数字信号处理.docx

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1、数字信号处理西安电子(高西全丁美玉第三版 )数字信号处理课后答案1.2教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列示的序列。及其加权和表示题 1 图所解：2. 给定信号：（1）画出序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示序列；（3） 令（4） 令（5） 令，试画出，试画出，试画出波形；波形； 波形。解：（1）x(n)的波形如题 2 解图（一）所示。（3）的波形是 x(n)的波形右移 2 位，在乘以2，画出图形如题 2 解图（二）所示。（4）的波形是 x(n)的波形左移 2 位，在乘以 2，画出图形如题 2 解图（三）所示。（5）画时，先画x(-n)的波形，然后再右移（2）

2、2 位，波形如题 2 解图（四）所示。3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的， 确定其周期。（1），A 是常数；（2）。解：（1），这是有理数，因此是周期序列，周期是 T=14；（2）列。，这是无理数，因此是非周期序5. 设系统分别用下面的差分方程描述，与分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性 非时变的。（1）（3）（5）；， 为整常数；（7）。（ 1 ） 令 ： 输 入 为， 输 出 为解：故该系统是时不变系统。故该系统是线性系统。（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。令输入为，输出为，因为故延时器是一个时不变系统。又因为故延时器是线性系统。（5）令：输入

3、为，输出为，因为故系统是时不变系统。又因为因此系统是非线性系统。（7）令：输入为，输出为，因为故该系统是时变系统。又因为故系统是线性系统。（1）；6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（3）（5）；。解：（1）只要，该系统就是因果系统，因为输出只与 n 时刻的和 n 时刻以前的输入有关。如果，则（3）如果，因此系统是稳定系统。，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和 x(n) 的将来值有关.（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于 x(n)的未来值。如果因此系统是稳定的。，则，7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列的波形。解：如题 7 图所

4、示，要求画出输出输出解法（1）:采用图解法图解法的过程如题 7 解图所示。解法（2）:采用解析法。按照题 7 图写出 x(n) 和 h(n)的表达式:因为所以将 x(n)的表达式代入上式，得到8. 设线性时不变系统的单位取样响应入和输分别有以下三种情况，分别求出输出。（1）（2）（3）；。解：（1）先确定求和域，由区间如下：和确定对于 m 的非零根据非零区间，将 n 分成四种情况求解：最后结果为y(n)的波形如题 8 解图（一）所示。（2）y(n)的波形如题 8 解图（二）所示.（3）y(n)对于 m 的非零区间为。最后写成统一表达式：11. 设系统由下面差分方程描述：；设系统是因果的，利用递

5、推法求系统的单位取样响应。解：令：12. 有一连续信号式中，（1）求出的周期。（2）用采样间隔对进行采样，试写出采样信号的表达式。归纳起来，结果为（3）画出对应波形，并求出的时域离散信号(序列)的周期。的第二章教材第二章习题解答1. 设和分别是和的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：（1）（2）（3）（4）；。解：（1）令，则（2）（3）令，则（4）证明：令 k=n-m，则2. 已知求的傅里叶反变换。解：3.数)线性时不变系统的频率响应( 传输函如果单位脉冲响应为实序列，试证明输入的稳态响应为。解：假设输入信号h(n)，系统输出为，系统单位脉冲相应为上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序

6、列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。上式中数，是 w 的偶函数，相位函数是 w 的奇函4. 设将以 4 为周期进行周期延拓， 形成周期序列，画出和的波形，求出 的离散傅里叶级数和傅里叶变换。解：画出 x(n)和的波形如题 4 解图所示。,以 4 为周期，或者以 4 为周期5. 设如图所示的序列,的 FT 用表示，不直接求出（1）（2）（5） 解：，完成下列运算：；（1）（2）（5）6. 试求如下序列的傅里叶变换:（2）（3）；解：（2）（3）7. 设:（1）（2） 设下， 解：是实偶函数，是实奇函数，分别分析推导以上两种假的傅里叶变换性质。令（1）x

7、(n)是实、偶函数，两边取共轭，得到因此上式说明 x(n)是实序列， 质。具有共轭对称性因此该式说明是实函数，且是 w 的偶函数。由于 x(n)是偶函数，x(n)sinwn 是奇函数，那么总结以上 x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换是实、偶函数。（2）x(n)是实、奇函数。上面已推出，由于 x(n)是实序列， 对称性质，即具有共轭由于 x(n)是奇函数，上式中么是奇函数，那因此这说明是纯虚数，且是 w 的奇函数。10. 若序列实部如下式:是实因果序列，其傅里叶变换的12. 设系统的单位取样响应，输入序列为，完成下面各题：求序列解：及其傅里叶变换。（1）求出系统输出序列；（2）分别求出、和

8、的傅里叶变换。解：（1）（2）13. 已知，式中，以采样频率对进行采样，得到采样信号和时域离散信号，试完成下面各题：（1）写出的傅里叶变换表示式；（2）写出和的表达式；（3）分别求出叶变换。的傅里叶变换和序列的傅里解：（1）上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数 函数，它的傅里叶变换可以表示成：（2）（3）式中式中上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不 存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。（2）（3）；14. 求以下序列的 Z 变换及收敛域：（6）解：（2）（3）（6）16. 已知:求出对应的各种可能的序列的表达式。解：有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因

9、此收敛域有以下三种情况：三种收敛域对应三种不同的原序列。（1） 当收敛域时，令，因为 c 内无极点，x(n)=0；，C 内有极点 0，但 z=0 是一个 n 阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有，那么（2） 当收敛域时，C 内有极点；，C 内有极点，0，但 0 是一个 n 阶极点，改成求 c 外极点留数，c 外极点只有一个，即 2，最后得到（3）当收敛域时，C 内有极点，2；n0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。或者这样分析，C 内有极点，2，0，但 0 是一个n 阶极点，改成求 c 外极点留数，c 外无极点， 所以 x(n)=0。最后得到17. 已知，分别求：（1）（2）

10、（3）的 Z 变换；的 Z 变换； 的 z 变换。（1）（2）（3）18. 已知（1）收敛域，分别求：对应的原序列；解：（2）收敛域对应的原序列。解：（1）当收敛域时， 内有极点，,c 内有极点 0.5,0,但 0 是一个 n 阶极点,改求 c 外极点留数,c 外极点只有 2,最后得到（2（当收敛域时，c 内有极点 0.5,2,c 内有极点 0.5,2,0,但极点 0 是一个 n 阶极点,改成求 c 外极点留数,可是 c 外没有极点,因此, 最后得到25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为，试：（1） 用卷积法求网络输出；（2） 用 ZT 法求网络输出。（1）用卷积法求，,解：，最后得到（2

11、）用 ZT 法求令,c 内有极点因为系统是因果系统，,，最后得到28. 若序列部如下式：是因果序列，其傅里叶变换的实求序列及其傅里叶变换。解：求上式 IZT，得到序列的共轭对称序列。因为域取：是因果序列，。必定是双边序列，收敛时，c 内有极点 ,n=0 时，c 内有极点 ,0，所 以 又因为所以1. 计算以下诸序列的N 点 DFT, 在变换区间内,序列定义为3.2教材第三章习题解答（2）（4）；（6）；（8）（10） 解：。；（2）（4）（6）（8）解法 1直接计算解法 2由 DFT 的共轭对称性求解因为所以即结果与解法 1 所得结果相同。此题验证了共轭对称性。（10）解法 1上式直接计算较难

12、，可根据循环移位性质来求解X(k)。因为所以等式两边进行 DFT 得到故当时，可直接计算得出 X（0）这样，X（k）可写成如下形式： 解法 2时，时，2. 已知下列，求（1）;（2）所以， 即解：（1）（2）3. 长度为 N=10 的两个有限长序列作图表示、和。解：、和分别如题 3 解图（a）、（b）、（c）所示。14. 两个有限长序列和的零值区间为:对每个序列作 20 点 DFT,即如果试问在哪些点上，为什么？解：如前所示，记长度为 27，而。长度为 20。已推出二者的关系为只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足所以15. 用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率各参数：，信号最高频

13、率为 1kHZ，试确定以下（1）最小记录时间；（2） 最大取样间隔（3） 最少采样点数；（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的 N 值。解：（1）已知（2）（3）（4）频带宽度不变就意味着采样间隔 T 不变， 应该使记录时间扩大一倍为实现频率分辨率提高一倍（F 变为原来的 1/2）18. 我们希望利用长度为N=50 的FIR 滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过 DFT 来实现。所谓重叠保留法， 就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100 个采样点），但相邻两段必须重叠 V 个点，然后计算各段与的 L 点（本题取 L=128）循环卷积，得到输出序

14、列，m 表示第 m 段计算输出。最后，从中取出个，使每段取出的个采样点连接得到滤波输出。（1） 求 V；（2） 求 B；（3）确定取出的 B 个采样应为点。中的哪些采样解：为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列的序列标号为 0，1，2，,127。先以与各段输入的线性卷积考虑，中，第0 点到 48 点（共49 个点）不正确，不能作为滤波输出，第 49 点到第 99 点（共 51 个点） 为正确的滤波输出序列的一段，即 B=51。所以，为了去除前面 49 个不正确点，取出 51 个正确的点连续得到不间断又无多余点的重叠 100-51=49 个点，即 V=49。，必须下面说明，对 128 点的循环卷积

15、也是正确的。我们知道因为长度为N+M-1=50+100-1=149，上述结果所以从 n=20 到 127 区域，当然，第49 点到第 99 点二者亦相等，所以，所取出的第51 点为从第 49 到 99 点的。综上所述，总结所得结论V=49,B=51选取中第 4999 点作为滤波输出。5.2教材第五章习题解答1. 设系统用下面的差分方程描述：，试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。解：将上式进行 Z 变换（1）按照系统函数，根据 Masson 公式，画出直接型结构如题 1 解图（一）所示。（2）将的分母进行因式分解按照上式可以有两种级联型结构：(a)画出级联型结构如题 1 解图（二）（a）所示

16、(b)（3）将进行部分分式展开画出级联型结构如题 1 解图（二）（b）所示根据上式画出并联型结构如题 1 解图（三）所示。2. 设数字滤波器的差分方程为，试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。解：将差分方程进行 Z 变换，得到（1）按照 Massion 公式直接画出直接型结构如题 2 解图（一）所示。（2）将的分子和分母进行因式分解：按照上式可以有两种级联型结构：(a)画出级联型结构如题 2 解图（二）（a）所示。(b)画出级联型结构如题 2 解图（二）（b）所示。3. 设系统的系统函数为，试画出各种可能的级联型结构。解：（1），由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构

17、。画出级联型结构如题 3 解图（a）所示。（2）,画出级联型结构如题 3 解图（b）所示。4. 图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。图 d解：(d)5. 写出图中流图的系统函数及差分方程。图 d 解：(d)(f)8 已知 FIR滤波 器的 单位脉冲 响应为，试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5，要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的计算公式。6. 写出图中流图的系统函数。图 f 解：解：已知频率采样结构的公式为式中，N=5它的频率采样结构如题 8 解图所示。6.2教材第六章习题解答1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通

18、带截止频率，通带最大衰减率，阻带最小衰减化传输函数以及实际的，阻带截止频。求出滤波器归一。解：（1）求阶数 N。将和值代入 N 的计算公式得所以取 N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取 N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。）（2）求归一化系统函数，由阶数 N=5 直接查表得到 5 阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数为或按（）式写出表达式当然，也可以按（）式计算出极点:代入值并进行分母展开得到与查表相同的结果。（3）去归一化（即LP-LP 频率变换），由归一化系统函数由于本题中得到实际滤波器系统函数。，即，因此对分母因式形式，则有如上结果中， 的值未代入相乘，这样

19、使读者能清楚地看到去归一化后，3dB 截止频率对归一化系统函数的改变作用。2. 设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率止频率化传输函数解：，通带最在衰减速，阻带最小衰减和实际的。，阻带截。求出归一（1） 确定滤波器技术指标：，（2）求阶数 N 和 ：（2）求归一化系统函数其中，极点由(6.2.38)式求出如下：（3）将数去归一化，求得实际滤波器系统函为了满足指标要求，取 N=4。其中千fl Pi: = 6,rx l 心心1 红 4 , 因为 正户心凸 ， 所以心气也 s 2。将两对共枙极点对应的因子相乘， 得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。4. 已知模拟滤波器的传输函数凡(”)为

20、：S 十a(1)H.(s)=(s 矿 矿 (2)H,J.s)=b(s 矿 ？b。 式中， a,b 为常数， 设研）因果稳定，试采用脉冲响应不变法，分别将其转换成 数字滤波器职）。解：该题所给H 应正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，解该题的过程， 就是导出这两种典型形式的H 应的脉冲响应不变法转换公式， 设采样周期为T。H 心）s+a(1)s( 十矿炉H 应的极点为：s.=-a+jb-，Ji2 =-a-jb将环）部分分式展开（用待定系数法）： 比较分子各项系数可知：A、 B 应满足方程：解之得所以按照题目要求， 上面的双4 表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中

21、，一般用无复数乘法器 的二阶基本结构实现。由于两个极点共辄对称， 所以将加）的两项通分并化简整理，可得用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便千工程实际中实现。H.(:1)=b(2)(:1+ 矿 矿H 应的极点为：s.=-a+jh-，Ji2 = -a - jh将环）部分分式展开： 通分并化简整理得5. 已知模拟滤波器的传输函数为：H.(s)=1(1)s.,_ +s+l (2) H上）云勺15 +1 试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波器， 设T=2s。解：( 1 )用脉冲响应不变法邸）1:s2+:s +1方法 1 直接按脉冲响

22、应不变法设计公式，极点为：的，代入 T=2s方法 2直接套用 4 题(2)所得公式，为了套用公式，先对的标准形式：的分母配方，将化成 4 题中为一常数，由于所以对比可知，套用公式得或通分合并两项得7. 假设某模拟滤波器是一个低通滤波器，又（2） 用双线性变换法知，数字滤波器的通带中心位于下面的哪种情况？并说明原因。（1）（2）(低通)；（高通）；（3）除 0 或 外的某一频率（带通）。解：按题意可写出故即原模拟低通滤波器以知，时，对应于为通带中心，由上式可，故答案为（2）。9. 设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于时，容许幅度误差在 1dB 之内；频率在 到之间的阻带衰减大于 10dB；试采

23、用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转 换，采样间隔 T=1ms。解：本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以， 由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下：采用脉冲响应不变法转换，所以，相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为：（1）求滤波器阶数 N 及归一化系统函数：取 N=5，查表的模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为：将部分分式展开：其中，系数为：（2） 去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数。我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以按(6.2.18)式求 3dB 截止频率。其中。（3） 用脉冲响应不变法将系统函数：转换成数字滤波器我们知道，脉冲响应不变法的主要缺点是存在频率混叠失真，设计的滤波器阻带指标变差。另外， 由该题的设计过程可见，当 N 较大时，部分分式展开求解系数或相当困难，所以实际工作中用得很少，主要采用双线性变换法设计。