阅读类创新题-2022年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（解析版）【江苏专用】.docx

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1、1/9420222022 年中考数学大题狂练之压轴大题培优突破练（江苏专用）年中考数学大题狂练之压轴大题培优突破练（江苏专用）专题专题 1 新定义材料阅读类创新题新定义材料阅读类创新题本专题共精选本专题共精选 2021、和和 2020 和和 2019 年中考真题年中考真题 14 道道，中考模拟题中考模拟题 24 道道，6 个题组，每个题组个题组，每个题组 4 道解答题，可作为课后作业或每日一练使用道解答题，可作为课后作业或每日一练使用.【真题再现】【真题再现】1（2021江苏镇江中考真题）如图 1，ABCDEF90，AB，FE，DC 为铅直方向的边，AF，ED，BC 为水平方向的边，点 E 在

2、 AB，CD 之间，且在 AF，BC之间，我们称这样的图形为“L 图形”，记作“L 图形 ABCDEF”若直线将 L 图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该 L 图形的面积平分线（活动）小华同学给出了图 1 的面积平分线的一个作图方案：如图 2，将这个 L 图形分成矩形 AGEF、矩形 GBCD，这两个矩形的对称中心 O1，O2所在直线是该 L 图形的面积平分线请用无刻度的直尺在图 1 中作出其他的面积平分线（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）（思考）如图 3，直线 O1O2是小华作的面积平分线，它与边 BC，AF 分别交于点 M，N，过 MN 的中点 O 的直线分别交边 BC，A

3、F 于点 P，Q，直线 PQ（填“是”或“不是”）L 图形 ABCDEF的面积平分线（应用）在 L 图形 ABCDEF 形中，已知 AB4，BC6（1）如图 4，CDAF1该 L 图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点 P，Q，求 PQ 长的最大值；该 L 图形的面积平分线与边 AB，CD 分别相交于点 G，H，当 GH 的长取最小值时，BG的长为2/94（2）设CDAFt（t0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边AB，CD 相交的面积平分线，直接写出 t 的取值范围【答案】【活动】见解析；【思考】是；【应用】（1）5；34；（2）13t23【分析】活动如图 1，

4、根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心 O1，O2所在直线是该 L 图形的面积平分线；思考如图 2，证明OQNOPM（AAS），根据割补法可得直线 PQ 是 L 图形 ABCDEF的面积平分线；应用（1）建立平面直角坐标系，分两种情况：如图 31 和 32，根据中点坐标公式和待定系数法可得面积平分线的解析式，并计算 P 和 Q 的坐标，利用两点的距离公式可得 PQ 的长，并比较大小可得结论；当 GHAB 时，GH 最小，设 BGx，根据面积相等列方程，解出即可；（2）如图 5，由已知得：CDtAF，直线 DE 将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅

5、直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边 AB，CD 相交的面积平分线，列不等式可得 t 的取值【详解】解：【活动】如图 1，直线 O1O2是该 L 图形的面积平分线；【思考】如图 2，AB90，AFBC，3/94NQOMPO，点 O 是 MN 的中点，ONOM，在OQN 和OPM 中，NQOMPONOQMOPONOW ，OQNOPM（AAS），SOQNSOPM，S梯形ABMNSMNFEDC，S梯形ABMNSOPMSMNFEDCSOQN，即 SABPONSCDEFQOM，SABPON+SOQNSCDEFQOM+SOPM，即 S梯形ABPQSCDEFQP，直线 PQ 是 L 图形 ABCDEF

6、 的面积平分线故答案为：是；【应用】（1）如图 31，以直线 OC 为 x 轴，OA 为 y 轴，以 B 为原点，建立平面直角坐标系，同理确定 L 图形 ABCDEF 的面积平分线：直线 O1O2，AB4，BC6，AFCD1，B（0，0），F（1，4），D（6，1），K（1，0），线段 BF 的中点 O1的坐标为（12，2），线段 DK 的中点 O2的坐标为（72，12），设直线 O1O2的解析式为：ykx+b，4/94则1227122kbkb，解得：1294kb，直线 O1O2的解析式为：y12x+94，当 y0 时，12x+940，解得：x92，Q（92，0），当 y1 时，12x+941

7、，解得：x52，P（52，1），PQ2295()(10)225；如图 32，同理确定平面直角坐标系，画出 L 图形 ABCDEF 的面积平分线：直线 O3O4，G（0，1），F（1，4），C（6，0），线段 GF 的中点 O3的坐标为（12，52），线段 CG 的中点 O4的坐标为（3，12），设直线 O3O4的解析式为：ymx+n，则1522132mnmn，解得：452910mn，直线 O3O4的解析式为：y45x+2910，5/94当 y0 时，45x+29100，解得：x298，Q（298，0），当 y1 时，45x+29101，解得：x198，P（198，1），PQ222919()(1

8、0)88414；4145；PQ 长的最大值为5；如图 4，当 GHAB 时 GH 最短，过点 E 作 EMAB 于 M，设 BGx，则 MG1x，根据上下两部分面积相等可知，6x（41）1+（1x）6，解得 x34，即 BG34；故答案为：34；（2）CDAFt（t0），CDtAF，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边 AB，CD 相交的面积平分线，如图 5，直线 DE 将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边 AB，CD 相交的面积平分线，6/94即（4tAF）AF6tAF，46AFt，0AF6，04t66

9、，1233t 故答案为：13t23【点睛】本题是四边形的综合题，考查了应用与设计作图，矩形的性质和判定，四边形面积的平分，三角形全等的性质和判定等知识，并结合平面直角坐标系计算线段的长，明确面积平分线的画法，并熟练掌握矩形面积平分线是过对角线交点的性质是解题的关键2（2021江苏南京中考真题）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）如图，圆锥的母线长为12cm，B 为母线OC的中点，点 A 在底面圆周上，AC的长为4 cm在图所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点 A 爬行到点 B 的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）（2）图中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成O 是圆锥的顶点，点

10、A 在圆柱的底面圆周上设圆锥的母线长为 l，圆柱的高为 h7/94蚂蚁从点 A 爬行到点 O 的最短路径的长为_（用含 l，h 的代数式表示）设AD的长为 a，点 B 在母线OC上，OBb圆柱的侧面展开图如图所示，在图中画出蚂蚁从点 A 爬行到点 B 的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路【答案】（1）作图如图所示；（2）h+l；见解析【分析】（1）根据两点之间线段最短，即可得到最短路径；连接 OA，AC，可以利用弧长与母线长求出AOC，进而证明出OAC 是等边三角形，利用三角函数即可求解；（2）由于圆锥底面圆周上的任意一点到圆锥顶点的距离都等于母线长，因此只要蚂蚁从点 A 爬到圆锥底

11、面圆周上的路径最短即可，因此顺着圆柱侧面的高爬行，所以得出最短路径长即为圆柱的高 h 加上圆锥的母线长 l；如图，根据已知条件，设出线段 GC 的长后，即可用它分别表示出 OE、BE、GE、AF，进一步可以表示出 BG、GA，根据 B、G、A 三点共线，在 RtABH 中利用勾股定理建立方程即可求出 GC 的长，最后依次代入前面线段表达式中即可求出最短路径长【详解】解：（1）如图所示，线段 AB 即为蚂蚁从点 A 爬行到点 B 的最短路径；设AOC=n，圆锥的母线长为12cm，AC的长为4 cm，12=4180n，60n；连接 OA、CA，12OAOC，OAC是等边三角形，B 为母线OC的中点

12、，ABOC，8/94sin60=6 3ABOA（2）蚂蚁从点 A 爬行到点 O 的最短路径为：先沿着过 A 点且垂直于地面的直线爬到圆柱的上底面圆周上，再沿圆锥母线爬到顶点 O 上，因此，最短路径长为 h+l 蚂蚁从点 A 爬行到点 B 的最短路径的示意图如下图所示，线段 AB 即为其最短路径（G点为蚂蚁在圆柱上底面圆周上经过的点，图中两个 C 点为图形展开前图中的 C 点）；求最短路径的长的思路如下：如图，连接 OG，并过 G 点作 GFAD，垂足为 F，由题可知，OGOCl，GF=h，OB=b，由AD的长为 a，得展开后的线段 AD=a，设线段 GC 的长为 x，则GC的弧长也为 x，由母

13、线长为 l，可求出COG，作 BEOG，垂足为 E，因为 OB=b，可由三角函数求出 OE 和 BE，从而得到 GE，利用勾股定理表示出 BG，接着由 FD=CG=x，得到 AF=a-x，利用勾股定理可以求出 AG，将 AF+BE 即得到 AH，将 EG+GF 即得到 HB，因为两点之间线段最短，A、G、B 三点共线，利用勾股定理可以得到：222ABAHBH,进而得到关于 x 的方程，即可解出 x，将 x 的值回代到 BG 和 AG 中，求出它们的和即可得到最短路径的长【点睛】本题考查的是曲面上的最短路径问题，涉及到圆锥和圆柱以及它们的组合体上的最短路径问题，解题过程涉及到“两点之间、线段最短

14、”以及勾股定理和三角函数等知识，本题为开放性试题，答案形式不唯一，对学生的空间想象能力以及图形的感知力要求较高，蕴含了数形结合等思想方法3（2021江苏南通中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该9/94点为这个函数图象的“等值点”例如，点(1,1)是函数1122yx的图象的“等值点”（1）分别判断函数22,yxyxx的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数3(0),yxyxbx 的图象的“等值点”分别为点 A，B，过点 B 作BCx轴，垂足为 C当ABC的面积为 3 时，求 b 的值；（3）若函数22()yxxm的图

15、象记为1W，将其沿直线xm翻折后的图象记为2W 当12,W W两部分组成的图象上恰有 2 个“等值点”时，直接写出 m 的取值范围【答案】（1）函数 y=x+2 没有“等值点”；函数2yxx=-的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）4 3b 或2 3；（3）98m 或12m 【分析】（1）根据定义分别求解即可求得答案；（2）根据定义分别求 A(3，3)，B(2b，2b)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；（3）由记函数 y=x2-2（xm）的图象为 W1，将 W1沿 x=m 翻折后得到的函数图象记为 W2，可得 W1与 W2的图象关于 x=m 对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案【详

16、解】解：（1）函数 y=x+2，令 y=x，则 x+2=x，无解，函数 y=x+2 没有“等值点”；函数2yxx=-，令 y=x，则2xxx，即20 x x，解得：1220 xx，函数2yxx=-的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）函数3yx，令 y=x，则23x，解得：3x(负值已舍)，函数3yx的“等值点”为 A(3，3)；函数yxb ，令 y=x，则xxb ，解得：2bx，函数yxb 的“等值点”为 B(2b，2b)；ABC的面积为11332222BAbbBCxx，10/94即22 3240bb，解得：4 3b 或2 3；（3）将 W1沿 x=m 翻折后得到的函数图象记为 W2W

17、1与 W2两部分组成的函数 W 的图象关于xm对称，函数 W 的解析式为22222()yxxmymxxm，令 y=x，则22xx，即220 xx，解得：1221xx，函数22yx的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；令 y=x，则2(2)2mxx，即2241420 xmxm，当2m时，函数 W 的图象不存在恰有 2 个“等值点”的情况；当12m 时，观察图象，恰有 2 个“等值点”；当1m 时，W1的图象上恰有 2 个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，函数 W2没有“等值点”，22414 1420mm ，整理得：890m，11/94解得：98m 综上，m 的取值范围为98m 或12m【

18、点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件4（2021全国九年级单元测试）在平面直角坐标系xOy中，对于 A、A两点，若在 y 轴上存在点 T，使得90ATA，且TATA，则称 A、A两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点已知点2,0M、1,0N，点,Q m n在一次函数21yx 的图像上（1）如图，在点2,0B、0,1C、22D,中，点 M 的关联点是_（填“B”、“C”或“D”）；若在线段MN上存在点1,1P的关联点P，则点P的坐标是_；（2）若在线段MN上存在点 Q 的关联点Q，求实数

19、 m 的取值范围；（3）分别以点4,2E、Q 为圆心，1 为半径作E、Q 若对E上的任意一点 G，在Q上总存在点G，使得 G、G两点互相关联，请直接写出点 Q 的坐标【答案】（1）B；2,0；（2）213m或10m；（3）5 13,3 3Q或3,5Q【分析】由材料可知关联点的实质就是将点A绕y轴上点 T顺时针或逆时针旋转90 度的得到点A 故先找到旋转 90坐标变化规律，再根据规律解答即可，（1）根据关联点坐标变化规律列方程求解点 T 坐标，有解则是关联点；无解则不是；关联点的纵坐标等于 0，根据关联点坐标变化规律列方程求解即可；（2）根据关联点坐标变化规律得出关联点Q，列不等式求解即可；12

20、/94（3）根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点 E 坐标求出点 Q 坐标即可【详解】解：在平面直角坐标系xOy中，设,A x y，点0,Ta，关联点,A x y，将点 A、点A、点 T 向下平移a个单位，点 T 对应点与原点重合，此时点 A、点A对应点0,Ax ya、0,Ax ya，绕原点旋转 90 度的坐标变化规律为：点（x，y）顺时针旋转，对应点坐标为（y，-x）；逆时针旋转对应点坐标为（-y，x），0,Ax ya绕原点旋转 90 度的坐标对应点坐标为0,Ayax或0,Aay x，即顺时针旋转时，xyayax 解得：xyayax，即关联点,A ya ax，或逆时针旋转时，xay

21、yax，解得：xayyxa，即关联点,A ay xa，即：在平面直角坐标系xOy中，设,A x y，点0,Ta，关联点坐标为,A ya ax或,A ay xa，（1）由关联点坐标变化规律可知，点2,0M 关于在 y 轴上点0,Ta的关联点坐标为：,2Aa a 或,2A aa，若点2,0B是关联点，则220aa或220aa，解得：2a ，即 y 轴上点0,2T或0,2T，故点2,0B是关联点；若点0,1C是关联点，则021aa 或021aa ，无解，故点0,1C不是关联点；若点22D,是关联点，则222aa 或222aa ，无解，故点22D,不是关联点；故答案为：B；由关联点坐标变化规律可知，点

22、1,1P关于点0,Ta的关联点P的坐标为1,1Pa a或1,1P aa，若10a，解得：1a，此时即点0,0P，不在线段MN上；若10a，解得：1a ，此时即点2,0P，在线段MN上；综上所述：若在线段MN上存在点1,1P的关联点P，则点2,0P 故答案为：2,0；（2）设点,Q m n与点Q是关于点0,Ta关联点，则点Q坐标为,Q na am或13/94,Q an am，又因为点,Q m n在一次函数21yx 的图像上，即：21nm，点Q在线段MN上，点2,0M、1,0N，当=02121amnmna ，2211mm ，213m，或=02121amnman ，2211mm ，当10m；综上所述

23、：当213m或10m 时，在线段MN上存在点 Q 的关联点Q（3）对E上的任意一点 G，在Q上总存在点G，使得 G、G两点互相关联，故点 E 与点 Q 也是关于同一点的关联，设该点0,Ta，则设点,Q m n与点E是关于点0,Ta关联点，则点E坐标为,E na am或,E an am，又因为,Q m n在一次函数21yx 的图像上，即：21nm，点4,2E，若2142nmnaam，解得：5313313mna，即点5 13,3 3Q，若2142nmanam，解得：351mna ，即点3,5Q，综上所述：5 13,3 3Q或3,5Q【点睛】14/94本题主要考查了坐标的旋转变换和一次函数图像上点的

24、特征，解题关键是总结出绕点旋转90的点坐标变化规律，再由规律列出方程或不等式求解5（2020 年南通中考第 27 题）【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线【理解运用】（1）如图，对余四边形 ABCD 中，AB5，BC6，CD4，连接 AC若 ACAB，求 sinCAD 的值；（2）如图，凸四边形 ABCD 中，ADBD，ADBD，当 2CD2+CB2CA2时，判断四边形 ABCD 是否为对余四边形证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点 A（1，0），B（3，0），C（1，2），四边形 ABCD 是对余四边形，点 E 在对余线 B

25、D 上，且位于ABC 内部，AEC90+ABC设?i?i?u，点 D 的纵坐标为 t，请直接写出 u 关于 t 的函数解析式【分析】（1）先构造直角三角形，然后利用对余四边形的性质和相似三角形的性质，求出 sinCAD 的值（2）通过构造手拉手模型，即构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，利用勾股定理来证明四边形 ABCD 为对余四边形（3）过点 D 作 DHx 轴于点 H，先证明ABEDBA，得出 u 与 AD 的关系，设 D（x，t），再利用（2）中结论，求出 AD 与 t 的关系即可解决问题【解析】（1）过点 A 作 AEBC 于 E，过点 C 作 CFAD 于 FACAB，BECE3

26、，在 RtAEB 中，AE?i?4，CFAD，D+FCD90，15/94B+D90，BDCF，AEBCFD90，AEBDFC，i?t，?，CF?，sinCAD?（2）如图中，结论：四边形 ABCD 是对余四边形理由：过点 D 作 DMDC，使得 DMDC，连接 CM四边形 ABCD 中，ADBD，ADBD，DABDBA45，DCMDMC45，CDMADB90，ADCBDM，ADDB，CDDM，ADCBDM（SAS），ACBM，2CD2+CB2CA2，CM2DM2+CD22CD2，CM2+CB2BM2，BCM90，DCB45，DAB+DCB90，四边形 ABCD 是对余四边形16/94（3）如图

27、中，过点 D 作 DHx 轴于 HA（1，0），B（3，0），C（1，2），OA1，OB3，AB4，ACBC2?，AC2+BC2AB2，ACB90，CBACAB45，四边形 ABCD 是对余四边形，ADC+ABC90，ADC45，AEC90+ABC135，ADC+AEC180，A，D，C，E 四点共圆，ACEADE，CAE+ACECAE+EAB45，EABACE，EABADB，ABEDBA，ABEDBA，?i?i?t，?i?i?t?，u?t?，设 D（x，t），由（2）可知，BD22CD2+AD2，（x3）2+t22（x1）2+（t2）2+（x+1）2+t2，整理得（x+1）24tt2，17/

28、94在 RtADH 中，AD?t?t?2?，u?t?（0t4），即 u?（0t4）6（2020 年常州中考第 27 题）如图 1，I 与直线 a 相离，过圆心 I 作直线 a 的垂线，垂足为 H，且交I 于 P、Q 两点（Q 在 P、H 之间）我们把点 P 称为I 关于直线 a 的“远点“，把 PQPH 的值称为I 关于直线 a 的“特征数”（1）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，点 E 的坐标为（0，4）半径为 1 的O 与两坐标轴交于点 A、B、C、D过点 E 画垂直于 y 轴的直线 m，则O 关于直线 m 的“远点”是点D（填“A”、“B”、“C”或“D”），O 关于直线 m 的“

29、特征数”为10；若直线 n 的函数表达式为 y?x+4求O 关于直线 n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 M（1，4），点 F 是坐标平面内一点，以F 为圆心，?为半径作F若F 与直线 l 相离，点 N（1，0）是F 关于直线 l 的“远点”且F 关于直线 l 的“特征数”是 4?，求直线 l 的函数表达式【分析】（1）根据远点，特征数的定义判断即可如图 1 中，过点 O 作 OH直线 n 于 H，交O 于 Q，P解直角三角形求出 PH，PQ的长即可解决问题（2）如图 2 中，设直线 l 的解析式为 ykx+b分两种情形 k0 或 k0，分别求解即可解决问题

30、【解析】（1）由题意，点 D 是O 关于直线 m 的“远点”，O 关于直线 m 的特征数DBDE2510，故答案为：D，10如图 1 中，过点 O 作 OH直线 n 于 H，交O 于 Q，P18/94设直线 y?x+4 交 x 轴于 F（?，0），交 y 轴于 E（0，4），OE4，OF?，tanFEO?i?，FEO30，OH?OE2，PHOH+OP3，O 关于直线 n 的“特征数”PQPH236（2）如图 2 中，设直线 l 的解析式为 ykx+b当 k0 时，过点 F 作 FH直线 l 于 H，交F 于 E，N由题意，EN2?，ENNH4?，NH?，N（1，0），M（1，4），19/94M

31、N?2?，HM?，MNH 是等腰直角三角形，MN 的中点 K（0，2），KNHKKM?，H（2，3），把 H（2，3），M（1，4）代入 ykx+b，则有?h?h?，解得?h?，直线 l 的解析式为 y?x?，当 k0 时，同法可知直线 l经过 H（2，1），可得直线 l的解析式为 y3x+7综上所述，满足条件的直线 l 的解析式为 y?x?或 y3x+77（2020 年南京中考第 27 题）如图，要在一条笔直的路边 l 上建一个燃气站，向 l 同侧的 A、B 两个城镇分别铺设管道输送燃气 试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短（1）如图，作出点 A 关于 l 的对称点 A，线段 AB 与直

32、线 l 的交点 C 的位置即为所求，即在点 C 处建燃气站，所得路线 ACB 是最短的为了证明点 C 的位置即为所求，不妨在直线 l 上另外任取一点 C，连接 AC、BC，证明AC+CBAC+CB请完成这个证明（2）如果在 A、B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）生态保护区是正方形区域，位置如图所示；生态保护区是圆形区域，位置如图所示20/94【分析】（1）由轴对称的性质可得 CACA，可得 AC+BCAC+BCAB，AC+CBAC+BC，由三角形的三边关系可得 ABAC+CB，可得结论；（2）由（1）的结论可求；由（

33、1）的结论可求解【解答】证明：（1）如图，连接 AC，点 A，点 A关于 l 对称，点 C 在 l 上，CACA，AC+BCAC+BCAB，同理可得 AC+CBAC+BC，ABAC+CB，AC+BCAC+CB；（2）如图，在点 C 处建燃气站，铺设管道的最短路线是 AC+CD+DB；（其中点 D 是正方形的顶点）；如图，在点 C 处建燃气站，铺设管道的最短路线是 AC+CD?ti?EB，（其中 CD，BE 都与圆相切）8（2020 年镇江中考第 27 题）【算一算】如图，点 A、B、C 在数轴上，B 为 AC 的中点，点 A 表示3，点 B 表示 1，则点 C表示的数为5，AC 长等于8；【找

34、一找】如图，点 M、N、P、Q 中的一点是数轴的原点，点 A、B 分别表示实数?1、?1，Q 是 AB 的中点，则点N是这个数轴的原点；21/94【画一画】如图，点 A、B 分别表示实数 cn、c+n，在这个数轴上作出表示实数 n 的点 E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；【用一用】学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测 a个学生凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有 m 个学生，每分钟又有 b 个学生到达校门口如果开放 3 个通道，那么用 4 分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放 4个通道，那么用 2 分钟可使校门口的学生全部进校在这些条件

35、下，a、m、b 会有怎样的数量关系呢？爱思考的小华想到了数轴，如图，他将 4 分钟内需要进校的人数 m+4b 记作+（m+4b），用点 A 表示；将 2 分钟内由 4 个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数 8a 记作8a，用点 B 表示用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、12a 的点 F、G，并写出+（m+2b）的实际意义；写出 a、m 的数量关系：m4a【分析】（1）根据数轴上点 A 对应3，点 B 对应 1，求得 AB 的长，进而根据 ABBC可求得 AC 的长以及点 C 表示的数；（2）可设原点为 O，根据条件可求得 AB 中点表示的数以及线段 AB 的长度，根据

36、 AB2，可得 AQBQ1，结合 OQ 的长度即可确定 N 为数轴的原点；（3）设 AB 的中点为 M，先求得 AB 的长度，得到 AMBMn，根据线段垂直平分线的作法作图即可；（4）根据每分钟进校人数为 b，每个通道每分钟进入人数为 a，列方程组?h?h?，根据 m+2bOF，m+4b12a，即可画出 F，G 点，其中 m+2b 表示两分钟后，校门口需22/94要进入学校的学生人数；解中的方程组，即可得到 m4a【解析】（1）【算一算】：记原点为 O，AB1（3）4，ABBC4，OCOB+BC5，AC2AB8所以点 C 表示的数为 5，AC 长等于 8故答案为：5，8；（2）【找一找】：记原

37、点为 O，AB?1（?1）2，AQBQ1，OQOBBQ?11?，N 为原点故答案为：N（3）【画一画】：记原点为 O，由 ABc+n（cn）2n，作 AB 的中点 M，得 AMBMn，以点 O 为圆心，AMn 长为半径作弧交数轴的正半轴于点 E，则点 E 即为所求；（4）【用一用】：在数轴上画出点 F，G；4 分钟内开放 3 个通道可使学生全部进校，m+4b3a4，即 m+4b12a（）；2 分钟内开放 4 个通道可使学生全部进校，23/94m+2b4a2，即 m+2b8a（）；以 O 为圆心，OB 长为半径作弧交数轴的正半轴于点 F，则点 F 即为所求作 OB 的中点 E，则 OEBE4a，

38、在数轴负半轴上用圆规截取 OG3OE12a，则点 G 即为所求+（m+2b）的实际意义：2 分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；方程（）2方程（）得：m4a故答案为：m4a9（2020徐州）我们知道：如图，点 B 把线段 AC 分成两部分，如果?，那么称点 B 为线段 AC 的黄金分割点它们的比值为?（1）在图中，若 AC20cm，则 AB 的长为（10?）cm；（2）如图，用边长为 20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形 ABCD 得折痕EF，连接 CE，将 CB 折叠到 CE 上，点 B 对应点 H，得折痕 CG试说明：G 是 AB 的黄金分割点；（3）如图，小明进一步探究：在边

39、长为 a 的正方形 ABCD 的边 AD 上任取点 E（AEDE），连接 BE，作 CFBE，交 AB 于点 F，延长 EF、CB 交于点 P他发现当 PB 与BC 满足某种关系时，E、F 恰好分别是 AD、AB 的黄金分割点请猜想小明的发现，并说明理由【分析】（1）由黄金分割点的概定义可得出答案；（2）延长 EA，CG 交于点 M，由折叠的性质可知，ECMBCG，得出EMCECM，则 EMEC，根据勾股定理求出 CE 的长，由锐角三角函数的定义可出 tanBCG?，即?，则可得出答案；（3）证明ABEBCF（ASA），由全等三角形的性质得出 BFAE，证明AEFBPF，得出?i?t?，则可得

40、出答案24/94【解析】（1）点 B 为线段 AC 的黄金分割点，AC20cm，AB?20（10?10）cm故答案为：（10?10）（2）延长 EA，CG 交于点 M，四边形 ABCD 为正方形，DMBC，EMCBCG，由折叠的性质可知，ECMBCG，EMCECM，EMEC，DE10，DC20，EC?ti?t?10?，EM10?，DM10?10，tanDMC?t?t?tanBCG?，即?，ABBC，?，G 是 AB 的黄金分割点；（3）当 BPBC 时，满足题意理由如下：四边形 ABCD 是正方形，ABBC，BAECBF90，BECF，ABE+CFB90，又BCF+BFC90，25/94BCF

41、ABE，ABEBCF（ASA），BFAE，ADCP，AEFBPF，?i?t?，当 E、F 恰好分别是 AD、AB 的黄金分割点时，AEDE，?，BFAE，ABBC，?i?，?i?t?i?，BPBC10（2020 年扬州中考第 27 题）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数 x、y 满足 3xy5，2x+3y7，求 x4y 和 7x+5y 的值本题常规思路是将两式联立组成方程组，解得 x、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得

42、代数式的值，如由可得 x4y2，由+2 可得 7x+5y19这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”解决问题：（1）已知二元一次方程组?t?，t?，则 xy1，x+y5；（2）某班级组织活动购买小奖品，买 20 支铅笔、3 块橡皮、2 本日记本共需 32 元，买39 支铅笔、5 块橡皮、3 本日记本共需 58 元，则购买 5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需多少元？（3）对于实数 x、y，定义新运算：x*yax+by+c，其中 a、b、c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知 3*515，4*728，那么 1*111【分析】（1）利用可得出 xy 的值，利用?（+）可得出 x+y 的

43、值；（2）设铅笔的单价为 m 元，橡皮的单价为 n 元，日记本的单价为 p 元，根据“买 20 支铅笔、3 块橡皮、2 本日记本共需 32 元，买 39 支铅笔、5 块橡皮、3 本日记本共需 58 元”，26/94即可得出关于 m，n，p 的三元一次方程组，由 2可得 m+n+p 的值，再乘 5 即可求出结论；（3）根据新运算的定义可得出关于 a，b，c 的三元一次方程组，由 32可得出 a+b+c 的值，即 1*1 的值【解析】（1）?t?t?由可得：xy1，由?（+）可得：x+y5故答案为：1；5（2）设铅笔的单价为 m 元，橡皮的单价为 n 元，日记本的单价为 p 元，依题意，得：?，由

44、 2可得 m+n+p6，5m+5n+5p5630答：购买 5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需 30 元（3）依题意，得：?h?h?，由 32可得：a+b+c11，即 1*111故答案为：1111（2019 年南京第 27 题）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系 xOy，对两点 A（x1，y1）和 B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）|x1x2|+|y1y2|【数学理解】（1）已知点 A（2，1），则 d（O，A）3函数 y2x+4（0 x2）的图象如图

45、所示，B 是图象上一点，d（O，B）3，则点 B 的坐标是（1，2）27/94（2）函数 y?t（x0）的图象如图所示求证：该函数的图象上不存在点 C，使 d（O，C）3（3）函数 yx25x+7（x0）的图象如图所示，D 是图象上一点，求 d（O，D）的最小值及对应的点 D 的坐标【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图，道路以 M 为起点，先沿 MN 方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）【分析】（1）根据定义可求出 d（O，A）|0+2|+|01|2+13；由两点间距离：d（A，B）|

46、x1x2|+|y1y2|及点 B 是函数 y2x+4 的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点 B 的坐标；（2）由条件知 x0，根据题意得 t?t?，整理得 x23x+40，由0 可证得该函数的图象上不存在点 C，使 d（O，C）3（3）根据条件可得|x|+|x25x+7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；（4）以 M 为原点，MN 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy，将函数 yx 的图象沿 y 轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为 E，过点 E作 EHMN，垂足为 H，修建方案是：先沿 MN 方向修建到 H 处，再沿 HE 方向修建到E

47、处，可由 d（O，P）d（O，E）证明结论即可【解析】（1）由题意得：d（O，A）|0+2|+|01|2+13；设 B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0 x|+|0y|3，0 x2，x+y3，t?t?，解得：t?，B（1，2），故答案为：3，（1，2）；（2）假设函数?t?t?的图象上存在点 C（x，y）使 d（O，C）3，根据题意，得?t?t?，x0，?t?，?t?t?t?t，t?t?，28/94x2+43x，x23x+40，b24ac70，方程 x23x+40 没有实数根，该函数的图象上不存在点 C，使 d（O，C）3（3）设 D（x，y），根据题意得，d（O，D）|x0|+|x25

48、x+70|x|+|x25x+7|，t?t?t?，又 x0，d（O，D）|x|+|x25x+7|x+x25x+7x24x+7（x2）2+3，当 x2 时，d（O，D）有最小值 3，此时点 D 的坐标是（2，1）（4）如图，以 M 为原点，MN 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy，将函数 yx 的图象沿 y 轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为 E，过点 E 作 EHMN，垂足为 H，修建方案是：先沿 MN 方向修建到 H 处，再沿 HE 方向修建到 E 处理由：设过点 E 的直线 l1与 x 轴相交于点 F在景观湖边界所在曲线上任取一点 P，过点 P 作直线

49、l2l1，l2与 x 轴相交于点 GEFH45，EHHF，d（O，E）OH+EHOF，同理 d（O，P）OG，OGOF，d（O，P）d（O，E），上述方案修建的道路最短29/94点睛：考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有新定义，解方程（组），二次函数的性质等12（2019 年南通第 28 题）定义：若实数 x，y 满足 x22y+t，y22x+t，且 xy，t 为常数，则称点 M（x，y）为“线点”例如，点（0，2）和（2，0）是“线点”已知：在直角坐标系 xOy 中，点 P（m，n）（1）P1（3，1）和 P2（3，1）两点中，点P2是“线点”；（2）若点 P 是“线点”，用含 t 的代数

50、式表示 mn，并求 t 的取值范围；（3）若点 Q（n，m）是“线点”，直线 PQ 分别交 x 轴、y 轴于点 A，B，当|POQAOB|30时，直接写出 t 的值【分析】（1）若 x，y 满足 x2+2yt，y2+2xt 且 xy，t 为常数，则称点 M 为“线点”，由新定义即可得出结论；（2）由新定义得出 m2+2nt，n2+2mt，得出 m2+2nn22m0，m2+2n+n2+2m2t，分解因式得出（mn）（m+n2）0，得出 m+n2，mn4t，由完全平方公式得出（m+n）24mn0，得出 mn1，即可得出结果；（3）证出AOB 是等腰直角三角形，求出POQ120或 60，得出 P、Q