量子力学教程Ch4-3.ppt

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1、 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable14.4 4.4 幺正变换幺正变换为了找到为了找到 和和 的联系，将的联系，将 按按 展开展开：1 1、幺正变换、幺正变换设算符设算符 的正交归一的正交归一本征函数系为本征函数系为 算符算符 的正交归一本的正交归一本征函数系为征函数系为（1 1）（2 2）讨论波函数和力学量从一个表象变换到另一个讨论波函数和力学量从一个表象变换到另一个表象的一般情况表象的一般情况 Chap.4 The representation for the states and dynamica

2、l variable2其展开系数为：其展开系数为：（3 3）（4 4）由由 为为矩矩阵阵元元所所构构成成的的矩矩阵阵称称为为变变换换矩矩阵阵。通通过过（1 1）和（）和（2 2）就把）就把 表象的基矢表象的基矢 变换为变换为 表象的基矢表象的基矢 。由由 和和 的正交归一性有：的正交归一性有：4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续1）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable3同理同理 4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 2）Chap.4 The representation for the state

3、s and dynamical variable4将按展开将按展开:4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 3）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable5即即 是幺正矩阵，由幺正矩阵表示的变换称为幺正是幺正矩阵，由幺正矩阵表示的变换称为幺正变换变换结论结论:一个表象到另一个表象的变换是幺正一个表象到另一个表象的变换是幺正变换。变换。2 2 力学量的表象变换力学量的表象变换力学量力学量 在表象在表象A A中的表示矩阵：中的表示矩阵：在表象在表象B B中的表示矩阵中的表示矩阵：4.4 4.4 幺正变换幺正变换（

4、续（续 4）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable6此为力学量此为力学量 从表象从表象A A变换到表象变换到表象B B的变换公式的变换公式4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 5）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable73.3.态的表象变换态的表象变换 任意态矢量任意态矢量4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 6）在在A A表象中：表象中：在在B B表象中：表象中：?如何变换如何变换 Chap.4 The rep

5、resentation for the states and dynamical variable84.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 8）两边左乘两边左乘 ,并对并对 积分积分 写成写成矩阵形式矩阵形式:Chap.4 The representation for the states and dynamical variable9简写为简写为从从B B表象变换到表象变换到A A表象表象 从从A A表象变换到表象变换到B B表象表象 反之，反之，4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 9）4 4.幺幺正正变变换换的的两两个个重重要要性性质质（1 1）幺正变换不改变算符的本征值）幺正变换

6、不改变算符的本征值 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable10 在在 表象中的矩阵为表象中的矩阵为 ,本征矢为本征矢为算符算符 在在 表象中的矩阵为表象中的矩阵为 ,本征矢为本征矢为4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 10）本征方程本征方程本征方程本征方程（1）（2）本征值不变本征值不变比较比较(1)(1)、(2)(2)式式,可知可知 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable11由此定义有由此定义有:故故 迹迹 不不

7、 变变，的的 迹迹 等等 于于 的的 迹迹 4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 12）（2 2）幺正变换不改变矩阵的迹）幺正变换不改变矩阵的迹 矩阵矩阵A A的对角元素之和称为矩阵的对角元素之和称为矩阵A A的迹，以的迹，以 表表示，则示，则 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable12（3 3）矩阵方程式经么正变换保持不变）矩阵方程式经么正变换保持不变表象表象 AF=表象表象 BF=矩阵方程式矩阵方程式证=F=SF=S-1-1 F S F S b=S b=S-1-1 a aF=(S-1 F S)(S-

8、1)=S-1 F=S-1F=证毕 4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 10）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable13例：例：设在在 A 表象中表象中对易关系：易关系：在在B表象表象对易关系在么正变换下保持不变对易关系在么正变换下保持不变（4 4）么正变换不改变厄密矩阵的厄密性）么正变换不改变厄密矩阵的厄密性设：A 表象表象B表象：表象：F=S-1 F S=S=S-1-1 F S F SF F+=(S=(S-1-1 F S)F S)+=S=S+F F+(S(S-1-1)+=F F4.4 4.4 幺正变

9、换幺正变换（续（续 10）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable14作作 业业周世周世勋 量子力学教程量子力学教程4.5 4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 10）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable15 Ex.已知在已知在 和和 的共同表象中，算符的共同表象中，算符 和和 的矩阵分别为的矩阵分别为求它们的本征值和归一化的本征函数，最后将矩阵求它们的本征值和归一化的本征函数，最后将矩阵 和和 对角化。对角化。本征

10、方程为本征方程为Solve:设设 的本征值为的本征值为 ,本征波函数为本征波函数为4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续7）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable16 要使本征波函数不为零，亦即要求要使本征波函数不为零，亦即要求a,b,ca,b,c不全为零，不全为零，其条件是（其条件是（1 1）中的系数矩阵的行列式为零。）中的系数矩阵的行列式为零。（1 1）久期方程久期方程本征值本征值 4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续8）Chap.4 The

11、 representation for the states and dynamical variable17当当 时，时，由（由（2 2）有）有4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续9）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable18由归一化条件由归一化条件:4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续10）归一化常数归一化常数归一化的波函数归一化的波函数 Chap.4 The representation for the states and dynami

12、cal variable19当当 时时,由（由（2 2）有）有4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续11）归一化条件归一化条件归一化的归一化的波函数：波函数：Chap.4 The representation for the states and dynamical variable20当当 ,由（由（2 2）有：）有：4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续12）归一化条件归一化条件归一化的归一化的波函数：波函数：Chap.4 The representation for the states and dynamical variab

13、le21构成一个构成一个正交归一正交归一本征函数本征函数完备系完备系的对角矩阵的对角矩阵正交归一化条件：正交归一化条件：4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续13）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable22 类似地类似地,可求出可求出 的本征值、归一化的本征函数的本征值、归一化的本征函数系和对角阵。系和对角阵。本征值本征值 4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（14）本征波函数：本征波函数：正交归一化条件：正交归一化条件：Chap.4 The representation for the states and dynamical variable23的对角矩阵的对角矩阵：4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续15）