量子力学第3章-1.ppt

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1、第三章第三章 形式理论形式理论由于微观粒子具有波粒二象性,微观粒子状态的描述方式和经典粒子不同,它需要用波函数来描写,波函数满足薛定谔方程。我们已经对量子力学的初步轮廓有了一定的了解。但是还有一些问题没有解决。比如，对一个状态如果测量坐标以外的力学量，我们可能得到什么值？几率是多少？对代表力学量的算符有什么要求？它们有什么性质？本章讨论如何引入算符来表示力学量,及量子力学中的一般规律所取的形式.算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号 u=v 表示表示 把函数把函数 u 变成成 v，就是就是这种种变 换的算符。的算符。1）du/dx=v，

2、d/dx 就是算符，其作用就是算符，其作用 是是对函数函数 u 微商，微商，故称故称为微商算符。微商算符。2）x u=v，x 也是算符。也是算符。它它对 u 作用作用 是使是使 u 变成成 v。由于算符只是一种运算符号，所以它单独存由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：对波函数做相应的运算才有意义，例如：（一）算符定义（一）算符定义1 算符（7 7 7 7）逆算符逆算符逆算符逆算符（8 8 8 8）算符函数算符函数算符函数算符函数（9 9 9 9）复共轭算符复共轭算符复共轭算符复共轭

3、算符（10101010）转置算符转置算符转置算符转置算符（11111111）厄密共轭算符厄密共轭算符厄密共轭算符厄密共轭算符（12121212）厄密算符厄密算符厄密算符厄密算符（1 1 1 1）线性算符线性算符线性算符线性算符（2 2）算符相等算符相等（3 3 3 3）算符之和算符之和算符之和算符之和（4 4 4 4）算符之积算符之积算符之积算符之积（5 5）对易关系对易关系（6 6 6 6）对易括号对易括号对易括号对易括号（二）算符的一般特性（1 1）线性算符）线性算符(c11+c22)=c11+c22其中其中c1,c2是任意复常数，是任意复常数，1,1是任意两个波函数。是任意两个波函数。满

4、足如下运算规律的满足如下运算规律的 算符算符 称为线性算符称为线性算符（2 2）算符相等）算符相等 若两个算符若两个算符 、对体系的任何波函数体系的任何波函数 的运算的运算结果都相果都相 同，即同，即=，则算符算符 和算符和算符 相等相等记为=。例如：例如：开方算符、取复共轭就不是线性算符。开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。（3 3）算符之和）算符之和 若两个算符若两个算符 、对体系的任何波函数体系的任何波函数 有：有：(+)=+=则+=称称为算符之和。算符之和。

5、显然，算符求和满足交换率和结合率。显然，算符求和满足交换率和结合率。例如：体系例如：体系Hamilton 算符算符注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。-=+（-）。）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。很易证明线性算符之和仍为线性算符。（4 4）算符之积）算符之积若若()=()=则=其中其中是任意波函数。是任意波函数。一般来一般来说算符之算符之积不不满足足 交交换律，即律，即 这是算符与通常数运算是算符与通常数运算 规则的唯一不同之的唯一不同之处。（5 5）对易关系）对易关系若若 ，则称称 与与 不不对易。易。显然二者然二者结果不相等，所以果

6、不相等，所以:对易易关系关系量子力学中最基本的量子力学中最基本的 对易关系。易关系。若算符若算符满足足=-，则称称 和和 反反对易。易。写成通式写成通式:但是坐标算符与其非共轭动量但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。对易，各动量之间相互对易。注意：注意：当当 与与 对易，易，与与 对易，不能推知易，不能推知 与与 对易与否。易与否。例如：例如：（6 6）对易括号）对易括号为了表述了表述简洁，运算便利和研究量子，运算便利和研究量子 力学与力学与经典力学的关系，人典力学的关系，人们定定义了了 对易括号：易括号：,-这样一来，这样一来，坐标和动量的对易关系坐标和动量的对易关系 可改

7、写成如下形式：可改写成如下形式：不不难证明明对易括号易括号满足如下足如下对易关系：易关系：1),=-,2),+=,+,3),=,+,4),+,+,=0 上面的第四式称上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。恒等式。（7 7）逆算符）逆算符1.1.定定义:设=,=,能能够唯一的解出唯一的解出 ,则可定可定义 算符算符 之逆之逆 -1 -1 为:-1-1 =并不是所有算符都存并不是所有算符都存 在逆算符在逆算符,例如投影例如投影 算符就不存在逆算符就不存在逆.2.2.性性质 I:I:若算符若算符 之逆之逆 -1-1 存在存在,则 -1-1=-1-1 =I=I,-1-1=0 =0 证:=:=-1-1

8、=-1-1()=)=-1-1 因因为是任意函数是任意函数,所以所以-1-1 =I=I成立成立.同理同理,-1-1=I =I 亦成立亦成立.3.3.性性质 II:II:若若 ,均存在逆算符均存在逆算符,则 ()-1-1=-1-1 -1-1例如例如例如例如:设给定一函数设给定一函数 F(x),F(x),其各阶导数均存在其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛其幂级数展开收敛则可定可定义算符算符 的函数的函数 F(F()为:（9）复共轭算符复共轭算符算符算符 的复共的复共轭算符算符 *就是把就是把 表达式中表达式中 的所有量的所有量换成复共成复共轭.例如例如:坐坐标表象中表象中（8 8）算符函数）算符函数

9、利用波函数标准条件利用波函数标准条件:当当|x|x|时时,0 0。由于由于、是是 任意波函数任意波函数,所以所以同理可同理可证:（1010）转置算符转置算符(11)(11)厄密共轭算符厄密共轭算符由此可得：由此可得：:转置算符置算符 的定的定义厄密共厄密共轭 算符亦可算符亦可 写成：写成：算符算符 之厄密共轭算符之厄密共轭算符 +定义定义:可以可以证明明:()+=+(.)+=.+(12)(12)厄密算符厄密算符1.定定义:满足下列关系足下列关系 的算符称的算符称为 厄密算符厄密算符.2.性性质性性质 I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。两个厄密算符之和仍是厄密算符。即即 若若 +=,+=则 (+

10、)+=+=(+)性性质 II:两个厄密算符之两个厄密算符之积一般不是厄密一般不是厄密 算符算符,除非二算符除非二算符对易。易。因因为 ()+=+=仅当当 ,=0 成立成立时,()+=才成立。才成立。算算符符的的本本征征方方程程：如如果果一一个个算算符符作作用用在在一一个个函函数数上上得得到到的的结结果果是是一一个个常常数数乘以这个函数，即乘以这个函数，即3.2 厄密算符厄密算符这个方程称为算符的本征方程，常数这个方程称为算符的本征方程，常数 称为本征值，称为本征值，称为本征函数。一个算符可以称为本征函数。一个算符可以有多个本征函数和本征值（包括无限多个）。如果本征值是分立的，称为分离谱，有多个

11、本征函数和本征值（包括无限多个）。如果本征值是分立的，称为分离谱，如果本征值是连续的，称为连续谱如果本征值是连续的，称为连续谱。（。（注意，注意，0 0不能作为本征函数，但是可以是本征不能作为本征函数，但是可以是本征值。）值。）例：自由粒子的哈密顿算符的本征值是连续谱。例：一维谐振子的哈密顿是分离谱，有无限多个本征函数定理定理I I：体系任何状态体系任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数。下，其厄密算符的平均值必为实数。证：逆定理：在任何状态下，平均值均为逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。实数的算符必为厄密算符。根据假定在任意态下有：根据假定在任意态下有：证：取取=1

12、1+c+c2 2，其中其中 1 1 、2 2 也是任意态的波函数，也是任意态的波函数，c c 是任意常数。是任意常数。因因为对任任 意波函数意波函数左式左式=右式右式令令c=1，得：得：令令c=i，得：得：二式相加得：二式相加得：二式相减得：二式相减得：所得二式正是厄密算符的定义式，所得二式正是厄密算符的定义式，故逆定理成立。故逆定理成立。实验上的可观测实验上的可观测 量当然要求在任何状态下平均值量当然要求在任何状态下平均值 都是实数，因此相应的算符必须都是实数，因此相应的算符必须 是厄密算符。是厄密算符。所以左右两所以左右两边头两两项相等相消，于是有：相等相消，于是有：定理定理IIII：厄密

13、算符的本征值必为实。厄密算符的本征值必为实。当体系处于当体系处于 F F 的本征态的本征态n n 时，时，由由本本征征方方程程可可以以看看出出，在在n n（设已归一）态下设已归一）态下证根据定理根据定理 I（1 1）正交性）正交性定理定理III：厄密算符属于不同本征厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交的本征函数彼此正交.证：设取复共轭，并注意到取复共轭，并注意到 F Fm m 为实。为实。两两边右乘右乘 n 后后积分分二式相二式相减减 得：得：若若FmFn，则必有：必有：证毕（2 2）分立）分立谱、连续谱正交正交归一表示式一表示式1.分立分立谱正正 交交归一条一条 件分件分别为：2.连续谱

14、正正 交交归一条一条 件表示件表示为：(3)正交正交归一函数系一函数系满足上式的函数系足上式的函数系 n 或或 称称为正交正交归一函数系。一函数系。厄密算符的本征函数的正交性厄密算符的本征函数的正交性（4）简并情况并情况上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。如果如果 F F 的本征值的本征值F Fn n是是f f重简并的，则对应重简并的，则对应F Fn n有有f f个本征函数：个本征函数：n1n1,n2 n2,.,.,nfnf 满足本征方程：足本征方程：一般说来，

15、这些函数一般说来，这些函数 并不一定正交。并不一定正交。可可以以证证明明由由这这 f f 个个函函数数可可以以线线性性组组合合成成 f f 个个独独立立的的新新函函数数，它们仍属于本征值它们仍属于本征值 F Fn n 且满足正交归一化条件。且满足正交归一化条件。但是但是证证明明由由这 f 个个n i 线性性组合成合成 f 个新函数个新函数 n j可以可以满足正交足正交归一化条件：一化条件：证明分如下两步证明分如下两步进行进行:1.1.njnj 是本征是本征值 F Fn n 的本征函数。的本征函数。2.满足正交足正交归一条件的一条件的 f 个新函数个新函数n j可以可以组成。成。1.1.njnj

16、是本征是本征值F Fn n的本征函数。的本征函数。2.满足正交足正交归一条件的一条件的f个新函数个新函数nj可以可以组成。成。方程的归一化条件有方程的归一化条件有 f f 个，正交条个，正交条 件有件有f(f-1)/2f(f-1)/2 个，所以共有独立方个，所以共有独立方 程数为二者之和等于程数为二者之和等于 f(f+1)/2f(f+1)/2 。为此只需证明线性为此只需证明线性 叠加系数叠加系数 A Ajiji 的个的个 数数 f f 2 2 大于或等于大于或等于 正交归一条件方程正交归一条件方程 个数即可。个数即可。算符算符 F F 本征值本征值 F Fn n简并的本质是：简并的本质是：当当

17、 F Fn n 确定后还不能唯一的确定状确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻找态，要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符，另外一个或几个力学量算符，F F 算算符与这些算符两两对易，其本征值符与这些算符两两对易，其本征值与与 F Fn n 一起共同确定状态。一起共同确定状态。综合上述讨论可得如下结论：综合上述讨论可得如下结论：既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一函数系。都是正交归一化的，即组成正交归一函数系

18、。因为因为 f f2 2-f(f+1)/2=f(f-1)/2 0-f(f+1)/2=f(f-1)/2 0，所以，方程个数少于待定系数所以，方程个数少于待定系数 A Ajiji 的个数，因而，我们的个数，因而，我们有多种可能来确定这有多种可能来确定这 f f 2 2 个系数使上式成立。个系数使上式成立。f f 个新函个新函数数njnj 的确是算符的确是算符 F F 对应于本征值对应于本征值 Fn Fn 的正交归一化的正交归一化的本征函数。的本征函数。量子力学基本假设III：力学量（可观测量）用厄米算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量p

19、换为算符表示力学量的算符由组成完全系的本征函数。讨论：1.力学量的可测量值和平均值都是实数，所以必须用厄米算符表示。2.经典力学中没有的一些力学量，比如后面要将的自旋，也必须用厄米算符表示。3.将 动量换为 是在波函数表示为坐标函数的情况下（坐标表象）4.本征函数的完全性和完备性是指任意一个波函数，都可以用一个力学量算符完备的本征函数系表示为：分立谱连续谱一个力学量算符的本征函数系的完备性证明比较困难，一般都作为公理使用。实践表明量子力学中力学量算符的本征函数系都是完备的。（1 1）坐）坐标算符的正交算符的正交归一本征函数系一本征函数系3.3 常用力学量算符的本征函数系常用力学量算符的本征函数

20、系是本征值由于算符（在x表象中）所以这个本征方程的解是这是连续谱的本征函数系，正交归一条件为即当两个本征函数不一样时积分为零，一样时积分为无限大（坐标的本征函数是不可归一化的，因此不是物理上可实现的态）一个任意波函数可以用坐标的本征函数展开为即展开系数就是波函数本身。推广到三维情况，本征函数为2.动量算符的本征函数系是本征值这个本征方程的解为是连续谱的正交归一本征函数系。正交归一条件为（动量的本征函数是不可归一化的，因此也不是物理上可实现的态）一个任意波函数可以用动量的本征函数展开为展开系数可以由傅里叶变换（傅里叶技巧）得到。用乘以上式两边并积分由于动量本征值是连续变化的，所以通常以函数形式表

21、示为上述一维情况很容易推广到三维情况本征方程是本征值本征函数正交归一性波函数的展开傅里叶技巧求得展开系数xyzAAoL动量本征函数的箱量本征函数的箱归一化一化在箱子边界的对应点在箱子边界的对应点A,AA,A上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。据上所述，具有连续谱的本征函数如据上所述，具有连续谱的本征函数如:动量的本征函动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为数是不能归一化为一的，而只能归一化为-函数。函数。但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归

22、一，这种方法称为箱归一化。前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。周期性边界条件周期性边界条件:这表明，这表明，p px x 只能取分立值。只能取分立值。换言之，换言之，加上周期性边界条件后，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。连续谱变成了分立谱。所以所以 c=L-3/2，归一化的本征函数一化的本征函数为：波函数波函数变为这时归一化系数这时归一化系数 c c 可可由归一化条件来确定：由归一化条件来确定：（二）角动量算符（二）角动量算符（1）角）角动量算符的形式量算符的形式根据量子力学基本假定根据量子力学基本假定III，量子力学角量子力学角动量算符量算符为:(I)直角坐直角坐标系系角角

23、动量平方算符量平方算符经典力学中，若典力学中，若动量量为 p，相相对点点O 的的 位置矢量位置矢量为 r 的粒子的粒子绕 O 点的角点的角动量是：量是：由于角动量平方算符中含有关于由于角动量平方算符中含有关于 x x，y y，z z 偏导数的交叉项偏导数的交叉项,所以直角坐所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量分离变量,难于求解难于求解,为此我们采用球为此我们采用球坐标较为方便坐标较为方便.直角坐标与球坐标之间的变换关系直角坐标与球坐标之间的变换关系 xz球球 坐坐 标r y(II)(II)球坐球坐标将（将（1 1）式两边分式两边分别对别对 x y

24、x y z z 求偏导求偏导数得：数得：将（将（2 2）式两边分式两边分别对别对 x y x y z z 求偏导求偏导数得：数得：对于任意函数对于任意函数f(r,f(r,)（其中其中r,r,都是都是 x,y,zx,y,z的函数）则有：的函数）则有：将（将（3 3）式两边分式两边分别对别对 x y x y z z 求偏导求偏导数得：数得：将上面结果代将上面结果代回原式得：回原式得：则角角动量算符量算符 在球坐在球坐标中的中的 表达式表达式为：（2 2）本征方程）本征方程(I)Lz的本征方程的本征方程求求 归 一一 化化 系系 数数正交性：正交性：I I。波函数有限条件，要求波函数有限条件，要求

25、z z 为实数；为实数；IIII。波函数单值条件，要求波函数单值条件，要求当当 转过转过 22角角回到原位时波函数回到原位时波函数值相等，即：值相等，即：正交归一化性：正交归一化性：最后得最后得 Lz 的本征函数的本征函数 和本征和本征值：讨论：厄密性要求第一厄密性要求第一项为零零所所 以以则这正是周期正是周期性性边界条件界条件(II)L(II)L2 2的本征的本征值问题L2 的本征的本征值方程可写方程可写为：为使为使 Y(Y(,)在在 变化的整个区域变化的整个区域(0,)(0,)内都是有限的，内都是有限的，则必须满足：则必须满足：=（+1),+1),其中其中 =0,1,2,.=0,1,2,.

26、其中其中 Y(Y(,)是是 L L2 2 属于本征值属于本征值 l 2 2 的本征函数。此方程就是大的本征函数。此方程就是大 家熟悉的家熟悉的球谐函数方程球谐函数方程，其求解，其求解 方法在数学物理方法中已有详细方法在数学物理方法中已有详细 的讲述，得到的结论是：的讲述，得到的结论是：该方程的解就是球函数该方程的解就是球函数 Y Yl l m m(,)，其表达式：其表达式：归一化系数，由归一化条件确定归一化系数，由归一化条件确定注意注意:Y Y l ml m(,)也是也是L Lz z的本征函数的本征函数.其正交其正交归一一 条件条件为：具体计算请参考有关数学物理方法的书籍，在这里就不作详细介绍

27、了。具体计算请参考有关数学物理方法的书籍，在这里就不作详细介绍了。(III)本征本征值的的简并度并度由于量子数由于量子数 表征了角动量的大小，表征了角动量的大小，所以称为角量子数；所以称为角量子数；m m 称为磁量子数。称为磁量子数。可知，对应一个可知，对应一个 值，值，m m 取值为取值为 0,0,1,1,2,2,3,.,3,.,共共 (2(2 +1)+1)个值。因此当个值。因此当 确定后，尚有确定后，尚有(2(2 +1)+1)个磁量子状态不确定。个磁量子状态不确定。换言之，对应一个换言之，对应一个 值有值有(2(2 +1)+1)个量子状态，简并度是个量子状态，简并度是 (2(2 +1)+1

28、)。本征本征值值是是称为角量子数本征值是本征值是m称为磁量子数对应某一个可以 取的本征值是度度简简并的并的 前面几个球谐函数力学量的本征函数是否为物理上可实现的状态？判定一个函数是否为物理上可实现的态的标准是：满足波函数的标准条件，即有限性（波函数的模方积分为有限值，可归一化为1，这样才存在几率解释），单值性、连续性（保证空间某处的几率是唯一确定的）。无限深势阱哈密顿算符、一维谐振子哈密顿算符的本征函数系是物理上可实现的态角动量平方算符、角动量分量算符的本征函数系是物理上可实现的态。箱归一化的动量算符的本征函数系是物理上可实现的态。结论：如果力学量的本征函数系为分离谱，则本征函数为物理上可实现

29、的态。坐标算符、动量算符的本征函数系为连续谱，不是物理上可以实现的态。结论：如果力学量的本征函数系为连续谱，则本征函数不是物理上可实现的态。但是连续谱本征函数的叠加却可以是物理态，因为它们可以叠加处归一化的波函数。3.4 广义统计诠释 由波恩的统计诠释，当给定波函数时，我们知道如何求微观粒子在某一特定位置出现的几率。现在我们来考虑任何力学量的测量结果。设力学量Q的正交归一完备本征函数系为则任意波函数可表示为（分离谱）或（连续谱）量子力学基本假设III（统计假设）：如果对测量力学量Q，那么结果一定是力学量Q的一个本征值。如果Q的谱是分离谱qn，则得到qn的几率为如果Q的谱是连续谱则测量得到值位于

30、的几率为测量以后，波函数发生坍缩，对分离谱，如果测量得到qn，波函数坍缩至对连续谱，波函数坍缩至测量处的一个尖峰。具有几率的概念，它是处于态的粒子在测量力学量Q之后处于态的几率既然具有几率的意义，我们必须有分离谱连续谱证明：连续谱情况请 自行证明例题：在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为 ，如果粒子的状态由波函数 描写，A为归一化常数，求测量粒子能量的几率分布和能量的平均值。解：粒子能量的本征函数和本征值为 先把归一化，由归一化条件，其中利用了级数求和公式（这些公式可由函数的傅里叶级数展开式得到，可在数学手册上查到）本题利用的是或者取x=0例题：对谐振子的基态，求出其动量空间的波函数。测

31、量该状态的动量，发现其结果处于经典范围（具有相同能量）之外的几率是多大（精确到两位数）？解：谐振子基态在坐标空间中的波函数则动量空间的波函数为几率密度为经典范围为所以发现粒子动量在经典动量以外的几率为令查正态分布表 所以 3.5 两力学量同时有确定值的条件 不确定原理力学量算符的对易关系：当一个算符作用在一个函数上，得到另外一个函数，如果对这个函数再作用另外一个算符，我们的问题是算符的作用次序的改变会有什么影响？即考虑坐标和动量算符设为一任意函数即由于是任意的，上式可以表示为这个式子称为坐标与动量的对易关系。等式右边不为零，称与是不对易的两个算符的作用次序只有当两个算符对易时才能自由交换。当两

32、个算符不对易时，要交换它们的作用次序，必须考虑到它们的对易关系。基本对易关系动量分量和它对应的坐标是不对易的，而和它不对应的坐标是对易的。坐标分量之间是对应的，动量分量之间是对易的。经典力学量都是坐标和动量的函数，所以其它经典力学量的对易关系都可以由坐标和动量的对易关系导出。例：角例：角动量算符的量算符的对易关系易关系证：可合记作定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则二算符对易。数系，则二算符对易。证：证：由于由于 n n 组成完备系，所组成完备系，所以任意态函数以任意态函数 (x)(x)可以可以按其展开：按其展开：则则因为因为 (x)

33、(x)是任意函数是任意函数逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有共同的本征函数系。共同的本征函数系。证：证：考察：考察：n n 也是也是 G G 的本征函数，同理的本征函数，同理 F F 的所有本征函数的所有本征函数 n n （n=1n=1，2 2，)也也都是都是 G G 的本征函数的本征函数,因此二算符具有共同完备的本征函数系因此二算符具有共同完备的本征函数系.仅考虑非简并情况仅考虑非简并情况即：即：与与 n n 只差只差一常数一常数 G Gn n定理：定理：一组力学量算符具有共同本征函数系的充一组力学量算符具有共同本征函数系的充要条件是这组

34、算符两两对易。要条件是这组算符两两对易。例例 1 1：例例 2 2：例例 3 3：例例 4 4：（三）力学量完全集合 （1 1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。符的最小（数目）集合称为力学量完全集。例例 1 1：三维空间中自由粒子，完全确定其三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：状态需要三个两两对易的力学量：例例 2 2：一维谐振子，只需要一个力学一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：量就可完全确定其状态：（2 2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由

35、度数相同。）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。（3 3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。不确定原理等号仅对等号仅对F F的本征态成立。当两个算符的本征态成立。当两个算符F F、G G对易时，它们可以有共同的本征对易时，它们可以有共同的本征函数，所以函数，所以 和和 可以同时为零，所以我们有可以同时为零，所以我们有标准差乘积的下限为零表示，两者可以同时有确定值。我们的问题是：当标准差乘积的下限为零表示，两者可

36、以同时有确定值。我们的问题是：当F F、G G不对易时不对易时两者不可能同时有确定值，标准差乘积的下限是什么？两者不可能同时有确定值，标准差乘积的下限是什么？不确定原理的推导不确定原理的推导证：证：可证若F为厄米算符，则算符仍为厄米算符一个算符的标准方差定义为，它反映测量值与平均值的弥散程度设二厄密算符对易关系为：设二厄密算符对易关系为：是算符或是算符或普通数普通数最后有：最后有：对任意实数对任意实数 均成立均成立由代数二次式理论可知，该不等式成由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：立的条件是系数必须满足下列关系：两个不对易两个不对易算符均方偏算符均方偏差关系式差关系

37、式不确定原理标准方差其中：其中：事实上，对每一对其算符不对易的可观测量的都存在一个“不确定原理”我们称它们为不相容可观测量不相容可观测量。不相容可观测量没有完备的共同本征函数系。注意，不确定原理并不是量子力学中一个额外的假设，而是统计诠释的结果。你或许感到奇怪，它在实验室是怎么起作用的呢为什么就不能同时确定(比方说)一个粒子的坐标和动量呢？你当然可以测量一个粒子的位置，但是测量本身使波函数坍塌为一个尖峰，这样波的傅立叶展开中波长(动量)分布范围很宽。如果你此时再去测量动量，这个态就会坍塌为一个长正弦波，（现在）具有确定的波长但是此刻的粒子已经不再处于第一次测量时你得到的位置。这样问题是，第二次

38、测量使得第一次测量的结果无效了。只有波函数同时是两个力学量的本征态时，才有可能在不破坏粒子的状态的情况下进行第二次测量（这种情况下第二次坍塌不改变任何事情）。但是，一般来说，这只是在两个可观测量相互对易的情况下才有可能。例：坐标和动量的不确定关系例：坐标和动量的不确定关系即即,坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大。坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大。例：利用不确定关系求线性谐振子的零点能振子能量振子能量被积函数是被积函数是x x 的的奇函数奇函数于是：于是：设谐振子处于定态二均方偏差不能同时为零，故二均方偏差不能同时为零，故 E E 最小值也不能是零。最小

39、值也不能是零。为求为求 E E 的最小值，的最小值，取式中等号。取式中等号。则：则：求极值：求极值：解得：解得：因均方偏差不能小于零，因均方偏差不能小于零，故取正故取正零点能就是测不准关零点能就是测不准关系所要求的最小能量系所要求的最小能量例：角动量的测不准关系例：角动量的测不准关系例：例：利用测不准关系证明，在利用测不准关系证明，在 L Lz z 本征态本征态 Y Ylmlm 下，下，L Lx x=L Ly y=0=0证：证：由于在由于在 L Lz z 本征态本征态 Y Ylmlm 中，测量力学量中，测量力学量 L Lz z 有确有确定值，所以定值，所以L Lz z 均方偏差必为零，即均方偏

40、差必为零，即则测不准关系：则测不准关系：平均值的平方平均值的平方为非负数为非负数欲保证不等式成立，必有：欲保证不等式成立，必有：同理：同理：例例2 2：L L2 2，L LZ Z 共同本征态共同本征态 Y Ylmlm 下，下，求测不准关系：求测不准关系：解：解：由例由例1 1 可知：可知：由对易关系：由对易关系：等式两边右乘等式两边右乘 L Lx x 将上式两边将上式两边在在 Y Ylmlm 态下态下求平均：求平均：将上式两边在将上式两边在 Y Ylmlm 态下求平均：态下求平均：则测不准关系：则测不准关系：3.5.2力学量平均值随时间的变化 守恒定律力学量的平均值为对时间的微商为可以证明,上

41、式可以写作如果既不显含时间,又与对易那么有既的平均值不随时间改变.这样的力学量称为运动恒量,或者称它在在运动中守恒.例:(1)自由粒子的动量与对易,并且不显含时间所以自由粒子的动量是运动恒量.这就是量子力学中的动量守恒(2)粒子在辏力场中运动的角动量与并且不显含时间,所以粒子在辏力场中运动时,是运动恒量.这就是量子力学中的角动量守恒(3)哈密顿不显含时间的体系的能量若它当然也与自已对易,所以这样体系的能量是运动恒量注意一个力学量是运动恒量与力学量有确定值是不同的概念(4)哈密顿对空间反演不变时的宇称宇称算符(空间反演算符)因为既的本征值是1,因而的本征值是+1,-1,设对应的本征函数是若哈密顿

42、具有空间反演不变性则这样的哈密顿与宇称算符对易,它们有共同的本征函数,本征函数有确定的宇称,并且不随时间改变.这是量子力学中的宇称守恒定律.3.5.3能量能量-时间不确定原理时间不确定原理坐标-动量不确定原理经常和下面的能量-时间不确定原理类比：的确，在狭义相对论里，能量-时间的形式可以被认为是坐标-动量版本的的一个推论，因为x和t（或者说ct）在坐标-时间4-矢量里一同变换，而p和E（或者说E/c）在能量-动量4-矢量里一同变换。所以在相对论理论里，能量-时间不确定原理应该是坐标-动量不确定原理的一个必要的伴随式。但是我们不是在讨论相对论量子力学。薛定谔方程显然是非相对论的：式中赋予t和x非

43、常不同的立足点（在同一微分方程中是一次导数，而是二次导数），时间不是一个力学量，它仅是一个参数。我们现在的目的是导出能量-时间不确定原理，并且在推导的过程中使你相信，它实际上是另一个完全不同的概念，而它与位置-动量不确定原理表面上的相似之处实际上让人相当误解。首先，坐标、动量和能量都是动力学变量是体系在任何时刻都可观测的特征。但是时间本身不是动力学变量（在任何情况下，在非相对论中都不是）：你不会像测量坐标和能量一样去测量一个粒子的“时间”。时间是一个独立变量，动力学量是它的函数。特别地，能量-时间不确定原理中的不是对时间测量所收集数据的标准差；粗略地讲（一会儿将对此做出更精确的解释）正是时间让体系发生实质性的变化。当测量一个体系变化有多快时，我们有现在假设我们在广义不确定原理中（3.62式）令和并且假设不显含时间：或者，更简单地，我们定义 则有这就是能量-时间的不确定原理。但应注意到这里 的含义：由于表示的期待值变化单位标准差时所需的时间。特别是，完全依赖于你所关心的那个可观测量（）对有的可观测量变化较快，而有些较慢。但是，如果很小的话，则所有的可观测量的变化速率一定是非常平缓的；或者，换言之，假如任一可观测量变化很快的话，能量的“不确定”必定很大。