可降阶的高阶微分方程法.ppt

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1、9.3 高阶微分方程的降阶法高阶微分方程的降阶法二阶及二阶以上的微分方程通称为高阶方程二阶及二阶以上的微分方程通称为高阶方程可降阶的方程可降阶的方程-通过初等变换降低阶数求解的方程通过初等变换降低阶数求解的方程P.34例例1二二.不显含因变量的方不显含因变量的方程程代入原方程代入原方程,得得解法：解法：特点：特点：P(x)的的(n-k)阶方程阶方程可得通解可得通解.一般一般,型型解解代入原方程代入原方程解线性方程解线性方程,得得两端积分两端积分,得得原方程通解为原方程通解为例例 1P.35例例2P.36例例3 有一质量均匀分布的不可伸缩的柔软绳有一质量均匀分布的不可伸缩的柔软绳索索,两端固定两

2、端固定,绳索在重力的作用下自然下垂绳索在重力的作用下自然下垂,求该绳索在平衡状态下的曲线方程求该绳索在平衡状态下的曲线方程.解解:设设M为绳索上任一点为绳索上任一点,弧段弧段OM上的受力如图所示上的受力如图所示(悬链线悬链线)P.37例例4 我舰向正东我舰向正东1km处的敌舰发射制导鱼雷处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷鱼雷在航行中始终对准敌舰在航行中始终对准敌舰.设敌舰以常速设敌舰以常速v0沿正北方沿正北方向直线航行向直线航行,已知鱼雷的速度是敌舰速度的已知鱼雷的速度是敌舰速度的2倍倍,求求鱼雷航行曲线的方程鱼雷航行曲线的方程,并问敌舰航行多远时将被鱼并问敌舰航行多远时将被鱼雷击中雷击中?解解:建立

3、坐标如图所示建立坐标如图所示,鱼雷航行鱼雷航行曲线的方程为曲线的方程为y=y(x).设在时刻设在时刻t,鱼雷位于点鱼雷位于点P(x,y)处处,敌舰位于点敌舰位于点A(1,v0t)处处,且且AP是曲线在点是曲线在点A的切线的切线,即即三三.不显含自变量的方程不显含自变量的方程求得其解为求得其解为原方程通解为原方程通解为特点：特点：解法：解法：一般一般,型型P.40例例6(一阶线性非齐次一阶线性非齐次)(可分离变量可分离变量)P.41例例7证明：曲率半径为常数证明：曲率半径为常数R的曲线是圆。的曲线是圆。证明：证明：设曲线方程为设曲线方程为则曲率为则曲率为方程化为方程化为即即两边积分：两边积分：两边积分：两边积分：两边平方，整理得两边平方，整理得以上为圆的方程，故曲线为圆。以上为圆的方程，故曲线为圆。P.42例例8.脱离速度问题脱离速度问题要使垂直向上发射的物体永远离开地面要使垂直向上发射的物体永远离开地面,问发射速度问发射速度v0至少应该有多大至少应该有多大?rrF(r)RO练练 习习 题题练习题答案练习题答案