变分法模型.ppt

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1、变分法模型变分法模型在数学分析中，大家已经学会了如何确定在数学分析中，大家已经学会了如何确定某一函数的极值问题，看到了其应用的广某一函数的极值问题，看到了其应用的广泛性。在许多工程实际问题中，我们还常泛性。在许多工程实际问题中，我们还常常需要求另一类特殊的量即函数的函数的常需要求另一类特殊的量即函数的函数的极值问题。通常将函数的函数称为泛函。极值问题。通常将函数的函数称为泛函。1 变分法简介变分法简介 变分法是研究泛函极值问题的数学方法。变分法是研究泛函极值问题的数学方法。本节就变分法的基础知识作简要介绍，需本节就变分法的基础知识作简要介绍，需要深入了解的读者可阅读有关专著。要深入了解的读者可

2、阅读有关专著。变分法的基本概念变分法的基本概念泛函极值的必要条件泛函极值的必要条件欧拉方程欧拉方程 条件极值条件极值 哈密尔顿（哈密尔顿（Hamilton）函数）函数 经讨论（略）可知作辅助泛函 其中均为常数。(15）写出其欧拉方程组求出其解即可。2 最速降线问题最速降线问题分析与建模分析与建模 评注评注 历史上，伯努利解决最速降线问题是从一个似历史上，伯努利解决最速降线问题是从一个似乎不相干的光学问题开始的，借助于史奈尔折射定乎不相干的光学问题开始的，借助于史奈尔折射定律、能量守恒原理及几何关系（即光学、力学和微律、能量守恒原理及几何关系（即光学、力学和微积分等知识）得到了前面的（积分等知识

3、）得到了前面的（24）式。我们也称）式。我们也称（24）式为最速降线的数学模型：微分方程模型。）式为最速降线的数学模型：微分方程模型。比较两个模型的的建模过程，我们可以看到，比较两个模型的的建模过程，我们可以看到，伯努利对最速降线问题的解法非常奇妙，表现出了伯努利对最速降线问题的解法非常奇妙，表现出了惊人的想象能力，可以说是一项水平极高的的艺术惊人的想象能力，可以说是一项水平极高的的艺术工作，而变分法则提供了一种处理这类问题的通用工作，而变分法则提供了一种处理这类问题的通用分析方法。分析方法。3 机器设备的保养和更新优化模型机器设备的保养和更新优化模型 问题与背景问题与背景 在各类企业中，每天

4、都有大量的机器设备不停地运转。为在各类企业中，每天都有大量的机器设备不停地运转。为保证其正常工作，需要经常进行保养和维修。在各类化工企保证其正常工作，需要经常进行保养和维修。在各类化工企业中就更是如此，各种设备运行的连续监测，小到阀门的更业中就更是如此，各种设备运行的连续监测，小到阀门的更换，大到停产检修，不仅直接关系到企业的经济效益，同时换，大到停产检修，不仅直接关系到企业的经济效益，同时也关系到国家财产和人民生命的安全问题，这显然是一个既也关系到国家财产和人民生命的安全问题，这显然是一个既十分重大又非常复杂的系统工程问题。十分重大又非常复杂的系统工程问题。这里仅考虑如下的简单情形：当机器设

5、备经过长期使用，这里仅考虑如下的简单情形：当机器设备经过长期使用，失去保养价值时，及时更换新的机器设备，而换下来的旧设失去保养价值时，及时更换新的机器设备，而换下来的旧设备转卖做他用。即如何确定机器设备的最优保养费用和转卖备转卖做他用。即如何确定机器设备的最优保养费用和转卖时间（或称寿命期，设在寿命期内，机器设备一直投入运转）时间（或称寿命期，设在寿命期内，机器设备一直投入运转），从而使机器设备的经济效益最高。，从而使机器设备的经济效益最高。假设与建模假设与建模 模型求解模型求解 数值例子数值例子 4 生产与贮存的控制生产与贮存的控制问题与背景问题与背景 一个集生产、销售于一体的公司，希望一个

6、集生产、销售于一体的公司，希望生产率和贮存量都尽量稳定在预先设定生产率和贮存量都尽量稳定在预先设定的水平上。如果销售量可以准确地预测，的水平上。如果销售量可以准确地预测，公司需要制订一个根据贮存量控制生产公司需要制订一个根据贮存量控制生产率的策略。率的策略。假设与建模假设与建模 模型求解模型求解 习 题 参考文献参考文献叶其孝叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材（二）大学生数学建模竞赛辅导教材（二）.长沙：长沙：湖南教育出版社，湖南教育出版社，1997姜启源姜启源.数学模型数学模型.北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，1993任善强任善强.数学模型数学模型.重庆：重庆大学出版社，重庆：重

7、庆大学出版社，1998（美）（美）G.F.赛蒙斯赛蒙斯.微分方程微分方程.北京：人民教育出版北京：人民教育出版社，社，1981E.A.本德本德.数学模型引论数学模型引论.北京：科学普及出版社，北京：科学普及出版社，1982湛安琦湛安琦.科技工程中的数学模型科技工程中的数学模型.北京：中国铁北京：中国铁道出版社，道出版社，1988李心灿李心灿.高等数学应用高等数学应用205例例.北京：高等教育北京：高等教育出版社，出版社，1997陈义华陈义华.数学模型数学模型.重庆：重庆大学出版社，重庆：重庆大学出版社，1995林珍林珍.变分法与最优控制变分法与最优控制.哈尔滨：哈尔滨工业哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，大学出版社，1987彭旭麟彭旭麟.变分法及其应用变分法及其应用.武汉：华中工学院出武汉：华中工学院出版社，版社，1983