材料力学 PPT07应力应变分析、强度理论.ppt

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1、第第七七章章 应力状态分析应力状态分析强度理论强度理论171 应力状态的概念应力状态的概念2、受力构件内应力特征：、受力构件内应力特征：（1）构件不同截面上的应力状况一般是不同的；）构件不同截面上的应力状况一般是不同的；（2）构件同一截面上不同点处的应力状况一般是）构件同一截面上不同点处的应力状况一般是 不同的；不同的；（3）构件同一点处，在不同方位截面上应力状况）构件同一点处，在不同方位截面上应力状况 一般是不同的。一般是不同的。1、一点处的应力状态、一点处的应力状态:受力构件内一点处不同方受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合位的截面上应力的集合,称为一点处的应力状态。称为一点处的应力

2、状态。2P PA A(a)(a)a ab bc cd dA A(b)(b)3、单元体法、单元体法 (c)(c)（1）单元体截取方法）单元体截取方法:围绕围绕该点取出一个单元体。该点取出一个单元体。例如例如 右图所示矩形截面悬右图所示矩形截面悬臂梁内臂梁内A点的应力状态点的应力状态371 应力状态的概念应力状态的概念4F laS13S S S S平面平面平面平面zMzT4321yx目录71 应力状态的概念应力状态的概念5yxz 单元体上没有切应力的面称为单元体上没有切应力的面称为主平面主平面；主平面上的正应力；主平面上的正应力称为称为主应力，主应力，分别用分别用 表示，并且表示，并且该单元体该单

3、元体称为称为主应力单元。主应力单元。71 应力状态的概念应力状态的概念6空间（空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零71 应力状态的概念应力状态的概念7x xy ya a1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力d dA An nt t 7-2 7-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态8列平衡方程列平衡方程d dA An nt t 7-2 7-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态9利用三角函数公式利用三角函数公式并

4、并注意到注意到 化简得化简得 7-2 7-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态10 x xy ya a2.2.正负号规则正负号规则正应力：拉为正；反之为负正应力：拉为正；反之为负正应力：拉为正；反之为负正应力：拉为正；反之为负切应力：切应力：切应力：切应力：使微元顺时针方向使微元顺时针方向转动为正；反之为负。转动为正；反之为负。角：角：由由x x 轴正向逆时针转轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反到斜截面外法线时为正；反之为负。之为负。ntx 7-2 7-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态11确定正应力极值确定正应力极值设设0 0 时，上式值为零，即时，上式值为零，

5、即3.正正应力极值和方向应力极值和方向即即0 0 时，切应力为零时，切应力为零 7-2 7-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态12 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。为最大正应力和最小正应力所在平面。所以，最大和最小正应力分别为：所以，最大和最小正应力分别为：主应力主应力按代数值按代数值排序：排序：1 1 2 2 3 3 7-2 7-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态13试求试求（1 1）斜面上的应力；斜面上的应力；（2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面；（3 3）绘出主应力单元体。

6、）绘出主应力单元体。例题例题1 1：一点处的平面应力状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。已知已知 7-2 7-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态14解：解：（1 1）斜面上的应力斜面上的应力 7-2 7-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态15（2 2）主应力、主平面）主应力、主平面 7-2 7-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态16主平面的方位：主平面的方位：代入代入 表达式可知表达式可知主应力主应力 方向：方向：主应力主应力 方向：方向：7-2 7-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态17（3 3）主应力单元体：）主应力单元体：7

7、-2 7-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态18这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆 7-3 7-3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态19RC1.1.应力圆：应力圆：7-3 7-3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态202.2.应力圆的画法应力圆的画法D(x,t txy)D(y,t tyx)cRy yDDx x 7-3 7-3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态21点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力微元某一截面上的正应力和切应力3 3、几

8、种对应关系、几种对应关系D(x,t txy)D/(y,t tyx)cx xy yHn nH 7-3 7-3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态22 3例例 求图示单元体的主应力及主平面的位置。求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：单位：MPa)AB 1 2解：解：主应力坐标系如图主应力坐标系如图AB的垂直平分线与的垂直平分线与 a a 轴的交点轴的交点C便是便是圆心，以圆心，以C为圆心，为圆心，以以AC为半径画圆为半径画圆应力圆应力圆0 1 2BAC2 0 t t(MPa)(MPa)O20MPa在坐标系内画出点在坐标系内画出点23 3 1 2BAC2 0 t t(MPa)(MP

9、a)O20MPa主应力及主平面如图主应力及主平面如图 10 2AB24xyzo前面前面右侧面右侧面上面上面1 1、空间应力状态的概念空间应力状态的概念X 平面平面：法线与法线与X轴轴平行平行的平面。的平面。y,z平面的定义平面的定义类似。类似。第一下标第一下标第二下标第二下标 7-4 7-4 三向应力状态三向应力状态25xyzo上面右侧面前面第一下标第一下标第二下标第二下标表示表示x平面沿平面沿y方向的方向的剪应力剪应力第一下标表示剪应力所在第一下标表示剪应力所在的平面。的平面。第二下标表示剪应力的方向。第二下标表示剪应力的方向。26xyzo上面右侧面前面因而独立的应力分量是因而独立的应力分量

10、是6个个空间应力状态的最普遍情况如图所示空间应力状态的最普遍情况如图所示。根据剪应力互等定理，根据剪应力互等定理，在数值上有在数值上有27 2、应力状态的分类应力状态的分类空间应力状态空间应力状态:1,2,3均不等于零均不等于零平面应力状态平面应力状态:1,2,3中有一个等于零中有一个等于零.单向应力状态单向应力状态:1,2,3中只有一个不等于零中只有一个不等于零28受力物体内某一点处三个受力物体内某一点处三个主应力主应力 1 1、2 2、3 3 均为均为已知已知 (如图如图 )利用利用 应力圆应力圆应力圆应力圆 确定该点的最确定该点的最大正应力和最大剪应力大正应力和最大剪应力3 3、空间应力

11、状态下的最大正应力和最大剪应力空间应力状态下的最大正应力和最大剪应力29首先研究与其中一个首先研究与其中一个主平面主平面(例如主应力例如主应力 3 所在的平面所在的平面)垂直的垂直的斜截面上的应力。斜截面上的应力。30用截面法，沿求应力的截用截面法，沿求应力的截面将单元体截为两部分，面将单元体截为两部分，取左下部分为研究对象。取左下部分为研究对象。31与与 3垂直的斜截面上的应力可由垂直的斜截面上的应力可由 1,2作出的应力圆作出的应力圆上的点来表示。上的点来表示。主应力主应力 3 所在的两平面上是一所在的两平面上是一对自相平衡的力，对自相平衡的力，因而该斜面因而该斜面上的应力上的应力,与与

12、3无关无关,只由只由主应力主应力 1,2 决定。决定。32与主应力与主应力 2所在主平所在主平面垂直的斜截面上面垂直的斜截面上的应力的应力,可用由可用由 1,3作出的应力圆上作出的应力圆上的点来表示。的点来表示。33与主应力与主应力 所在主所在主平面垂直的斜截面平面垂直的斜截面上的应力上的应力,可用可用由由 2,3作出的应力作出的应力圆上的点来表示。圆上的点来表示。34该截面上应力该截面上应力 和和 对应的对应的D点必位于上点必位于上述三个应力圆所围述三个应力圆所围成成 的阴影内。的阴影内。abc 截面表示与三截面表示与三个主平面斜交的任个主平面斜交的任意斜截面意斜截面abc35结论结论结论结

13、论三个应力圆周上的三个应力圆周上的点及由它们围成的点及由它们围成的阴影部分上的点的阴影部分上的点的坐标代表了空间应坐标代表了空间应力状态下所有截面力状态下所有截面上的应力。上的应力。D D36D D37最大正应力最大正应力(指代数值指代数值)应等于最大应力圆上应等于最大应力圆上A点点的横坐标的横坐标 1A A38最大剪应力则等于最最大剪应力则等于最大的应力圆上大的应力圆上B点的点的纵坐标纵坐标A AB B39A AB B最大剪应力所在的最大剪应力所在的截面与截面与 2 所在平面所在平面垂直垂直,并与并与 1与与 3所在的主平面各成所在的主平面各成45角。角。40上述两公式同样适用于平面应力状态

14、或单向应力状态上述两公式同样适用于平面应力状态或单向应力状态,只需将具体问题的主应力求出只需将具体问题的主应力求出,并按代数值并按代数值 1 2 3 的顺序排列。的顺序排列。41例题例题 单元体的应力如图单元体的应力如图 a 所示所示,作应力圆作应力圆,并求出主应力并求出主应力和最大剪应力值及其作用面方位。和最大剪应力值及其作用面方位。42因此与该主平面正交的各截面因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力上的应力与主应力 z无关无关,依依据据 x 截面和截面和 y 截面上的应力画截面上的应力画出应力圆出应力圆.解解:该单元体有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力43 o A1A246MP-

15、26MP量得另外两个主应力为量得另外两个主应力为c44该单元体的三个主应该单元体的三个主应力按其代数值的大小力按其代数值的大小顺序排列为顺序排列为 o A1A2c45 ocA1A2B根据上述主应力，作根据上述主应力，作出三个应力圆。出三个应力圆。46 ocA1B从应力圆上量得从应力圆上量得A2据此可确定据此可确定 1所在的所在的主平面方位和主单元主平面方位和主单元体各面间的相互位置体各面间的相互位置.47 ocA1A2B其中最大剪应力所在其中最大剪应力所在截面与截面与 2垂直垂直,与与 1和和 3所在的主平面各所在的主平面各成成45 夹角。夹角。48 maxmax49解析法解析法由单元体图知：

16、由单元体图知：y z面为主平面面为主平面5040 xyz30ABCMPa由计算公式由计算公式得：MPaMPa所以：MPaMPaMPaMPa例例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）501.1.基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律yx1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律横向变形横向变形2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律 7-5 7-5 广义胡克定律广义胡克定律512 2、三向应力状态的广义胡克定律、三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法 7-5 7-5 广义胡克定律广义胡克定律52 7-5 7-5 广义胡克定律广义胡克定律533 3、广

17、义胡克定律的一般形式、广义胡克定律的一般形式 7-5 7-5 广义胡克定律广义胡克定律54 7-57-5 广义胡克定律广义胡克定律二、体积应变及应力的关系 1体积应变体积应变 变形前单元体的体积为变形前单元体的体积为 变形后，三个棱边的长度变为变形后，三个棱边的长度变为 55由于是主单元体，变形后三个棱边仍互相垂直，所以，变形后由于是主单元体，变形后三个棱边仍互相垂直，所以，变形后的体积为的体积为 于是，单元体单位体积的改变于是，单元体单位体积的改变56 2体积应变与应力的关系体积应变与应力的关系 称为体积弹性模量称为体积弹性模量体积应变只与平均应力有关，或者说只与三个主应力之体积应变只与平均

18、应力有关，或者说只与三个主应力之和有关，而与三个主应力之间的比值无关。体积应变与和有关，而与三个主应力之间的比值无关。体积应变与平均应力成正比，称为平均应力成正比，称为体积虎克定律体积虎克定律。是三个主应力的平均值是三个主应力的平均值577-6 7-6 复杂应力状态的应变比能复杂应力状态的应变比能在在轴轴向向拉拉伸伸或或压压缩缩时时，根根据据外外力力功功和和应应变变能能在在数数值值上上相等的关系，导出比能的计算公式为相等的关系，导出比能的计算公式为 本节讨论在已知主应力的复杂应力状态下的比能本节讨论在已知主应力的复杂应力状态下的比能 一、应变比能一、应变比能58假假定定应应力力按按 ：的的比比

19、例例同同时时从从零零增增加加至至最最终终值值，在线弹性情况下，每一主应力与相应的主应变仍保持线性在线弹性情况下，每一主应力与相应的主应变仍保持线性关系，因而与每一主应力相应的比能仍可按关系，因而与每一主应力相应的比能仍可按 计计算，于是，复杂应力状态下的比能是算，于是，复杂应力状态下的比能是59二、体积改变比能和形状改变比能二、体积改变比能和形状改变比能对对于于单单元元体体的的应应变变能能 也也可可认认为为是是由由以以下下两两部部分分组组成成：因因体体积积改改变变而而储储存存的的比比能能 。称称作作体体积积改改变变比比能能。体体积积不不变变，只只因因形形状状改改变变而而储储存存的的比比能能 。

20、称称作作形形状状改改变变比比能能（或畸变能密度）（或畸变能密度）60对于图所示的应力状态（只发生体积改变），将平均应力对于图所示的应力状态（只发生体积改变），将平均应力 代入公式，得到单元体的体积改变比能为代入公式，得到单元体的体积改变比能为61根据根据 62（拉压）（拉压）（弯曲）（弯曲）（正应力强度条件）（正应力强度条件）（弯曲）（弯曲）（扭转）（扭转）（切应力强度条件）（切应力强度条件）1.1.杆件基本变形下的强度条件杆件基本变形下的强度条件7-107-10、强度理论强度理论概述概述63满足满足是否强度就没有问题了？是否强度就没有问题了？7-107-10、强度理论强度理论概述概述64强度

21、理论：强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。在一定范围与实际相符合，上升为理论。为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。的关于材料破坏原因的假设及计算方法。7-107-10、强度理论强度理论概述概述65构件由于强度不足将引发两种失效形式构件由于强度不足将引发两种失效形式

22、(1)(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于关于屈服的强度理论：屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论最大切应力理论和形状改变比能理论 (2)(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。上，例如低碳钢拉、扭，铸

23、铁压。关于关于断裂的强度理论：断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论最大拉应力理论和最大伸长线应变理论7-107-10、强度理论强度理论概述概述661.1.最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论）（第一强度理论）材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值 构件危险点的最大拉应力构件危险点的最大拉应力 极限拉应力，由单拉实验测得极限拉应力，由单拉实验测得7-11、经典强度理论、经典强度理论67断裂条件断裂条件强度条件强度条件1.1.最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁拉伸铸铁扭转铸铁扭转7-11、经

24、典强度理论、经典强度理论682.2.最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论（第二强度理论）（第二强度理论）无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。拉伸时的破坏伸长应变数值。构件危险点的最大伸长线应变构件危险点的最大伸长线应变 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得7-11、经典强度理论、经典强度理论69实验表明：实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合

25、，如铸铁受拉压比第一强度理论性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。更接近实际情况。强度条件强度条件2.2.最大伸长拉应变理论最大伸长拉应变理论（第二强度理论）（第二强度理论）断裂条件断裂条件即即7-11、经典强度理论、经典强度理论70 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服只要发生屈服,都是都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。3.3.最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论）构件危险点的最大切应力构件危险点的最大切应力 极限切应力，由单向拉伸实验测得极限切应力，由单向拉伸实验测得7

26、-11、经典强度理论、经典强度理论71屈服条件屈服条件强度条件强度条件3.3.最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论）低碳钢拉伸低碳钢拉伸低碳钢扭转低碳钢扭转7-11、经典强度理论、经典强度理论72实验表明：实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生断裂的事实。断裂的事实。局限性：局限性：2 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，1 1、未考虑、未考虑 的影响，试验证实最大影响达的影响，试验证实最大影

27、响达15%15%。3.3.最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论）7-11、经典强度理论、经典强度理论73 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服只要发生屈服,都是都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。4.4.形状改变比形状改变比能理论能理论（第四强度理论）（第四强度理论）构件危险点的形状改变比能构件危险点的形状改变比能 形状改变比能的极限值，由单拉实验测得形状改变比能的极限值，由单拉实验测得7-11、经典强度理论、经典强度理论74屈服条件屈服条件强度条件强度条件4.4.形状改变比形状改变比能理论能理论（第四强度理论）（第四强度理论）实验表明：实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。7-11、经典强度理论、经典强度理论75强度理论的统一表达式：强度理论的统一表达式：相当应力相当应力7-11、经典强度理论、经典强度理论76