山东省菏泽一中高中数学《向量法求空间中的角》课件 新人教选修21.ppt
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1、立体几何中的向量方法-向量法求空间中的角2021/8/8 星期日1一、复习引入一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”(1 1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;问题转化为向量问题;(化为向量问题)(化为向量问题)(2 2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)(进行向量
2、运算)(3 3)把向量的运算结果)把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。(回到图形)(回到图形)2021/8/8 星期日2向量的有关知识:3、平面的法向量:、平面的法向量:_1、两向量数量积的定义:、两向量数量积的定义:a b=_2、两向量夹角公式:、两向量夹角公式:cos a,b=_|a|b|cosa,b与平面垂直的向量与平面垂直的向量2021/8/8 星期日3 例1:在RtAOB中,AOB=90,现将AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到A1O1B1的位置,已知OA=OB=Oo1,取A1B1、A1O1的中点D1、F1,求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。AB
3、OF1B1O1A1D1二、知识讲解与典例分析二、知识讲解与典例分析2021/8/8 星期日4ABOF1B1O1A1D1 解:以点O为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,并设OA=1,则:A(1,0,0)B(0,1,0)F1(,0,1)D1(,1)所以,异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值为 例1:在RtAOB中,AOB=90,现将AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到A1O1B1的位置,已知OA=OB=Oo1,取A1B1、A1O1的中点D1、F1,求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。xyz10302021/8/8 星期日5点评:向量法求异面直线所成角的余弦值的一般步骤点评:向量法求异
4、面直线所成角的余弦值的一般步骤建系求两异面直线的方向向量求两方向向量的夹角的余弦值得两异面直线所成角的余弦值2021/8/8 星期日6 例2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E、F分别为CD、DD1的中点,(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;(2)求二面角F-AE-D的余弦值。AA1C1B1DCBD1EF2021/8/8 星期日7例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;xyzADBA1D1C1B1 解:(1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,则:A(0,0,0)B1(1,0,1)C(1,1,0)C1(1,1,1)设平面AB1C的法向量
5、为n=(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故n=(1,-1,-1)C故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为2021/8/8 星期日8点评:向量法求直线与平面所成角的正弦值的一般步骤点评:向量法求直线与平面所成角的正弦值的一般步骤建系求直线的方向向量求直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值得直线与平面所成角的正弦值求平面的法向量2021/8/8 星期日9xyzADCA1D1C1B1BFE 例2(2)点E、F分别为CD、DD1的中点,求二面角F-AE-D的余弦值。取y2=1,得x2=z2=-2(2)由题意知设平面AEF的法向量为m=(
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