高数第五版4-1不定积分的概念与性质.ppt

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1、下页下页上页上页下页下页首页首页例例(sinx)=cosx,sinx是是cosx的原函数的原函数定义：定义：如果在区间如果在区间I内，可导函数内，可导函数F(x)的导函数为的导函数为f(x),即即 任意任意xI都有都有 F(x)=f(x)或或dF(x)=f(x)dx,则则函数函数F(x)称为称为f(x)在区间在区间I内的内的原函数原函数一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念lnx是是 的原函数的原函数上页上页下页下页首页首页原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例(C为任意常数

2、为任意常数)(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？如果函数如果函数f(x)在区在区间间I内内连续连续,那么在区那么在区间间I内存在内存在可可导导函数函数F(x)，使任意，使任意xI，都有，都有F(x)=f(x).上页上页下页下页首页首页关于原函数的说明：关于原函数的说明：(1)若若F(x)=f(x),则对于任意常数则对于任意常数C，F(x)+C都都是是f(x)的原函数的原函数.(2)若若F(x)和和G(x)都是都是f(x)的原函数，则的原函数，则（C为任意常数）为任意常数）证证(C为任意常数为任意常数)上页上页下页下页首页首页任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数

3、在区间在区间I内，函数内，函数f(x)的全体原函数称为的全体原函数称为f(x)在区间在区间I内的内的不定积分不定积分，记为，记为 被被积积表表达达式式积积分分变变量量上页上页下页下页首页首页例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求上页上页下页下页首页首页例例3 3 设曲线通过点设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为所求曲线方程为上页上页下页下页首页首页显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定

4、积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.上页上页下页下页首页首页实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式.二、二、基本积分表基本积分表上页上页下页下页首页首页基基本本积积分分表表是常数是常数);说明：说明：简写为简写为上页上页下页下页首页首页上页上页下页下页首页首页上页上页下页下页首页首页例例4 4 求积分求积

5、分解解根据积分公式（根据积分公式（2）上页上页下页下页首页首页证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、不定积分的性质不定积分的性质上页上页下页下页首页首页例例5 5 求积分求积分解解上页上页下页下页首页首页例例6 6 求积分求积分解解上页上页下页下页首页首页例例7 7 求积分求积分解解上页上页下页下页首页首页例例8 8 求积分求积分解解说明：说明：以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.上页上页下页下页首页首页解解所求曲线方程为所求曲线方程为上页上

6、页下页下页首页首页基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：不定积分的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、小结上页上页下页下页首页首页思考题思考题符号函数符号函数在在 内是否存在原函数？为什么？内是否存在原函数？为什么？上页上页下页下页首页首页思考题解答思考题解答不存在不存在.假设有原函数假设有原函数故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都的函数都没有原函数没有原函数.上页上页下页下页首页首页练习题练习题上页上页下页下页首页首页上页上页下页下页首页首页上页上页下页下页首页首页练习题答案练习题答案上页上页首页首页