2023年高数极限证明（精选多篇）.docx

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1、2023年高数极限证明（精选多篇） 推荐第1篇：高数极限 1.代入法, 分母极限不为零时使用.先考察分母的极限,分母极限是不为零的常数时即用此法.【例1】limx-3(x2-3)/(x4+x2+1) limx-3(x2-3)/(x4+x2+1) =(3-3)/(9+3+1)=0 【例2】limx-0(lg（1+x）+ex)/arccosx limx-0(lg（1+x）+ex)/arccosx =(lg1+e0)/arccos0 =(0+1)/1 =1 2.倒数法,分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时使用.【例3】 limx-1x/(1-x) limx-1 (1-x)/x=0 limx-1

2、x/(1-x)= 以后凡遇分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时,可直接将其极限写作.3.消去零因子（分解因式）法,分母极限为零,分子极限也为零,且可分解因式时使用.【例4】 limx-1(x2-2x+1)/(x3-x) limx-1(x2-2x+1)/(x3-x) =limx-1(x-1)2/x(x2-1) =limx-1(x-1)/x =0 【例5】limx-2(x3+3x2+2x)/(x2-x-6) limx-2 (x3+3x2+2x)/(x2-x-6) = limx-2x(x+1)(x+2)/(x+2)(x-3) = limx-2x(x+1) / (x-3) =-2/5 【例6】li

3、mx-1(x2-6x+8)/(x2-5x+4) limx-1(x2-6x+8)/(x2-5x+4) = limx-1(x-2)(x-4)/(x-1)(x-4) = limx-1(x-2) /(x-1) = 【例7】limh-0(x+k)3-x3/h limh-0(x+h)3-x3/h = limh-0(x+h) x(x+h)2+x(x+h)+h2/h = limh-0 (x+h)2+x(x+h)+h2 =2x2 这实际上是为将来的求导数做准备.4.消去零因子（有理化）法,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,但可有理化时使用.可利用平方差、立方差、立方和进行有理化.【例8】limx-01+x

4、2-1/x limx-01+x2-1/x = limx-01+x2-1 1+x2+1/x1+x2+1 = limx-0 1+x2-1 /x1+x2+1 = limx-0 x / 1+x2+1 =0 【例9】limx-8(1-x)-3/(2+x(1/3) limx-8(1-x)-3/(2+x(1/3) =limx-8(1-x)-3 (1-x)+3 4-2x(1/3)+x(2/3) (2+x(1/3)4-2x(1/3)+x(2/3) (1-x)+3 =limx-8(-x-8) 4-2x(1/3)+x(2/3)/(x+8)(1-x)+3 =limx-8 4-2x(1/3)+x(2/3)/(1-x)+

5、3 =-2 5.零因子替换法.利用第一个重要极限：limx-0sinx/x=1,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,不可有理化,但出现或可化为sinx/x时使用.常配合利用三角函数公式.【例10】limx-0sinax/sinbx limx-0sinax/sinbx = limx-0sinax/(ax)*limx-0bx/sinbx*limx-0ax/(bx) =1*1*a/b=a/b 【例11】limx-0sinax/tanbx limx-0sinax/tanbx = limx-0sinax/ sinbx*limx-0cosbx =a/b 6.无穷转换法,分母、分子出现无穷大时使用,常常

6、借用无穷大和无穷小的性质.【例12】limx-sinx/x x- 1/x是无穷小量 |sinx|sinx/x=0 【例13】limx-(x2-1)/(2x2-x-1) limx-(x2-1)/(2x2-x-1) = limx-(1 -1/x2)/(2-1/x-1/ x2) =1/2 【例14】limn-(1+2+n)/(2n2-n-1) limn-(1+2+n)/(2n2-n-1) =limn-n( n+1)/2/(2n2-n-1) =limn- (1+1/n)/2/(2-1/n-1/n2) =1/4 【例15】limx-(2x-3)20(3x+2)30/(5x+1)50 limx-(2x-3

7、)20(3x+2)30/(5x+1)50 = limx-(2x-3)/ (5x+1)20(3x+2)/ (5x+1)30 = limx-(2-3/x)/ (5+1/ x)20(3+2/ x)/ (5+1/ x)30 =(2/5)20(3/5)30=220*330/550 推荐第2篇：高数_极限1 求函 摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。 关键词：函数极限 引言 在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力

8、图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。 主要内容 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: limx-3x+2x-22x2=1 证: 由 x2-3x+2x-2-1=x2-4x+4x-2 =(x-2)2x-2=x-2 e0 取d=e 则当0x-2d 时,就有 x2-3x+2x-2-11,n0) 解: 当 x1 时,存在唯一的正整数k,使 k xk+1 于是当 n0 时有: xanxk+1=1a 又Q 当x+时,k+ 有 lim(k+1)akaknk+=lim(k+1)akankk+1nk+a=0a=0 及 lim nk+k+1= lim=0 k+1a=01a=0 x

9、+limxanx 12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限lim左极限lim xx0-xx0f(x)存在且等于A的充分必要条件是 A。即有： 9 f(x)及右极限lim+f(x)都存在且都等于 xx0 limf(x)=Alimx)=A xxxx-f(x)=lim+f(00xx01-2e-x,x0例：设f(x)=x-x,0x0,x0) 解：令f(x)= f(x)=e-(1+2x)x, g(x)= ln(1+x) 2, g(x)=2x1+x2 2f(x)=e+(1+2x)x-32,g(x)=2(1-x)(1+x)22 由于但f f(0)=

10、f(0)=0,g(0)=g(0)=0 (0)=2,g(0)=2 从而运用罗比塔法则两次后得到 lime-(1+2x)ln(1+x)2x12x0=lime-(1+2x)2x1+x2x-12x0=lime+(1+2x)2(1-x)(1+x)222x-32x0=22=1 由lim法则有： x+lnx=,limxx+a= 故此例属于型，由罗比塔1x+limlnxxa=limxaxa-1x+=lim1axax+=0(a0,x0) 14、利用泰勒公式 对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式： 1、ex=1+x+x22!x3+LL+xnn!+o(x) n 2、s

11、inx=x-3!x2+x55!x4+LL+(-1)n-1x2n-1(2n-1)!n+o(x2n) 3、cosx=1-2!+4!2+LL+(-1)x2n(2n)!+o(x2n+1) 4、ln(1+x)=x- 5、(1+x) 6、11-xax2+LL+(-1)n-1xnn+o(x)n n!x+o(x)nn=1+ax+2a(a-1)2!x+L+nn2a(a-1)L(a-n+1) = 1+x+x+LL+x+o(x)n 上述展开式中的符号o(x)都有: nlimo(x)x0xn=0 例:求lima+2x-a+xx(a0) x0解:利用泰勒公式，当x0 有 1+x=1+x2+o(x) 于是 lima+2x

12、-a+x0x x=a(1+2xlima-1+xa)0x xa+1(2x)+o(x)-1-1x-=1lim2a2ao(x)0x x(x)=ax(x)1lim2a+ox=lim2ax+ox0x=1 x02a 15、利用拉格朗日中值定理 定理:若函数f满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)内可导 则在(a ,b)内至少存在一点x,使得f(x)=f(b)-f(a)b-a 此式变形可为: f(b)-f(a)b-a=f(a+q(b-a) (0q1) 例: 求 limxe-exsinxx0x-sinx 解:令f(x)=e 对它应用中值定理得 e-exsinx=f(x)-f(s

13、inx)=(x-sinx)f(sinx+q(x-sinx) (0q1)即: e-exsinxx-sinx=f(sinx+q(x-sinx) (0q1) Qf(x)=ex连续 limf(sinx+q(x-sinx)=f(0)=1 x0从而有: lime-exsinxx0x-sinx=1 16、求代数函数的极限方法 (1)有理式的情况，即若: R(x)=P(x)Q(x)=a0xmn+a1xm-1n-1+LL+am+LL+bnb0x+b1x (a00,b00) (I)当x时，有 mnm-1n-1limP(x)Q(x)x=lima0x+a1x+LL+am+LL+bnxb0x+b1xa0 m=nb0=0

14、 mn (II)当x0 时有: 若Q(x若Q(x若Q(x0)0 则 lim0P(x)Q(x)x0=P(x0)Q(x0) P(x)Q(x)=)=0 而 P(x0)0 则lim0 x0)=0,P(x0)=0,则分别考虑若x0)P1(x)s为P(x)=0的s重根,即:P(x)=(x-x0 也为Q(x)=0的r重根,即: Q(x)=(x-x0)Q1(x)r 可得结论如下： 0 , srs-r(x-x0)P1(x)P1(x0)P(x)lim=lim= , s=r xx0Q(x)xx0Q1(x)Q1(x0) ,sr例：求下列函数的极限 lim(2x-3)20(3x+2)5030x(2x+1) limx-3

15、x+2x-4x+343x1 解: 分子，分母的最高次方相同，故 lim(2x-3)20(3x+2)5030x(2x+1)3= 220350302330=()2 QP(x)=x4-3x+2,P(1)=0 QQ(x)=x-4x+3,Q(1)=0 P(x),Q(x)必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有: limx-3x+2x-4x+343x1=lim(x-1)(x+2)(x-1)(x+2x+3)222x1=limx+2x+2x+32x1=12 15 (2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。 例：求lim解

16、: limx+x+(x+x+x+x-x) (x+x+x+x-x) =limx+x+x+x-xx+xx+1x1x3x+x=lim xx+x+x+1+=limx+=+1121+1x+ 二、多种方法的综合运用 上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。 例:求 lim1-cosxxsinx222x0 解法一: lim1-cosxxsinx222x0 16 =lim2xsinx2222x02xxcosx+2xsinxsinx2 =limsinx2222x0xcosx+sinx =limx22x0cosx+sinxx

17、22=1 2注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。 解法二: lim1-cosxxsinx222x0=lim2sin2x2x02=lim22x0xsinxsinxx2221sinxx22sin2x22=122x2 2注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要 极限法。 解法三: lim1-cosxxsinx222x0=lim1-cosxxx222x0=lim2xsinx4x32x02xsinx=lim2x04xx2=12 注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换 法以及罗比塔法则 解法四: (x)lim1-cosxxsinx222x022=lim1-cosxx42x0x2

18、2sinx=limx024xx22sinx=12 注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。 解法五: 1-cosxxsinx2222sin=limx02x2limx02=lim2=lim242222x0x(x)x0xsinxx2(x2)21x4=12 注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。 解法六： 令u=x 2lim1-cosxxsinx222x0=limcosu1-cosuusinu=u0=lim12sinusinu+ucosuu0 =limu0cosu+cosu-usinu注：此解法利用变量代换法配合使用罗比塔法则。 解法七: lim1-cosxxsinx

19、222x0=limsinx2222x0xcosx+sinx=lim11+x22x0=12 tgx注:此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。 (作者: 黄文羊) 推荐第3篇：高数极限习题 第二章 导数与微分 典型例题分析 客观题 例 1 设f(x)在点x0可导,a,b为常数,则limf(x0+aDx)-f(x0+bDx)DxabDx0=( ) f(x0) Aabf(x0) B(a+b)f(x0) C(a-b)f(x0) D 答案 C 解 f(x0+aDx)-f(x0+bDx)lim=Dx0Dxf(x0+aDx)-f(x0)-f(x0+bDx)-f(x0)=lim= Dx0Dx f(x0+b

20、Dx)-f(x0)f(x0+aDx)-f(x0)-blim =alim Dx0Dx0bDxaDx =(a-b)f(x0) 例2（89303）设f(x)在x=a的某个邻域内有定义,则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是( ) 1f(a+2h)-f(a+h) (A)limhfa+-f(a)存在 (B)lim存在 h0h+hh (C)limf(a+h)-f(a-h)2hh0存在 (D)limf(a)-f(a-h)h存在 h0答案 D 解题思路 (1) 对于答案(A)，不妨设 1h=Dx，当h+时，Dx0，则有 +1f(a+Dx)-f(a)limhfa+-f(a)=lim存在，这只表明f(x)在x=

21、a处h+Dx0hDx右导数存在,它并不是可导的充分条件,故(A)不对. +(2) 对于答案(B)与(C),因所给极限式子中不含点a处的函数值f(a)，因此与导数概念不相符和.例如，若取 1,x=af(x)= 0,xa则(B)与(C)两个极限均存在，其值为零，但limf(x)=0f(a)=1，从而f(x)在 xax=a处不连续，因而不可导，这就说明(B)与(C)成立并不能保证f(a)存在，从而(B)与(C)也不对. (3) 记Dx=-h,则Dx0与h0是等价的,于是 limf(a)-f(a-h)hh0=-limf(a-h)-f(a)hh0=limf(a-h)-f(a)-h h0Dx所以条件D是f

22、(a)存在的一个充分必要条件. 例3(00103)设f(0)=0,则f(x)在点x=0可导的充要条件为( ) Dx0=limf(a+Dx)-f(a)=f(a) (A)lim1h1h2h0f(1-cosh)存在 (B)lim1h1hh0f(1-e)存在 h (C)limh02f(h-sinh)存在 (D)limh0f(2h)-f(h)存在 答案 B 解题思路 (1) 当h0时, 1-coshhh02limf(1-cosh)h2h0=lim2f(1-cosh)-f(0)h21.所以如果f(0)存在,则必有 =limf(1-cosh)-f(0)1-coshh0lim1-coshh2h0若记u=1-c

23、osh,当h0时,u0,所以 f(1-cosh)-f(0)f(u)-f(0)lim=lim=f(0) h0h01-coshu于是 +limf(1-cosh)h2h0=12f(0) 1h2这就是说由f(0)存在能推出limh0f(1-cosh)存在. +h0,而不是u0,因此 但是由于当h0时,恒有u=1-cos1f(x)-f(0)f+(0)=limlim2f(1-cosh)存在只能推出存在,而不能推出f(0)h0hx0x存在. + (2) 当h0时, 1-e=-h+o(h),于是 hlimf(1-e)hhh0=limf(-h+o(h)-f(0)hh0=-limf(-h+o(h)-f(0)-h+

24、o(h) h0 由于当h0时, -h+o(h)既能取正值,又能取负值,所以极限limf(-h+o(h)-f(0)-h+o(h)h0存在与limf(h)-f(0)hh0=f(0)存在是互相等价的.因而 极限lim1hh0hf(1-e)存在与f(0)存在互相等价.(3) 当h0时, 用洛比塔法则可以证明limlimf(h-sinh)h2h0,所以 6hf(h-sinh)-f(0)h-sinh=limlimh 3h0h0h-sinhhh03h-sinh=1由于h0,于是由极限limf(h-sinh)-f(0)h-sinhh0limh-sinhh3h0h存在未必推出h-sinh(4)f(x)在点x=0

25、可导一定有(D)存在,但(D)存在不一定f(x)在点x=0可导. h0limf(h-sinh)-f(0)也存在,因而f(0)未必存在. 例 4 (98203) 函数f(x)=(x-x-2)|x-x|有( )个不可导点 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 答案 C 解题思路 当函数中出现绝对值号时,不可导的点就有可能出现在函数的零点,因为函数零点是分段函数的分界点.因此需要分别考察函数在点x0=0,x1=1,x2=-1考察导数的存在性. 解 将f(x)写成分段函数: 23(x22(xf(x)=2(x(x2-x-2)x(1-x),-x-2)x(x-1),-x-2)x(1-x),-x-2)x(x

26、-1),2222x-1,-1x0,0x1,1x. (1) 在x0=0附近,f(x)写成分段函数: 22x(x-x-2)(x-1),x023 f(x)=(x-x-2)|x-x|=22x(x-x-2)(1-x),x0容易得到 f(x)-f(0)22f-(0)=lim=lim(x-x-2)(x-1)=2 -x0x0xf(x)-f(0)22f+(0)=lim=lim(x-x-2)(1-x)=-2 +x0x0x由于f-(0)f+(0),所以f(0)不存在.(2) 在x1=1附近,f(x)写成分段函数: 2x(1+x)(x-x-2)(1-x),x123f(x)=(x-x-2)|x-x|= 2x(1+x)(

27、x-x-2)(x-1),x1f(x)-f(1)2f-(1)=lim=limx(1+x)(x-x-2)=-4 -x1x1x-1f(x)-f(1)2f+(1)=lim=limx(1+x)(x-x-2)=-4 +x1x1x-1由于f-(1)f+(1),所以f(1)不存在.(3) 在x2=-1附近,f(x)写成分段函数: 2x(1-x)(x-x-2)(x+1),x-123f(x)=(x-x-2)|x-x|= 2x(1+x)(x-x-2)(x-1),x-1f-(-1)=limf(x)-f(-1)-x-1x0x+1由于f-(-1)=f+(-1)=0,所以f(-1)存在.x-1+-f+(-1)=limx+1

28、f(x)-f(-1)=-limx-1-x(x-1)(x22-x-2)=0 =limx(x-1)(x-x-2)=0 综合上述分析,f(x)有两个不可导的点. 例5 (95103) 设f(x)具有一阶连续导数,F(x)=f(x)(1+|sinx|),则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的( ) (A)必要但非充分条件 (B)充分但非必要条件 (C)充分且必要条件 (D)既非充分也非必要条件 答案 C 分析 从F(x)在x=0的导数定义着手.将F(x)=f(x)(1+|sinx|)=f(x)+f(x)|sinx| 解 F(x)-F(0)f(x)-f(0)f(x)|sinx|-f(0)|sin0|=

29、lim+limF+(0)=lim x0x0x0x-0x-0x-0 =f(0)+f(0) f(x)-f(0)f(x)|sinx|-f(0)|sin0|F(x)-F(0)=lim+limF-(0)=lim -x0x0x0x-0x-0x-0=f(0)-f(0) 于是推知F+(0)=F-(0)的充分必要条件是f(0)=0.+ 例6 (92103) 设函数f(x)=3x+x|x|,则使f32(n)(0)存在的最高阶数n=().(A)0 (B)1 (C) 2(D)3 答案 C 解题思路 应先去掉f(x)中的绝对值,将f(x)改写为分段函数 2x3 f(x)=3x+x|x|=34x32x0x0x0x0 2x3 解 由f(x)=3x+x|x|=34x32 6x2得f(x)=212xx0 12x且f