(精品)005初等模型III.ppt

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1、初初 等等 模模 型型(III)4.双层玻璃窗的功效2d墙墙室室内内 T1室室外外 T2dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2问问题题双层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失玻璃窗相比，减少多少热量损失假假设设热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，热传导系数为常数建建模模热传导定律热传导定律Q1Q2Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差,d材料厚度材料厚度,k热传导系热传导系数数dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T

2、2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数k2空气空气的热传导系数的热传导系数建模建模记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙墙室室内内 T1室室外外 T2Q2双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比k1=4 10-3 8 10-3,k2=2.5 10-4,k1/k2=16 32对对Q1比比Q2的的减少量减少量作最保守的估计，作最保守的估计，取取k1/k2=16建模建模hQ1/Q24200.060.030.026模型应用模型应用取取

3、h=l/d=4,则则 Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可料的单层玻璃窗相比，可减少减少97%的热量损失。的热量损失。结果分析结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数导系数 k2 2,而这要求空气非常干燥、不流通。而这要求空气非常干燥、不流通。房间通过天花板、墙壁房间通过天花板、墙壁 损失的热量更多。损失的热量更多。双层窗的功效不会如此之大双层窗的功效不会如此之大Discussions5.录像机计数器的用途问问题题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为在一次使用中录像带已经转过大半，

4、计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？小时的节目？要求要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。录像带转过时间的关系。思考思考计数器读数是均匀增长的吗？计数器读数是均匀增长的吗？经试验，一盘标明经试验，一盘标明180分钟的录像带分钟的录像带从头走到尾，时间用了从头走到尾，时间用了184分，计数分，计数器读数从器读数从0000变到变到6061。录像机计数器的工作原理录像机计数器的工作原理主动轮主动轮压轮压轮0000左轮盘左轮盘右轮盘右轮盘磁头磁头计数器计数器录像带录像带录像带运动方向录像带运动方向录像

5、带运动录像带运动右轮盘半径增大右轮盘半径增大右轮转速不是常数右轮转速不是常数录像带运动速度是常数录像带运动速度是常数计数器读数增长变慢计数器读数增长变慢问题分析问题分析观察观察 计数器读数增长越来越慢！计数器读数增长越来越慢！模型假设模型假设 录像带的运动速度是常数录像带的运动速度是常数 v；计数器读数计数器读数 n与右轮转数与右轮转数 m成正比，记成正比，记 m=kn；录像带厚度（加两圈间空隙）为常数录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w；空右轮盘半径记作空右轮盘半径记作 r；时间时间 t=0 时读数时读数 n=0.建模目的建模目的建立建立时间时间t与读数与读数n之间的关系之间的关系（设（设v

6、,k,w,r为已知参数）为已知参数）模型建立模型建立建立建立t与与n的函数关系有多种方法的函数关系有多种方法1.右轮盘转第右轮盘转第 i 圈的半径为圈的半径为r+wi,m圈的总长度圈的总长度等于录等于录像像带在时间带在时间t内移动的长度内移动的长度vt,所以所以2.考察右轮盘面积的考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚度变化，等于录像带厚度乘以转过的长度，即乘以转过的长度，即3.考察考察t到到t+dt录像带在录像带在右轮盘缠绕的长度，有右轮盘缠绕的长度，有模型建立模型建立思思 考考3 3种建模方法得到同一结果种建模方法得到同一结果但仔细推算会发现稍有差别，请解释。但仔细推算会发现稍有差别，请解释。

7、模型中有待定参数模型中有待定参数一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。思思 考考参数估计参数估计另一种确定参数的方法另一种确定参数的方法测试分析测试分析将模型改记作将模型改记作只需估计只需估计 a,b理论上，已知理论上，已知t=184,n=6061,再有一组再有一组(t,n)数据即可数据即可实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：现有一批测试数据：t 0 20 40 60 80n 0000 1141 2019 2760 3413 t 100 120 140 160

8、 184n 4004 4545 5051 5525 6061用最小二乘法可得用最小二乘法可得模模 型型 检检 验验应该另外测试一批数据检验模型：应该另外测试一批数据检验模型：模模 型型 应应 用用回答提出的问题：由模型算得回答提出的问题：由模型算得 n=4450 时时 t=116.4分，分，剩下的录像带能录剩下的录像带能录 184-116.4=67.6分钟的节目。分钟的节目。揭示了揭示了“t 与与 n 之间呈二次函数关系之间呈二次函数关系”这一普遍规律，这一普遍规律，当录像带的状态改变时，只需重新估计当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。即可。Discussions6.启帆远航帆船

9、在海面上乘风远航，确定帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向最佳的航行方向及帆的朝向简化问题简化问题AB 风向风向北北航向航向帆船帆船海面上东风劲吹，设帆船海面上东风劲吹，设帆船要从要从A点驶向正东方的点驶向正东方的B点，点，确定起航时的航向确定起航时的航向，帆帆 以及帆的朝向以及帆的朝向 问问题题模型分析模型分析 风风(通过帆通过帆)对船的推力对船的推力w 风对船体部分的阻力风对船体部分的阻力p推力推力w的分解的分解 wp阻力阻力p的分解的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型模型假设假设 w与帆迎风面积与帆迎风面积s1成正比，成正比，p与船

10、迎风面积与船迎风面积s2成正比，比例系数相同且成正比，比例系数相同且 s1远大于远大于 s2，f1航行方向的推力航行方向的推力p1 航行方向的阻力航行方向的阻力w1=wsin(-)f1=w1sin=wsin sin(-)p1=pcos 模型模型假设假设 wpw1w2f1f2p2p1 w2与帆面平行，可忽略与帆面平行，可忽略 f2,p2垂直于船身，可由舵抵消垂直于船身，可由舵抵消模型模型建立建立w=ks1,p=ks2船在正东方向速度分量船在正东方向速度分量v1=vcos 航向速度航向速度v与力与力f=f1-p1成正比成正比v=k1(f1-p1)v1v2)令令 =/2,v1=k1 w(1-cos)

11、/2-pcos cos 求求 使使v1最大最大（w=ks1,p=ks2）1)当当 固定时求固定时求 使使f1最大最大f1=wcos(-2)-cos/2 =/2 时时 f1=w(1-cos)/2最大最大=k1(f1-p1)cos f1=w1sin=wsin sin(-)p1=pcos 求求,使使 v1最最大大模型建立模型建立v1=vcos wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解模型求解60 75 1 t 2v1最大最大备注备注 只讨论起航时的航向，是静态模型只讨论起航时的航向，是静态模型 航行过程中终点航行过程中终点B将不在正东方将不在正东方 记记 t=1+2s2/s1,k2=k1w/2=(

12、k1w/2)1-(1+2p/w)cos cos w=ks1,p=ks21/4cos s2Discussions7.核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑核威慑战略战略”，核军备竞赛不断升级。，核军备竞赛不断升级。随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。核裁军协议。在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。暂时的平衡状态。当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹当一方采取加强防御、提高武器精

13、度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。等措施时，平衡状态会发生什么变化。估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。量受哪些因素影响。背背景景以双方以双方(战略战略)核导弹数量描述核军备的大小。核导弹数量描述核军备的大小。假定双方采取如下同样的假定双方采取如下同样的核威慑战略：核威慑战略：认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；核导弹攻击己方的核导弹基地；乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，乙方在经受第一次核打击后，应保存足够

14、的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。给对方重要目标以毁灭性的打击。在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。攻击对方的一个核导弹基地。摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。度和另一方的防御能力决定。模模型型假假设设图图的的模模型型y=f(x)甲方有甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数枚导弹，乙方所需的最少导弹数x=g(y)乙方有乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数枚导弹，甲方所需的最少导弹数当当 x=0时时 y=y0，y0乙方的乙方的威慑值

15、威慑值xyy00y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数方工业、交通中心等目标所需导弹数x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全区乙安全区甲甲安安全全区区双方双方安全区安全区P平衡点平衡点(双方最少导弹数双方最少导弹数)乙安全线乙安全线精细精细模型模型乙方乙方残存率残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。基地，基地未被摧毁的概率。sx个基地未摧毁，个基地未摧毁，yx个基地未攻击。个基地未攻击。xy甲方以甲方以 x攻击乙方攻

16、击乙方 y个基地中的个基地中的 x个个,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy个被攻击个被攻击2次，次，s2(xy)个未摧毁；个未摧毁；y(xy)=2y x个被攻击个被攻击1次，次，s(2y x)个未摧毁个未摧毁y0=s2(xy)+s(2y x)x=2yy0=s2yyx2yy=y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2 a交换比交换比(甲乙导弹数量比甲乙导弹数量比)x=a y,精细精细模型模型x=y,y=y0/sx=2y,y=y0/s2y0威慑值威慑值s残存率残存率y=f(x)y是一条上凸的曲线是一条上凸的曲线y0变大，曲线上移、变陡变大，曲线上移、变陡s变大，变大，y减小，曲线变平减

17、小，曲线变平a变大，变大，y增加，曲线变陡增加，曲线变陡xy0y0 xy,y=y0+(1-s)xx=yx=2yyx2y,甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标乙方威慑值乙方威慑值 y0变大变大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。（其它因素不变）（其它因素不变）乙安全线乙安全线 y=f(x)上移上移模型解释模型解释 平衡点平衡点PP 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架乙安全线乙安全线y=f(x)不变不变甲方残存率变

18、大甲方残存率变大威慑值威慑值x 0和交换比不变和交换比不变x减小，甲安全线减小，甲安全线x=g(y)向向y轴靠近轴靠近xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)模型解释模型解释 甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少PP 双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标(x,y仍为双方核导弹的数量仍为双方核导弹的数量)双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加y0减小减小 y下移且变平下移且变平xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)a 变大变大 y

19、增加且变陡增加且变陡双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析模型解释模型解释 乙安全线乙安全线 y=f(x)Discussions8.实物交换问问题题甲有物品甲有物品X,乙有物品乙有物品Y,双方为满足更高的需要，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。商定相互交换一部分。研究实物交换方案。yxp.用用x,y分别表示甲分别表示甲(乙乙)占有占有X,Y的数量。设交换前甲占的数量。设交换前甲占有有X的数量为的数量为x0,乙占有乙占有Y的数量为的数量为y0,作图：作图：若不考虑双方对若不考虑双方对X,Y的的偏爱，则矩形内任一点

20、偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)都是一种交换方案：甲占有都是一种交换方案：甲占有(x,y)，乙占有乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0 xoxyyoy1y20 x1x2xop1p2.甲的无差别曲线甲的无差别曲线分析与建模分析与建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)与占有与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，具有同样的满意程度，即即p1,p2对甲是无差别的，对甲是无差别的，MN将将所有与所有与p1,p2无差无差别的点的点连接接起来，得到一条起来，得到一条无差无差别曲曲线MN,线上各点的满意度相同线上各点的满意度相同,线的形状反映对线的形状反映对X,Y的偏爱程度，的偏爱程度，N1M1p3(x

21、3,y3).比比MN各点满意度更高的点如各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线在另一条无差别曲线M1N1上。上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。于是形成一族无差别曲线（无数条）。p1.p2.c1 y0 xf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：无差别曲线族的性质：单调减单调减(x增加增加,y减减小小)下凸下凸(凸向原点凸向原点)互不相交互不相交在在p1点占有点占有x少、少、y多，多，宁愿以较多的宁愿以较多的 y换取换取较少的较少的 x;在在p2点占有点占有y少、少、x多，多，就要以较多的就要以较多的 x换取换取较少的较少的 y。甲的无差别曲线族记作甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c

22、1满意度满意度（f 等满意度曲线）等满意度曲线）xyOg(x,y)=c2c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同具有相同性质（形状可以不同）性质（形状可以不同）双方的交换路径双方的交换路径xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g=c2(坐坐标系标系xOy,且反向）且反向）甲的无差别曲线族甲的无差别曲线族 f=c1ABp P 双方满意的交换方案必双方满意的交换方案必在在AB（交换路径）上交换路径）上因为在因为在AB外的任一点外的任一点p,(双方双方)满意度低于满意度低于AB上的点上的点p两族曲线切点连线记作两族曲线切点连线记作ABABp

23、交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定交换方案交换方案 交换后甲的占有量交换后甲的占有量(x,y)0 x x0,0 y y0矩形内任矩形内任一点一点交换路交换路径径AB双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族等价交等价交换原则换原则X,Y用货币衡量其价值，设交换用货币衡量其价值，设交换前前x0,y0价值相同，则等价交换原价值相同，则等价交换原则下交换路径为则下交换路径为CD(x0,0),(0,y0)两点的连线两点的连线CDAB与与CD的的交点交点p设设X单价单价a,Y单价单价b,则等价交换下则等价交换下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0 xo.xDiscussions9.的计算 圆周率

24、是人类获得的最古老的数学概念圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一，早在大约之一，早在大约37003700年前（即公元前年前（即公元前17001700年年左右）的古埃及人就已经在左右）的古埃及人就已经在 用用256/81256/81（约（约3.16053.1605）作为）作为的近似值了。几千年来，人的近似值了。几千年来，人们一直没有停止过求们一直没有停止过求的努力。的努力。古古 典典 方方 法法 分分 析析 方方 法法 其其 它它 方方 法法 概率方法概率方法 数值积分方法数值积分方法 古典方法古典方法用什么方法来计用什么方法来计 算算的近似值呢？显然，不可能仅根据的近似值呢？显然，不可能仅根

25、据圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们采圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们采用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近的用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近的古典方法。古典方法。6边形边形12边形边形24边形边形圆圆 阿基米德曾用圆内接阿基米德曾用圆内接 9696边形和圆外切边形和圆外切9696边形夹逼的方法证明了边形夹逼的方法证明了由由和和 导出导出 公元公元5世纪，祖冲之指出世纪，祖冲之指出比西方得到同样结比西方得到同样结果几乎早了果几乎早了1000年年 十五世纪中叶，阿尔十五世纪中叶，阿尔卡西给出卡西给出的的16位小数，打破了祖冲之的纪录位小数，打破了

26、祖冲之的纪录 1579年年,韦达证明韦达证明 1630年年,最后一位用古典方法求最后一位用古典方法求的人的人格林伯格也只求到了格林伯格也只求到了的第的第39位小数位小数 分析方法分析方法从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的分析方法来求分析方法来求的近似值，其中应用的主的近似值，其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在本节中我们将介绍一些用此类方法求本节中我们将介绍一些用此类方法求近近似值的实例。似值的实例。取取取取 1656年，沃里斯年，沃里斯(Wallis)证明证明 在微积分中我们学过泰勒级数，其中有在微积分中我

27、们学过泰勒级数，其中有当当取取取取 在中学数学中证明过下面的等式在中学数学中证明过下面的等式左边三个正方形左边三个正方形组成的矩形中，组成的矩形中，由由 和和 可得可得 和和 的展开式的收敛速度的展开式的收敛速度都比都比 快得多快得多ACBD 麦琴麦琴(Machin)给出给出(Machin公式公式)记记 ，得，得此式求得了此式求得了的第的第100位小数且全部正确位小数且全部正确 其它方法其它方法除用古典方法与分析方法求除用古典方法与分析方法求的近似值以的近似值以外，还有人用其他方法来求外，还有人用其他方法来求的近似值。的近似值。这里我们将介绍两种方法：这里我们将介绍两种方法：概率方法概率方法

28、数值积分方法数值积分方法 概率方法概率方法取一个二维数组（取一个二维数组（x,yx,y），取一个充分大的），取一个充分大的正整正整 数数n n，重复，重复n n次，每次独立地从次，每次独立地从 （0 0，1 1）中随机地取一对）中随机地取一对 数数x x和和y y，分别检验，分别检验x x2 2+y+y2 211是否成立。是否成立。设设n n次试验中等式成立次试验中等式成立的共有的共有m m次，令次，令4m/n4m/n。但这种方法很难得到但这种方法很难得到的较好的近似值。的较好的近似值。数值积分方法数值积分方法还还可用其它数值积可用其它数值积分公式来求，但用分公式来求，但用此类方法此类方法效果也很效果也很难做得比用幂级数难做得比用幂级数展开更好展开更好Discussions