支中的重要概念,在物理学和化学中有着重要在物理学和化学中有着重要应用应用.v根据根据Cayley定理，每个抽象的群都有一个变换群和定理，每个抽象的群都有一个变换群和它同构；它同构；v每个抽象的群每个抽象的群G都可以看作某个集合都可以看

41、作某个集合M上的变换群，上的变换群，v群群G中的元素可以通过一个同构映射而对集合中的元素可以通过一个同构映射而对集合M中的中的元素产生作用。元素产生作用。v有限群有限群G能够同构于集合能够同构于集合M上的一个变换群的必要条上的一个变换群的必要条件是件是|G|M|！。！。v为了更广泛地讨论，将为了更广泛地讨论，将“同构同构”换为换为“同态同态”。为。为此，引入此，引入“作用作用”概念。概念。12/25/2022451.4 群的作用群的作用v定义定义1.4.1 v设设G是群是群,M是非空集合是非空集合,如果映射如果映射 f:G SM 是群同是群同态态,则称则称 f 为为G在在M上的一个上的一个作用

42、作用.v当当 f 是单同态时是单同态时,则称作用是则称作用是忠实的忠实的。v对于对于aG,xM,记记f(a)(x)为为 ax或或ax，于是有，于是有映射映射 ：，(a,x)a x.()v由于由于f(e)是是SM 的单位元的单位元,即即M上的恒等变换上的恒等变换,则则 v e x=x (x M)（）（）v由同态由同态 f 保持运算保持运算,则则 ,G,x M 有有v ()x=(x)（）（）v反之反之,给定一个给定一个到到映射映射“”，且满足，且满足(1)和和(2),那么那么,就可以定义一个相应的作用就可以定义一个相应的作用 f:G SM 12/25/2022461.4 群的作用群的作用v设设aG

43、,令令Ia:M M,Ia(x)=a x,容易验证容易验证 IaSM,vf:a Ia是是G到到SM的一个映射的一个映射,且条件且条件(2)保证是同态保证是同态,即是即是G在在M上的一个作用上的一个作用,于是有等价定义于是有等价定义v定义定义1.4.1 设设G是一个群是一个群,M是一个集合是一个集合,若有映射若有映射v ：，(a,x)a x.v满足满足 v(1)e x=x (x M,e是是G的单位元的单位元)v(2)()x=(x)(,G,x M)v则称则称G在在M上有上有群作用群作用.12/25/2022471.4 群的作用群的作用v注注定义定义1.4.1直接反映了作用概念的本质直接反映了作用概念

44、的本质意义：把抽象群看着集合上的变换群；而意义：把抽象群看着集合上的变换群；而定定义义1.4.1比比定义定义1.4.1好用；好用；v注注利用利用定义定义1.4.1验证群作用时，首先，验证群作用时，首先，对群中的每个元素对群中的每个元素 a 定义上的一个变换定义上的一个变换Ia，然后验证，然后验证 Ia 是一一变换，最后验证映射是一一变换，最后验证映射 f:a Ia 是同态。是同态。12/25/2022481.4 群的作用群的作用v例例 Sn,定义定义v f(x1,x2,xn)f(x(1),x(2),x(n)，v则则 是是 n 次对称群次对称群 Sn 在域上的多项式环在域上的多项式环Fx1,x2

45、,xn上的一个群作用上的一个群作用.v例例2 AGLn(C C ),XMn(C C ),则映射则映射vGLn(C C)Mn(C C )Mn(C C ),(A,X)A X=AXv是是GLn(C C )在在Mn(C C )上的群作用上的群作用上的群作用上的群作用.e x=x()x=(x)12/25/2022491.4 群的作用群的作用v例例3 AGLn(C C),XMn(C C),映射映射vGLn(C C)Mn(C C)Mn(C C),v (A,X)A X=XAv是是GLn(C C)在在Mn(C C)上的群作用吗上的群作用吗上的群作用吗上的群作用吗?vv第一条是满足的第一条是满足的第一条是满足的第

46、一条是满足的,而验证第二条的结果是而验证第二条的结果是而验证第二条的结果是而验证第二条的结果是XAB=XBA,XAB=XBA,这个等式不一定成立这个等式不一定成立这个等式不一定成立这个等式不一定成立.而映射而映射而映射而映射v GLn(C C)Mn(C C)Mn(C C),v (A,X)A X=XA-1,v是群作用是群作用.e x=x()x=(x)12/25/2022501.4 群的作用群的作用 e x=x;()x=(x)v例例4 设设 M=XMn(C C):XT=X,则映射则映射vGLn(C C)M M,(A,X)A X=AXATv是是GLn(C C)在在M上的群作用上的群作用上的群作用上的

47、群作用.v例例5 设设 M=Mn(C C),则映射则映射vGLn(C C)M M,(A,X)A X=AXA-1v是是GLn(C C)在在M上的群作用上的群作用上的群作用上的群作用 12/25/2022511.4 群的作用群的作用v例例6 设设 AGLn(C C),GL(C C),Mn(C C),则映射则映射 X AXB-1 是是M上的一个变换上的一个变换,相相当于当于X作一系列的初等行变换和列变换作一系列的初等行变换和列变换.能否用群作能否用群作用来解释用来解释?v 定义定义1.4.2(群的直积群的直积)设设G、都是群，在集合积、都是群，在集合积G上定义运算上定义运算v(g,h)(a,b)=(

48、ga,hb),v则则G构成一个群构成一个群,称为称为G与与H的的直积直积.vG的单位元是的单位元是(eG,eH),(g,h)-1=(g-1,h-1).v例例6可以解释为群可以解释为群GLn(C C)GL(C C)在在M上的一个群上的一个群作用作用 12/25/2022521.4 群的作用群的作用 e x=x;()x=(x)v例例7 设设G是群是群,H G,则映射则映射v(i)HG G,(h,x)hx=hx。v(ii)HG G,(h,x)hx=xh-1。v(iii)HG G,(h,x)hx=hxh-1。v都是都是H 在在G上的群作用上的群作用上的群作用上的群作用.(i)称为称为左平移左平移；(ii)称为称为右平移右平移；(iii)称为称为共轭作用共轭作用,相应的变换相应的变换v Ia:G G,x axa-1,(aH)v是是G的一个自同构的一个自同构,称为称为G的内自同构。的内自同构。12/25/2022531.4 群的作用群的作用v作业作业:v P35 v1,4,6.12/25/202254