统计物理第六章1-2.ppt

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1、第一章近独立粒子的最概然分布统计物理学讲义统计物理学讲义 第一章第一章近独立粒子的最盖然分布近独立粒子的最盖然分布1.粒子运动状态的经典描述粒子运动状态的经典描述2.粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述3.系统微观运动状态的描述系统微观运动状态的描述4.等概率原理等概率原理5.分布和微观状态分布和微观状态6.玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布7.玻色分布和费米分布玻色分布和费米分布8.三种分布的关系三种分布的关系如何描述微观粒子的运动状态如何描述微观粒子的运动状态 问 题？1.1 粒子运动状态的经典描述 1、几个概念、几个概念2、空间空间3、几个例子、几个例子粒子粒子：指组成宏观物质系统的基本单

2、元。：指组成宏观物质系统的基本单元。粒子运动状态粒子运动状态：指力学运动状态。：指力学运动状态。经典描述：遵从经典力学的运动规律。经典描述：遵从经典力学的运动规律。量子描述：遵从量子力学的运动规律。量子描述：遵从量子力学的运动规律。1、几个概念 微观运动状态微观运动状态：在分析力学中，一般把以广义坐标和广义动量为在分析力学中，一般把以广义坐标和广义动量为自变量的能量函数写成自变量的能量函数写成H（哈密顿）函数（哈密顿）函数粒子的运动满足正则运动方程粒子的运动满足正则运动方程一一组组数数值值完全确定了完全确定了这这个系个系统统的一个运的一个运动动状状态态，这这就是微就是微观观运运动动状状态态。1

3、、几个概念 1、几个概念 微观描述法微观描述法：使用粒子的坐标和动量的描述方法，也可以借助使用粒子的坐标和动量的描述方法，也可以借助几何表示法讨论力学体系运动状态。几何表示法讨论力学体系运动状态。2、空间 设粒子的自由度为设粒子的自由度为r r，经典力学告诉我们，粒子在任一时刻的，经典力学告诉我们，粒子在任一时刻的力学状态由粒子的力学状态由粒子的r r个广义坐标个广义坐标q q1 1,q,q2,2,q qr r和与之共轭的和与之共轭的r r个个广义动量广义动量p p1,1,p p2,2,.p.pr r在该时刻的数值确定。粒子的能量在该时刻的数值确定。粒子的能量 是其是其广义坐标和广义动量的函数

4、：广义坐标和广义动量的函数：如果存在外场，如果存在外场，还是描述外场参量的函数。还是描述外场参量的函数。为了形象地描述粒子的力学运动状态，用为了形象地描述粒子的力学运动状态，用q q1 1,q,q2,2,q qr r;p p1,1,p p2,2,.p.pr r共共2r2r个变量为直角坐标，构成一个个变量为直角坐标，构成一个2r2r维空间，称为维空间，称为空间空间。粒子在某一时刻的力学运动状态。粒子在某一时刻的力学运动状态可用可用 空间中的一点表空间中的一点表示，称为粒子力学运动状态的示，称为粒子力学运动状态的代表点代表点。当粒子的运动状态随时。当粒子的运动状态随时间改变时，代表点相应地在间改变

5、时，代表点相应地在 空间中移动，描画出一条轨道，空间中移动，描画出一条轨道，称为称为相迹相迹。2、空间 粒子在粒子在 空间的描述：空间的描述：由由N个粒子组成的系统在某一时刻的一个特定的个粒子组成的系统在某一时刻的一个特定的微观状态，在微观状态，在 空间中用空间中用N个代表点表示。随着时个代表点表示。随着时间的变化，系统运动状态的变化由间的变化，系统运动状态的变化由N个代表点在个代表点在 空间中的空间中的N条运动轨迹，即条运动轨迹，即N条线代表。条线代表。2、空间 空间性质：空间性质：i)空空间间是是人人为为想想象象出出来来的的超超越越空空间间，是是个个相相空空间间。引引进进它它的的目目的的在

6、在于于使使运运动动状状态态的的描描述述几几何何化化、形形象象化化，以以便便于于进进行行统统计计。空空间间中中的的一一个个代代表表点点是一个粒子的微观运动状态而不是一个粒子。是一个粒子的微观运动状态而不是一个粒子。ii)在在经经典力学范典力学范围围，在无相互作用的独立粒子系，在无相互作用的独立粒子系统统中，任何粒子中，任何粒子总总可找到和它相可找到和它相应应的的 空空间间来形象来形象地描述它的运地描述它的运动动状状态态，但不是所有的粒子的运，但不是所有的粒子的运动动状状态态可以在同一可以在同一 空空间间中描述。中描述。粒子运动状态的经典描述（坐标，动量）r个广个广义义坐坐标标r个广个广义动义动量

7、量 空空间间(2r维维相空相空间间)自由度自由度r粒子自由度粒子自由度力学运动状态力学运动状态哈密顿量哈密顿量单粒子状态单粒子状态及其演变过程及其演变过程 空间中的空间中的点和曲线点和曲线 空间空间空间空间:6:6维维维维以以以以1 1维自由粒子为例维自由粒子为例维自由粒子为例维自由粒子为例:空间为空间为空间为空间为2 2维，如右图所示。维，如右图所示。维，如右图所示。维，如右图所示。3、几个例子自由粒子 3、几个例子线性谐振子 分子内原子的振动，分子内原子的振动，晶体中原子或离子在晶体中原子或离子在其平衡位置附近的振其平衡位置附近的振动都可看作简谐运动。动都可看作简谐运动。弹性力弹性力：圆频

8、率圆频率：能量恒定的轨迹为椭圆3、几个例子线性谐振子 自由度：自由度：自由度：自由度：广义坐标：广义坐标：广义坐标：广义坐标：广义动量：广义动量：广义动量：广义动量：动能：动能：动能：动能：r=1r=1 ,p,p 3、几个例子平面转子 2 2 0 0 2 2 0 03、几个例子平面转子 角动量（动量矩）守恒定律：角动量（动量矩）守恒定律：P=M=恒量恒量3、几个例子转子=0自由度：自由度：r=2空空间间：4维维广广义义坐坐标标：能量：能量：广广义动义动量：量：动动能：能：3、几个例子转子 双原子分子的力学模型双原子分子的力学模型：将质量转换成折合质量。将质量转换成折合质量。在没有外力作用的情形

9、下，转子的总角动量在没有外力作用的情形下，转子的总角动量M守恒。守恒。如果选择如果选择Z轴平行于轴平行于M，质点的运动必在平面上，质点的运动必在平面上，简化为平面转子的情况。简化为平面转子的情况。3、几个例子转子 3、几个例子转子/2,p=0本节重点定义定义性质性质粒子描述粒子描述 空间空间1.2 粒子运动状态的量子描述 1、量子力学知识、量子力学知识2、粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述3、例子、例子1、量子力学知识 量子行为，量子力学量子行为，量子力学量子行为描述：量子态、量子数量子行为描述：量子态、量子数量子态：在量子力学中微观粒子的运动状态。由量子态：在量子力学中微观粒子的运

10、动状态。由一组量子数表征，其数目等于粒子的自一组量子数表征，其数目等于粒子的自由度。由度。1、量子力学知识 粒子量子行为的描述粒子量子行为的描述概率振幅概率振幅波函数：波函数：(x,t)P概率概率 概率振幅概率振幅1波函数波函数 物理意义。物理意义。2波函数的平方具有物理意义。它代表波函数的平方具有物理意义。它代表粒子在某处某时出现的几率。粒子在某处某时出现的几率。3测量使其陷落为粒子性。测量使其陷落为粒子性。量子力学的基本原理量子力学的基本原理1、量子力学知识 当一个事件可以按几种不同的方式发生时，该事当一个事件可以按几种不同的方式发生时，该事件的概率振幅等于各种方式分别考虑时的概率振件的概

11、率振幅等于各种方式分别考虑时的概率振幅之和。此时出现干涉：幅之和。此时出现干涉：如果完成一个实验，此实验能够确定实际上发生如果完成一个实验，此实验能够确定实际上发生的是哪一种方式的话，则该事件的概率等于按各的是哪一种方式的话，则该事件的概率等于按各个不同方式发生的概率之和。个不同方式发生的概率之和。光量子：E=h E=pc p=E/c =h /c =h/粒子1、量子力学知识 Heisenbergs Uncertainty Principle1、量子力学知识 1、量子力学知识 1、量子力学知识 对电子波粒二象性的理解：对电子波粒二象性的理解：粒子性，只是经典粒子概念中的粒子性，只是经典粒子概念中

12、的原子性或颗粒性原子性或颗粒性，并不与并不与“粒子有确切的轨道粒子有确切的轨道”的概念有什么必然的概念有什么必然的联系；的联系；波动性，只是波动性中最本质的东西，波的波动性，只是波动性中最本质的东西，波的“叠叠加性加性”，并不是一定要与某种实际的物理量在空，并不是一定要与某种实际的物理量在空间的分布联系在一起。间的分布联系在一起。1、量子力学知识 Born提出的波函数的几率诠释：提出的波函数的几率诠释：(x,y,z)2表表示示电电子子出出现现在在点点（x,y,z）附附近近的几率大小的一个量。的几率大小的一个量。(x,y,z)2 x y z代代表表在在点点（x,y,z）附附近近的的小体积元小体积

13、元 x y z中找到粒子的几率。中找到粒子的几率。1、量子力学知识 电电子呈子呈现现出来的波出来的波动动性反映了微性反映了微观观客体运客体运动动的一种的一种统计统计规规律性律性，因此称，因此称为为几率波几率波，所以波函数，所以波函数(r)也称也称为为几率几率波幅波幅。在非相在非相对论对论的情况下，几率波正确地把物的情况下，几率波正确地把物质质粒子的波粒子的波动动性与粒子性性与粒子性统统一了起来。一了起来。注意：要满足归一化条件。注意：要满足归一化条件。波函数有一个常数因子的不定性。波函数有一个常数因子的不定性。(r)和和C(r)（C为为常数）常数）相角不定性。相角不定性。ei (r)与与(r)

14、所描述的是同一个几率波所描述的是同一个几率波Schrdinger Equation(1926)ErwinSchrdinger(1887-1961)在量子力学中粒子的运动状态的变化遵从薛定谔方程在量子力学中粒子的运动状态的变化遵从薛定谔方程在量子力学中粒子的运动状态的变化遵从薛定谔方程在量子力学中粒子的运动状态的变化遵从薛定谔方程2、粒子运动状态的量子描述 量子行为，量子力学量子行为，量子力学量子行为描述：量子态、量子数量子行为描述：量子态、量子数量子态：在量子力学中微观粒子的运动状态。由量子态：在量子力学中微观粒子的运动状态。由一组量子数表征，其数目等于粒子的自一组量子数表征，其数目等于粒子的

15、自由度。由度。例1、一维无限深平底势阱 定态定态Schrodinger方程方程0a势：势：满足的定态薛定谔方程满足的定态薛定谔方程它的解一般可写为它的解一般可写为例1、一维无限深平底势阱驻波条件：驻波条件：波函数解：波函数解：n=1,2,3 能量本征值：能量本征值：动量：动量：n：运动状态：运动状态0能量是量子化的能量是量子化的考虑动量（波传播）两个方向：考虑动量（波传播）两个方向：例1、一维无限深平底势阱德布德布罗罗意关系意关系：对对于一切微于一切微观观粒子（能量粒子（能量为为E，动动量量为为p），它），它联联系着系着圆频圆频率率为为，波矢量，波矢量为为k的平面波。的平面波。例1、一维无限深

16、平底势阱例1、一维无限深平底势阱测不准原理测不准原理：n=0?经典物理：粒子不动。经典物理：粒子不动。量子物理：量子物理：最小波数最小波数：动量最小值：动量最小值：例1、一维无限深平底势阱归一化条件归一化条件：例1、一维无限深平底势阱驻波条件驻波条件：无限深的理解无限深的理解：基态能量：基态能量：相相对对于基于基态态E1势势阱的深度阱的深度V0愈大，阱内允愈大，阱内允许许的的能能级级数目愈多，无限深数目愈多，无限深势势阱模型就是愈好的近似阱模型就是愈好的近似例1、一维无限深平底势阱能级谱能级谱：能级形成一个分立序列或分立谱；相邻能级之间能级形成一个分立序列或分立谱；相邻能级之间的距离是的距离是

17、粒子的量子性：粒子的量子性：（1 1）m m很小很小（2 2）a a很小很小 （3 3）n n很小很小 One dimensional infinite deep potential dwell子弹问题讨论：量子数n的取值问题 驻波条件，周期性边界条件驻波条件，周期性边界条件?以一维无限深势阱为例：以一维无限深势阱为例：驻波条件下：驻波条件下：周期性边界周期性边界条件下：条件下：举一反三 推广到三维：推广到三维：经 典 近 似：简单认为h=0，完全忽略一切量子效应。半经典近似：认为h很小，但不等于零。相格 量子力学量子力学量子力学量子力学经典力学经典力学经典力学经典力学相格 不确定关系指出，粒

18、子坐标的不确定值不确定关系指出，粒子坐标的不确定值q和与之和与之共共轭轭的的动动量不确定量不确定值值p满满足足qph，因此，如，因此，如果用坐果用坐标标q和和动动量量p来描述粒子的运来描述粒子的运动动状状态态，一个，一个状状态态必然必然对应对应于于空空间间中的一个体中的一个体积积。我。我们们称之称之为为一个相格。一个相格。自由度自由度为为1的粒子，相格大小的粒子，相格大小为为h自由度自由度为为r的粒子，相格大小的粒子，相格大小为为hr相格 以一维容器中的自由粒子为例以一维容器中的自由粒子为例以一维容器中的自由粒子为例以一维容器中的自由粒子为例 经典力学：经典力学：经典力学：经典力学：|P P|

19、恒量恒量恒量恒量 量子化：量子化：量子化：量子化：空空空空 间：间：间：间：每一个可能的状态，都对应着相空每一个可能的状态，都对应着相空每一个可能的状态，都对应着相空每一个可能的状态，都对应着相空间中一个面积为间中一个面积为间中一个面积为间中一个面积为h h的相格的相格的相格的相格。0aPx0aPx0axPnn-1n-1n相格 自由度自由度r1情形。一个量子态情形。一个量子态（粒子一个可能的运动状态）（粒子一个可能的运动状态）对应于对应于 空间中大小为空间中大小为hr 的一个体积元。的一个体积元。（相格体积为（相格体积为hr）。）。不同的量子不同的量子态态只是在只是在 空空间间中体中体积积元元

20、hr的位置不同。的位置不同。粒子的一个量子粒子的一个量子态态在在 空空间间中所占的体中所占的体积积元元hr称称为为相格。相格。空空间间称称为为子相宇。子相宇。如果将如果将 空空间间划分划分为许为许多个体多个体积积元元则则在体在体积积元中，粒子可能的运元中，粒子可能的运动动状状态态数是数是相格 把经典的连续的把经典的连续的 空间变成空间变成“相格相格”式的量子化的式的量子化的 空间，从而使每一个量子态与一个相格相对应。空间，从而使每一个量子态与一个相格相对应。这种处理虽然承认了量子粒子的状态是一些分立这种处理虽然承认了量子粒子的状态是一些分立的量子态，但还是离不开用坐标和动量去描述粒的量子态，但

21、还是离不开用坐标和动量去描述粒子的微观运动状态，因而这种处理是一种半经典子的微观运动状态，因而这种处理是一种半经典近似处理，不是一种彻底的量子力学处理。但这近似处理，不是一种彻底的量子力学处理。但这种处理可以几何化描述，很形象，在统计物理中种处理可以几何化描述，很形象，在统计物理中很适用。很适用。相格 经经典粒子的一个运典粒子的一个运动动状状态态量子粒子的一个量子态量子粒子的一个量子态 相应的相应的 空间的一个点空间的一个点相应的相应的 空间中的一个体积为空间中的一个体积为hr的相格的相格相格 在同一相格内，不能存在两个不同的量子态。在同一相格内，不能存在两个不同的量子态。两个以上的粒子可以同

22、时处在同一个量子态，两个以上的粒子可以同时处在同一个量子态，一个相格中可以有两个以上的粒子（玻色子）。一个相格中可以有两个以上的粒子（玻色子）。相格 在三维立方体在三维立方体中运动的自由粒子中运动的自由粒子3、例子 3.1自由粒子自由粒子Vibrational Modes of a Stringfundamental2nd harmonic3rd harmonic4th harmonic一一维维Vibrational Modes of a Rectangular Membrane(1,1)mode(1,2)mode(2,1)mode(2,2)mode二二维维三三维维3.1 自由粒子 能量为能量

23、为l简并度简并度 三三维维自由粒子自由度自由粒子自由度3 求求n2=54简并度？简并度？3.1 自由粒子 3.2 原子中的电子(1)中心势场，球极坐标，空间自由度中心势场，球极坐标，空间自由度3(2)氢原子中的电子氢原子中的电子(3)三个量子数三个量子数(4)n=1,2,3,(5)=0,1,n-1(6)m=-,-+1,-1,3.2 原子中的电子(2)自旋自旋考虑一个粒子：质量考虑一个粒子：质量m，电荷，电荷e，自旋角动量量，自旋角动量量子数为子数为1/2，粒子自旋磁矩粒子自旋磁矩，自旋角动量，自旋角动量S。电子自旋为一个自由度，描述粒子自旋只需要一电子自旋为一个自由度，描述粒子自旋只需要一个量

24、子数个量子数ms为为 1/2。一维线性振子的能级是非简并的，一维线性振子的能级是非简并的，所有能级等间距。所有能级等间距。3.3 线性谐振子 因此能级因此能级 l的量子态有的量子态有2l+1个。个。我们说能级我们说能级 l是简并的，其简并度为是简并的，其简并度为2l1。3.4 空间转子 Electron in a Hydrogen AtomLabelledbythreequantumnumbers:n=1,2,3,=0,1,n-1m=-,-+1,-1,Stern-Gerlach Experiment(1922)What We Know About Electron Spin TodayQuan

25、tum Numbers of an electron in an atom求体求体积积V V内三内三维维自由粒子在自由粒子在范范围围内可能的量子内可能的量子态态数。数。3.5 可能状态数、态密度 体体积积V V内内 状态数为状态数为 3.5 可能状态数、态密度用用动动量空量空间间的球极坐的球极坐标标表示？表示？积分积分积分积分量子数n取值问题驻波条件：驻波条件：模型：一维无限深平底势阱，局域在模型：一维无限深平底势阱，局域在某空间中粒子某空间中粒子周期性边界条件：周期性边界条件：模型模型无限大完整理想晶体：无限大完整理想晶体：周期周期L M.F.Crommie,C.P.Lutz,D.M.Eiger,Science 262(1993)218本节重点：量子基础量子基础粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述可能状态数和态密度可能状态数和态密度