高中数学全程复习方略3.3.2 函数的极值与导数(共65张PPT).ppt

《高中数学全程复习方略3.3.2 函数的极值与导数(共65张PPT).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学全程复习方略3.3.2 函数的极值与导数(共65张PPT).ppt（65页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、3.3.2 函数的极值与导数1.1.了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用与导数的关系，并会灵活应用.2.2.结合函数的图象，了解函数在某点处取得极值的必要条件和结合函数的图象，了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件充分条件.3.3.会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数的极大值、极会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数的极大值、极小值小值.1.1.本课重点是利用导数求函数的极大值、极小值本课重点是利用导数求函数的极大值、极小值.2.2.本课难点是极值的综合应用本课难点是极值的综合应用.3.3

2、.本课易混点是导数等于本课易混点是导数等于0 0的点与极值点的关系的点与极值点的关系.1.1.极小值点与极小值的定义极小值点与极小值的定义(1)(1)特征：函数特征：函数y=f(x)y=f(x)在点在点x=ax=a的函数值的函数值f(a)f(a)比它在点比它在点x=ax=a附近附近其他点的函数值其他点的函数值_，且，且_._.(2)(2)实质：在点实质：在点x=ax=a附近的左侧附近的左侧_，右侧，右侧_._.(3)(3)极小值点是：极小值点是：_,_,极小值是极小值是:_.:_.2.2.极大值点与极大值的定义极大值点与极大值的定义(1)(1)特征：函数特征：函数y=f(x)y=f(x)在点在

3、点x=bx=b的函数值的函数值f(b)f(b)比它在点比它在点x=bx=b附近附近其他点的函数值其他点的函数值_，且，且_._.都小都小f(a)=0f(a)=0f(x)f(x)0 0f(x)f(x)0 0f(a)f(a)点点a a都大都大f(b)=0f(b)=0(2)(2)实质：在点实质：在点x=bx=b附近的左侧附近的左侧_，右侧，右侧_._.(3)(3)极大值点是：极大值点是：_,_,极大值是极大值是:_.:_.3.3.极值的定义极值的定义(1)(1)极大值与极小值统称极大值与极小值统称_._.(2)(2)极值反映了函数在某一点附近的极值反映了函数在某一点附近的_，刻画的是函数，刻画的是函

4、数的的_._.4.4.函数在某点取得极值的必要条件函数在某点取得极值的必要条件函数函数y=f(x)y=f(x)在点在点x=x0 x=x0处取得极值的必要条件是处取得极值的必要条件是_._.f(x)f(x)0 0f(x)f(x)0 0点点b bf(b)f(b)极值极值大小情况大小情况局部性质局部性质f(xf(x0 0)=0)=05.5.求函数求函数y=f(x)y=f(x)的极值的方法的极值的方法解方程解方程f(xf(x0 0)=0)=0，当，当f(xf(x0 0)=0)=0时：时：(1)(1)如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧_，右侧，右侧_，那么，那么f f(x(x0 0)是极大值；

5、是极大值；(2)(2)如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧_，右侧，右侧_，那么，那么f f(x(x0 0)是极小值是极小值.f(x)f(x)0 0f(x)f(x)0 0f(x)f(x)0 0f(x)f(x)0 01.1.函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内函数的极大值和函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内函数的极大值和极小值是唯一的吗？极小值是唯一的吗？提示：提示：不一定不一定;不一定唯一不一定唯一.2.2.已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)的导函数的导函数y=f(x)y=f(x)的图象如图所示，则函数的图象如图所示，则函数f(x)f(x)有有_个极大值点，个极大值点，_个

6、极小值点个极小值点.【解析解析】由图象得在由图象得在x=xx=x2 2时导数值为时导数值为0 0，且左侧，且左侧f(x)f(x)0 0，右，右侧侧f(x)f(x)0 0，故，故x=xx=x2 2为极大值点；在为极大值点；在x=xx=x3 3时导数值为时导数值为0 0，且左，且左侧侧f(x)f(x)0,0,右侧右侧f(x)f(x)0 0，故，故x=xx=x3 3为极小值点为极小值点.答案：答案：1 11 13.3.函数函数f(x)=xf(x)=x3 3-3x-3x2 2+7+7的极大值为的极大值为_._.【解析解析】f(x)=3xf(x)=3x2 2-6x,-6x,解解3x3x2 2-6x=0-

7、6x=0得得x=0 x=0或或x=2x=2，f(x)f(x)的增区间为的增区间为(2,+)(2,+)和和(-,0)(-,0)，f(x)f(x)的减区间为的减区间为(0,2)(0,2)，当当x=0 x=0时，函数取得极大值时，函数取得极大值f(0)=7.f(0)=7.答案：答案：7 71.1.极值概念的理解极值概念的理解在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值值，极值指的是函数值.请注意以下几点：请注意以下几点：(1)(1)极值是一个局部概念极值是一个局部概念.由定义可知，极值只是某个点的函数由定义可知，极值

8、只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小数的整个定义域内最大或最小.(2)(2)函数的极值不一定是唯一的，即一个函数在某个区间上或函数的极值不一定是唯一的，即一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个定义域内的极大值或极小值可以不止一个.(3)(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如图所示，大值未必大于极小值，如图所示，x x1 1是极大值点，是极大值点，x x4 4是极小值是极小值

9、点，而点，而f(xf(x4 4)f(xf(x1 1).).(4)(4)函数函数f(x)f(x)在某区间内有极值在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点值点之间必有一个极大值点.一般地一般地,当函数当函数f(x)f(x)在某区间上连在某区间上连续且有有限个极值点时续且有有限个极值点时,函数函数f(x)f(x)在该区间内的极大值点与极在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的小值点是交替出现的.2.2.极值点与导数为零的点的辨析极值点与导

10、数为零的点的辨析(1)(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即一定是极值点，即“点点x x0 0是可导函数是可导函数f(x)f(x)的极值点的极值点”是是“f(xf(x0 0)=0”)=0”的充分不必要条件；的充分不必要条件；(2)(2)可导函数可导函数f(x)f(x)在点在点x x0 0处取得极值的充要条件是处取得极值的充要条件是f(xf(x0 0)=0)=0，且在且在x x0 0左侧和右侧左侧和右侧f(x)f(x)的符号不同的符号不同.(3)(3)如果在如果在x x0 0的两侧的两侧f(x)f(x)的符号相同

11、，则的符号相同，则x x0 0不是不是f(x)f(x)的极值点的极值点.求已知函数的极值求已知函数的极值【技法点拨技法点拨】求函数极值的步骤求函数极值的步骤确定函数确定函数f(x)f(x)的定义域的定义域求导函数求导函数f(x)f(x)求定义域求定义域 求导数求导数用用f(x)=0f(x)=0的根将定义域的根将定义域分成若干区间，列表分成若干区间，列表求求f(x)f(x)在定义域内的所有根在定义域内的所有根求方程的根求方程的根 列表列表由各个区间内由各个区间内f(x)f(x)的符的符号，判断极值情况号，判断极值情况 求极值求极值【典例训练典例训练】(建议教师以第建议教师以第2 2题为例题重点讲

12、解题为例题重点讲解)1.1.已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3-px-px2 2-qx-qx的图象与的图象与x x轴切于轴切于(1,0)(1,0)点，则点，则f(x)f(x)的的极大值为极大值为_，极小值为，极小值为_._.2.2.求函数求函数f(x)=xf(x)=x4 4-x-x3 3的极值的极值.【解析解析】1.f(x)1.f(x)与与x x轴切于轴切于(1,0)(1,0)点，点，f(x)=3xf(x)=3x2 2-2px-q-2px-q，f(1)=3-2p-q=0.f(1)=3-2p-q=0.又又f(1)=1-p-q=0f(1)=1-p-q=0，p=2,q=-1.p=2,q=

13、-1.f(x)=3xf(x)=3x2 2-4x+1.-4x+1.由由f(x)=0f(x)=0得得x x1 1=,x=,x2 2=1.=1.当当x x变化时，变化时，f(x),f(x)f(x),f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x x(-,)(-,)(,1)(,1)1 1(1,+)(1,+)f(x)f(x)f(x)f(x)+0 00 0+-0 0f(x)f(x)极大值极大值=f()=,=f()=,f(x)f(x)极小值极小值=f(1)=0.=f(1)=0.答案：答案：0 02.f(x)=x2.f(x)=x4 4-x-x3 3,f(x)=4x,f(x)=4x3 3-3x-3x2 2.令令

14、f(x)=0,f(x)=0,即即4x4x3 3-3x-3x2 2=0,=0,得得x x2 2(4x-3)=0.(4x-3)=0.x=0 x=0或或x=.x=.当当x x变化时，变化时，f(x),f(x)f(x),f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：由上表可知由上表可知,函数函数f(x)f(x)在区间在区间(-,0)(-,0)上是减函数上是减函数,在区间在区间(0,)(0,)上还是减函数上还是减函数,因此因此x=0 x=0不是函数的极值点不是函数的极值点;而函数而函数f(x)f(x)在区间在区间(0,)(0,)上是减函数，在区间上是减函数，在区间(,+)(,+)上是增函数，因此在上是增函

15、数，因此在x=x=处取得极小值，其值为处取得极小值，其值为 .x x(-,0)(-,0)0 0(0,)(0,)(,+)(,+)f(x)f(x)f(x)f(x)-0 0-0 0+不是不是极值极值【总结总结】解答题解答题1 1的关键点及解答题的关键点及解答题2 2时的注意点时的注意点.提示：提示：(1)(1)解答题解答题1 1的关键点是函数的关键点是函数f(x)f(x)的图象与的图象与x x轴切于轴切于(1,0)(1,0)点所隐含的两个条件的挖掘，即点所隐含的两个条件的挖掘，即f(1)=0f(1)=0与与f(1)=0.f(1)=0.(2)(2)解答题解答题2 2时的注意点是时的注意点是f(x)=0

16、f(x)=0的点左右两侧的点左右两侧f(x)f(x)异号，异号，解题时极易忽视解题时极易忽视.已知函数的极值求参数已知函数的极值求参数【技法点拨技法点拨】已知函数极值点或极值求参数的两个注意点已知函数极值点或极值求参数的两个注意点(1)(1)常根据极值点处导数为常根据极值点处导数为0 0和极值的两个条件列方程组，利用和极值的两个条件列方程组，利用待定系数法求解待定系数法求解.(2)(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性用待定系数法求解后必须验证根的合理性.【典例训练典例训练】(建议教师以第建

17、议教师以第2 2题为例题重点讲解题为例题重点讲解)1.1.若函数若函数f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+a+bx+a2 2在在x=1x=1处取得极值处取得极值1010，则，则a=_a=_，b=_.b=_.2.2.已知已知f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+c+bx+c在在x=1x=1与与x=-x=-时都取得极值时都取得极值.(1)(1)求求a,ba,b的值；的值；(2)(2)若若f(-1)=f(-1)=，求，求f(x)f(x)的单调区间和极值的单调区间和极值.【解析解析】1.f(x)=3x1.f(x)=3x2 2+2ax+b,+2ax+b,依题意得依题

18、意得即即 解得解得 或或但由于当但由于当a=-3,b=3a=-3,b=3时时,f(x)=3x,f(x)=3x2 2-6x+30,-6x+30,故故f(x)f(x)在在R上单调上单调递增递增,不可能在不可能在x x1 1处取得极值处取得极值,不合题意不合题意,舍去舍去;而当而当 时时,经检验知，符合题经检验知，符合题意意,故故a,ba,b的值分别为的值分别为4,4,11.11.答案：答案：4 4 11112.(1)f(x)=3x2.(1)f(x)=3x2 2+2ax+b+2ax+b，令令f(x)=0f(x)=0，由题设知，由题设知x=1x=1与与x=-x=-为为f(x)=0f(x)=0的解的解.

19、a=-,b=-2.a=-,b=-2.(2)(2)由由(1)(1)知知f(x)=xf(x)=x3 3-x-x2 2-2x+c-2x+c，由由f(-1)=-1-+2+c=f(-1)=-1-+2+c=，得，得c=1.c=1.f(x)=xf(x)=x3 3-x-x2 2-2x+1.-2x+1.f(x)=3xf(x)=3x2 2-x-2.-x-2.当当x x变化时，变化时，f(x),f(x)f(x),f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：f(x)f(x)的递增区间为的递增区间为(-,-)(-,-)和和(1,+)(1,+)，递减区间为，递减区间为(-,(-,1).1).当当x=-x=-时，时，f(x

20、)f(x)有极大值为有极大值为f(-)=f(-)=；当当x=1x=1时，时，f(x)f(x)有极小值为有极小值为f(1)=-.f(1)=-.x x(-,-(-,-)-(-,1)(-,1)1 1(1,+)(1,+)f(x)f(x)f(x)f(x)+0 0-0 0+-【归纳归纳】解答题解答题1 1的注意点及解答题的注意点及解答题2 2时的关键点时的关键点.提示：提示：(1)(1)解答题解答题1 1时应紧扣函数极值的定义时应紧扣函数极值的定义.解完方程组后，解完方程组后，应把方程组的解代入原函数应把方程组的解代入原函数,根据函数极值的定义验证是否符根据函数极值的定义验证是否符合题意，进行灵活的取舍合

21、题意，进行灵活的取舍.(2)(2)解答题解答题2 2时把握住题目中的函数的极值点是导函数值等于零时把握住题目中的函数的极值点是导函数值等于零的方程的根这一实质进行合理的转化的方程的根这一实质进行合理的转化.函数极值的综合应用函数极值的综合应用【技法点拨技法点拨】极值问题的综合应用技巧极值问题的综合应用技巧 极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题

22、中的应用.在解题在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键是解决综合问题的关键.【典例训练典例训练】1.1.函数函数f(x)=xf(x)=x3 3+x+x2 2-5x+2-5x+2的图象与直线的图象与直线y=ky=k恰有三个不同的交点，恰有三个不同的交点，则实数则实数k k的取值范围为的取值范围为_._.2.2.函数函数f(x)=axf(x)=ax3 3-6ax-6ax2 2+3bx+b+3bx+b，其图象在，其图象在x=2x=2处的切线方程为处的切线方程为3x+y-11=0.3x+y-11=0.(1)

23、(1)求函数求函数f(x)f(x)的解析式；的解析式；(2)(2)若函数若函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与y=f(x)+5x+my=f(x)+5x+m的图象有三个不同的图象有三个不同的交点，求实数的交点，求实数m m的取值范围的取值范围.【解析解析】1.f(x)=x1.f(x)=x3 3+x+x2 2-5x+2,-5x+2,f(x)=3xf(x)=3x2 2+2x-5.+2x-5.由由f(x)=0f(x)=0得得x=-x=-或或x=1.x=1.当当x x变化时，变化时，f(x)f(x)，f(x)f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x x(-,-(-,-)-(-,1)(-,1

24、)1 1(1,+)(1,+)f(x)f(x)f(x)f(x)+0 0-0 0+-1-1根据上表，当根据上表，当x=-x=-时函数取得极时函数取得极大值且极大值为大值且极大值为f(-)=f(-)=，当，当x=1x=1时函数取得极小值且极小值为时函数取得极小值且极小值为f(1)=-1.f(1)=-1.根据题意结合下图可知根据题意结合下图可知k k的取值范的取值范围为围为(1 1，).).答案：答案：(1 1，)2.(1)2.(1)由题意得由题意得f(x)=3axf(x)=3ax2 2-12ax+3b-12ax+3b，f(2)=-3f(2)=-3且且f(2)=5f(2)=5，即即解得解得a=1a=1

25、，b=3b=3，f(x)=xf(x)=x3 3-6x-6x2 2+9x+3.+9x+3.(2)(2)由由f(x)=xf(x)=x3 3-6x-6x2 2+9x+3,+9x+3,可得可得f(x)=3xf(x)=3x2 2-12x+9-12x+9，f(x)+5x+m=(3xf(x)+5x+m=(3x2 2-12x+9)+5x+m-12x+9)+5x+m=x=x2 2+x+3+m,+x+3+m,则由题意可得则由题意可得x x3 3-6x-6x2 2+9x+3=x+9x+3=x2 2+x+3+m+x+3+m有三个不相等的实根，有三个不相等的实根，即即g(x)=xg(x)=x3 3-7x-7x2 2+8

26、x-m+8x-m的图象与的图象与x x轴有三个不同的交点，轴有三个不同的交点，g(x)=3xg(x)=3x2 2-14x+8=(3x-2)(x-4),-14x+8=(3x-2)(x-4),令令g(x)=0g(x)=0得得x=x=或或x=4.x=4.当当x x变化时，变化时，g(x)g(x)，g(x)g(x)的变化情况如表的变化情况如表:x x(-,-(-,-)-(-,4)(-,4)4 4(4,+)(4,+)g(x)g(x)g(x)g(x)+0 0-0 0+-m-m-16-m-16-m则函数则函数g(x)g(x)的极大值为的极大值为g()=-mg()=-m，极小值为，极小值为g(4)=-16-m

27、.g(4)=-16-m.由由y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与y=f(x)+5x+my=f(x)+5x+m的图象有三个不同交点，的图象有三个不同交点，得得 解得解得-16-16m m .【思考思考】解答题解答题1 1时函数时函数f(x)f(x)的图象与的图象与y=ky=k有三个不同的交点的有三个不同的交点的实质是什么？实质是什么？解答题解答题2 2时的转化思想是什么？时的转化思想是什么？提示：提示：(1)(1)解答题解答题1 1时函数时函数f(x)f(x)的图象与的图象与y=ky=k有三个不同的交点有三个不同的交点的实质是的实质是k k介于函数介于函数f(x)f(x)的极大值与极小值之间

28、的极大值与极小值之间.(2)(2)解答题解答题2 2时的转化思想是构造新函数，问题转化为新的函数时的转化思想是构造新函数，问题转化为新的函数图象与图象与x x轴有三个不同的交点轴有三个不同的交点.【规范解答规范解答】含参函数的极值点问题含参函数的极值点问题【典例典例】(12(12分分)已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3-(m+3)x-(m+3)x2 2+(m+6)x (x+(m+6)x (xR)(R)(其中其中m m为常数为常数).).(1)(1)当当m=4m=4时，求函数的极值点和极值；时，求函数的极值点和极值；(2)(2)若函数若函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(0,+

29、)(0,+)上有两个极值点，求实数上有两个极值点，求实数m m的的取值范围取值范围.【解题指导解题指导】【规范解答规范解答】函数的定义域为函数的定义域为R.R.(1)(1)当当m=4m=4时，时，f(x)=xf(x)=x3 3-x-x2 2+10 x+10 x，f(x)=xf(x)=x2 2-7x+10,-7x+10,令令f(x)=0f(x)=0，解得解得x=5x=5或或x=2x=23 3分分当当x x变化时，变化时，f(x),f(x)f(x),f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x x(-,2)(-,2)2 2(2,5)(2,5)5 5(5,+)(5,+)f(x)f(x)+0 0-0

30、 0+f(x)f(x)由表知，由表知，函数的极大值点是函数的极大值点是x=2x=2，极大值是，极大值是 ；函数的极小值点是函数的极小值点是x=5x=5，极小值是，极小值是 .6 6分分(2)f(x)=x(2)f(x)=x2 2-(m+3)x+m+6,-(m+3)x+m+6,8 8分分要使函数要使函数y=f(x)y=f(x)在在(0,+)(0,+)有两个极值点有两个极值点,则有方程则有方程f(x)=0f(x)=0在在(0,+)(0,+)上有两个不同的实数根上有两个不同的实数根.即即 1010分分解得解得m m3.3.mm.1212分分【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和

31、解通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：题启示总结如下：(注：此处的注：此处的见规范解答过程见规范解答过程)失失分分警警示示 在解答过程中，在解答过程中，处虽然很简单，但对整个解题过处虽然很简单，但对整个解题过程起到关键作用，是顺利解答本题的前提程起到关键作用，是顺利解答本题的前提.在实际考在实际考试中，如果试中，如果处正确，即使后面的结果错误，至少处正确，即使后面的结果错误，至少给给3 3分；如果没有分；如果没有处，即使后面的结果正确，但解处，即使后面的结果正确，但解析不完整，最多给析不完整，最多给3 3分分.这是考试中的得分点这是考试中的得分点.在解答过程中，在解答过程中

32、，处对解题结果的概述容易漏掉极处对解题结果的概述容易漏掉极值点而只说极值，或说成值点而只说极值，或说成“函数在函数在x=2x=2时取极大值为时取极大值为 ”的形式，这在实际考试中都是答非所问的情的形式，这在实际考试中都是答非所问的情形，即使前面的结果正确，最多给形，即使前面的结果正确，最多给5 5分分.这是考试中这是考试中最不该失分的地方最不该失分的地方.失失分分警警示示在解答过程中在解答过程中,因对因对“函数函数y=f(x)y=f(x)在在(0,+)(0,+)上有两上有两个极值点个极值点”理解不够理解不够,不能正确的进行转化，或转化不能正确的进行转化，或转化为为“方程方程f(x)=0f(x)

33、=0在在(0,+)(0,+)上有两个不同的实数根上有两个不同的实数根”后而不能正确的得到后而不能正确的得到处是考试中最常出现的错误处是考试中最常出现的错误所在，在实际考试中，如果能够得到所在，在实际考试中，如果能够得到处的式子，即处的式子，即使结果错误，最多扣使结果错误，最多扣2 2分分.解解题题启启示示 (1)(1)在解题的时候，学会得分在解题的时候，学会得分.(2)(2)对函数的求导、解方程对函数的求导、解方程(组组)、不等式、不等式(组组)的基本的基本方法与技巧要熟练方法与技巧要熟练.(3)(3)解题要规范、严谨，对于基本的题型要严格按步解题要规范、严谨，对于基本的题型要严格按步骤进行，

34、切忌跨步解答骤进行，切忌跨步解答.【规范训练规范训练】(1212分分)(2012)(2012龙岩高二检测龙岩高二检测)已知函数已知函数f(x)=f(x)=x x3 3-2ax-2ax2 2-3x(aR).-3x(aR).(1)(1)当当|a|a|时时,求证：求证：f(x)f(x)在在(-1,1)(-1,1)内是减函数内是减函数;(2)(2)若若y=f(x)y=f(x)在在(-1,1)(-1,1)内有且只有一个极值点内有且只有一个极值点,求求a a的取值范围的取值范围.【解题设问解题设问】(1)(1)解答本题需要讨论吗？解答本题需要讨论吗？_(2)(2)若需要，讨论的标准是什么？若需要，讨论的标

35、准是什么？a a的取值对函数极值的影响，的取值对函数极值的影响，即即 时时,f(x),f(x)在在(-1,1)(-1,1)内有且只有一个极值点内有且只有一个极值点,且是极大值且是极大值点；点；时，时，f(x)f(x)在在(-1,1)(-1,1)内有且只有一个极值点内有且只有一个极值点,且是极且是极小值点；小值点；时时,f(x),f(x)在在(-1,1)(-1,1)内无极值点内无极值点.需要需要【规范答题规范答题】(1)f(x)=x(1)f(x)=x3 3-2ax-2ax2 2-3x,-3x,f(x)=2xf(x)=2x2 2-4ax-3-4ax-3，2 2分分|a|,|a|,4 4分分又又二次

36、函数二次函数f(x)f(x)的图象开口向上的图象开口向上,在在(-1,1)(-1,1)内内f(x)f(x)0,0,故故f(x)f(x)在在(-1,1)(-1,1)内是减函数内是减函数.6 6分分(2)(2)设极值点为设极值点为x x0 0(-1(-1，1),1),则则f(xf(x0 0)=0.)=0.当当a a 时时,8 8分分在在(-1,x(-1,x0 0)内内f(x)f(x)0,0,在在(x(x0 0,1),1)内内f(x)f(x)0,0,即即f(x)f(x)在在(-1,x(-1,x0 0)内是增函数内是增函数,f(x),f(x)在在(x(x0 0,1),1)内是减函数内是减函数.当当a

37、a 时时,f(x),f(x)在在(-1,1)(-1,1)内有且只有一个极值点内有且只有一个极值点,且是极大值且是极大值点点.1010分分当当a a-时时,同理可知同理可知,f(x),f(x)在在(-1,1)(-1,1)内有且只有一个极值点内有且只有一个极值点,且是极小值点且是极小值点.当当-a -a 时时,由由(1)(1)知知f(x)f(x)在在(-1,1)(-1,1)内没有极值点内没有极值点.故所求故所求a a的取值范围为的取值范围为(-,-)(,+).(-,-)(,+).1212分分1.1.设设x x0 0为可导函数为可导函数f(x)f(x)的极值点，则下列说法正确的是的极值点，则下列说法

38、正确的是()()(A)(A)必有必有f(xf(x0 0)=0)=0(B)f(x(B)f(x0 0)不存在不存在(C)f(x(C)f(x0 0)=0)=0或或f(xf(x0 0)不存在不存在(D)f(x(D)f(x0 0)存在但可能不为存在但可能不为0 0【解析解析】选选A.A.由函数极值的定义可得由函数极值的定义可得.2.2.函数函数y=xy=x3 3-3x-3x2 2-9x(-2-9x(-2x x2)2)有有()()(A)(A)极大值极大值5 5，极小值，极小值-27-27(B)(B)极大值极大值5 5，极小值，极小值-11-11(C)(C)极大值极大值5 5，无极小值，无极小值(D)(D)

39、极小值极小值-27-27，无极大值，无极大值【解析解析】选选C.y=3(x+1)(x-3)C.y=3(x+1)(x-3)，所以只有所以只有x=-1x=-1是函数的极值点，且是极大值点是函数的极值点，且是极大值点.此时此时y=5.y=5.3.3.函数函数f(x)=-xf(x)=-x3 3+x+x2 2+2x+2x取极小值时，取极小值时，x x的值是的值是()()(A)2 (B)2,-1 (C)-1 (D)-3(A)2 (B)2,-1 (C)-1 (D)-3【解析解析】选选C.f(x)=-xC.f(x)=-x2 2+x+2=-(x-2)(x+1).+x+2=-(x-2)(x+1).在在x=-1x=

40、-1的附近左侧的附近左侧f(x)f(x)0 0，右侧，右侧f(x)f(x)0 0，x=-1x=-1时取极小值时取极小值.4.4.函数函数f(x)=xf(x)=x3 3-6x-6x2 2-15x+2-15x+2的极大值是，极小值是的极大值是，极小值是_._.【解析解析】f(x)=3xf(x)=3x2 2-12x-15=3(x-5)(x+1),-12x-15=3(x-5)(x+1),解解f(x)=0f(x)=0得得x=5x=5或或x=-1.x=-1.可知：可知：在在(-,-1),(5,+)(-,-1),(5,+)上上f(x)f(x)0 0，在在(-1,5)(-1,5)上上f(x)f(x)0 0，f

41、(x)f(x)极大值极大值=f(-1)=10=f(-1)=10，f(x)f(x)极小值极小值=f(5)=-98.=f(5)=-98.答案：答案：10 10 98985.5.设函数设函数f(x)=axf(x)=ax3 3+bx+bx2 2+cx+d+cx+d的图象与的图象与y y轴交点为轴交点为P P，且曲线在，且曲线在P P点处的切线方程为点处的切线方程为12x-y-4=0.12x-y-4=0.若函数在若函数在x=2x=2处取得极值处取得极值0 0，试确，试确定函数的解析式定函数的解析式.【解析解析】f(x)=3axf(x)=3ax2 2+2bx+c,P+2bx+c,P点坐标为点坐标为(0,d)(0,d)，又曲线在点又曲线在点P P处切线方程为处切线方程为12x-y-4=012x-y-4=0，当当x=0 x=0时，时，y=dy=d，即，即d=-4d=-4，f(0)=cf(0)=c，又切线斜率，又切线斜率k=12k=12，c=12.c=12.又函数在又函数在x=2x=2处取得极值处取得极值0 0，解得解得函数解析式为函数解析式为f(x)=2xf(x)=2x3 3-9x-9x2 2+12x-4.+12x-4.