第2章函数与基本初等函数练习（苏教版必修1）.doc

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1、第2章函数与基本初等函数练习（苏教版必修1）第2章函数与基本初等函数练习（苏教版必修1）未经允许 请勿转载 第二编 函数与基本初等函数2.1 函数及其表示基础自测1与函数f(x)|x是相同函数的有 （写出一个你认为正确的即可）. 答案 2设M=x0x2，Nyy3，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M到集合N的函数未经许可 请勿转载关系的是 (填序号) 答案 3.若对应关系f：B是从集合A到集合B的一个映射,则下面说法正确的是 (填序号)未经许可 请勿转载中的每一个元素在集合B中都有对应元素 中两个元素在B中的对应元素必定不同B中两个元素若在A中有对应元素,则它们必定不同 中的元素在

2、A中可能没有对应元素答案 4.如图所示,三个图象各表示两个变量x，y的对应关系,则能表示是x的函数的图象是 (填序号).未经许可 请勿转载答案 5.已知f（）2+,则(x)= .答案 (x0)例1给出下列两个条件：(1)（+)=x+2;（)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x)-(x)=4x+.试分别求出f(x）的解析式.未经许可 请勿转载解(1）令t=+1,，x=（t-1）.则f(t)(t-)+(1)t2-1,即f()=x2-1，x1,+).未经许可 请勿转载(）设f(x)=ax2x (a0),f(x+)=(x2）2+b（+2)+c,则f(x+2)-f()4ax+4a2b4+2未经许可

3、请勿转载,，又（0)=3c=3,(x)=x23例2(1）求函数f(x)=的定义域;（2）已知函数(2x)的定义域是-，求f(log2x)的定义域.解 （1)要使函数有意义，则只需要：解得-30或x故函数的定义域是(-,0)（2,3）.（)y=(x)的定义域是1,1,即-x1,x2函数f(lox)中lo2.即og2lo2xl,故函数f（lo2）的定义域为,4 例3（4分)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元辆,出厂价为1.万元辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次,适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为 (0x1）,则出厂价相应提高的比例为0.7x

4、,同时预计年销售量增加的比例为0.已知年利润=（出厂价-投入成本）年销售量未经许可 请勿转载（1)写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例x的关系式;(2）为使本年度利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?解(1）依题意,本年度每辆摩托车的成本为1+（万元)，而出厂价为.2(1+0.75) (万元),未经许可 请勿转载销售量为1 00(10.x)(辆).故利润=1.2(1+0.5x）(1+x)1 00（1+0.6x), 5分未经许可 请勿转载整理得y=-620x+00 （00,即x2-x0. 1分未经许可 请勿转载解得0x，适合0.故为保证本年度利润比上年有所增加,投入成本

5、增加的比例x的取值范围是x. 13分答 （1)函数关系式为y=60x22x200（0x,=0, f(x）的x的值是 .未经许可 请勿转载答案 1 28已知函数(x)f(x)+（),其中f(x)是的正比例函数,g(x)是x的反比例函数，且（）=, (1)8,则未经许可 请勿转载（x)= 答案 3二、解答题.求函数（）的定义域.解由x0.函数f()= 的定义域为(1，0).10.（1）设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)1,且对任意实数a、b，有f(b)=f(a）-b(2a+1),求f(x);未经许可 请勿转载（2)函数f（x) (x（-1，1)满足2f()-f(x）=l（x+1）,求

6、f(x)解 （1)依题意令a=b=,则（x-x)=f（x)-x(+1）,即f(0)=f(x)-x-,而(）=,f(x)=x2+x+1.(2)以-x代x，依题意有2f（-x）-f(x)=g(1x) 未经许可 请勿转载又2f()-f(-x）lg(+x) 未经许可 请勿转载两式联立消去f(-)得3f()=(1-x)+2lg(+),（）=lg(1+x-x2-)(-1x1)11.如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABC的形状，它的下底AB是O的直径,且上底未经许可 请勿转载CD的端点在圆周上，写出梯形周长y关于腰长的函数关系式,并求出它的定义域解 AB=2R,C、D在的半圆周上，设

7、腰长AD=BC=x,作DEAB，垂足为E，连接D,那么DB是直角，由此RtADERtABAD=AEB，即=,CD=-2AER-，所以y=R+x+（2R-)，即y=-+2x4.再由,解得0x，y0满足f(xy)=f（x）+f（y),则不等式f(x6)+（x）1).证明:函数f(）在(-1,+)上为增函数.证明 方法一 任取x,2(-1,+),不妨设x1x2,则x-x10,1且a,a又x1+10,x2+0,0,于是f（x2)-(x1)=+0,故函数f(x)在(1,+)上为增函数.方法二 f(x)=ax+1-(1),求导数得f(x)axna+,a1,当x-1时,axlna0,0,f()0在(-1,)

8、上恒成立,则f(x)在(-1,+)上为增函数.方法三 1,y=a为增函数，又y=,在(,+）上也是增函数.y=a在(-1，+)上为增函数.例2 判断函数f(x)=在定义域上的单调性.解 函数的定义域为|x1或x1,则（x)= ，可分解成两个简单函数.f(x) =x2-的形式.当x1时，(x)为增函数,为增函数.（x）=在1，)上为增函数.当x-时，(x)为减函数，为减函数，f(x）=在(-,-1上为减函数. 例 求下列函数的最值与值域:（)y=4-;(2)=2x-;（3）yx+;(4)y=.解 (1）由3+2x20得函数定义域为-1，3，又t3+2x-24-(x-1)2未经许可 请勿转载t,4

9、，0，2，从而,当x=1时,ymi=2，当x=1或x时,yma=4.故值域为2，.未经许可 请勿转载(2） 方法一 令=t(t0),则x=.=-t2-=-(t+2+二次函数对称轴为t=-,在，+)上y-(t2是减函数，故ymax=-(0+2+1.故函数有最大值1，无最小值,其值域为（,1.方法二 y=2x与y=-均为定义域上的增函数，=2x-是定义域为|x上的增函数，故ymax=2=1,无最小值.故函数的值域为（-，1.(3)方法一 函数y=x是定义域为xx0上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x时，即可知x0时的最值未经许可 请勿转载当x0时,y=x+2=4，等号当且仅当x2时取得.当

10、时，y-4,等号当且仅当x时取得综上函数的值域为(-，-,+),无最值.方法二 任取x1,x2,且x1x2,因为(x1)-f(2)=x1+-(x2+）=所以当x-2或x时，f(x）递增,当-2x0或0时，f(x)1.未经许可 请勿转载（1）求证：f(）是上的增函数;（）若f（4)=,解不等式f(m2-m-)3.解 (1）设x1，x2R，且10,f(2-1)1. 2分未经许可 请勿转载f（x2)-f(x)(（x2-x)）-f(x1)=(2-x)f(x1)-1-f（x1)=(2-x)-10 5分未经许可 请勿转载（x2)f(x1）即f（x）是R上的增函数. 分未经许可 请勿转载(2）（4)=f（2

11、+2)=f(2）(2）-1=5,f（2）=3, 1分未经许可 请勿转载原不等式可化为(3m-m-2）f(2),f（x）是R上的增函数，32-22， 12分未经许可 请勿转载解得-m）的单调性解 方法一 显然f(x)为奇函数,所以先讨论函数f（)在（0,+）上的单调性,设x120,则未经许可 请勿转载（)-f(x) =(x1+)(x2+)=(x12)（1).当x21,则f(x1)f（x2)0,即（x1)x2时,00,即f(1)f(2)，故f(x)在，+）上是增函数.f（x）是奇函数，f(x)分别在（-,-、,+)上为增函数；(x）分别在，0)、(，上为减函数.方法二 由f（x)=-=可得x=当时

12、或x0，f（x）分别在，+)、(,-上是增函数.同理0x或-x0时，f(x)0即（x）分别在（0，、,0)上是减函数.2.求函数y(x-x2)的单调区间.解由4x-x,得函数的定义域是(,4）.令tx-x2,则=t.t4x-2(-）2+4，t=4x-x的单调减区间是2，4)，增区间是（，2.未经许可 请勿转载又=t在(0，+)上是减函数,函数y=(4x-2)的单调减区间是(，2,单调增区间是,4）.3.在经济学中,函数f（x）的边际函数(x)定义为Mf(x）=(x1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x（x)台的收入函数为（x）=3 00x-202 (单位：元),其成本函

13、数为C(x)=500x+4 000(单位:元)，利润是收入与成本之差.未经许可 请勿转载(）求利润函数P（x)及边际利润函数MP(x)；()利润函数(x)与边际利润函数MP(）是否具有相同的最大值？解 (1）P()=（）-(x)=（ 00x-0x2)-(0x+4 00)=-202+ 00x4 00(x1,10且xN）MP（)P(x+1）-P(x）=20(+1）2+200(x+)-4 0-（-2+ 500x-4 000)未经许可 请勿转载=240-40x (x1,100且xN）.()P（x)=20(x-2+74 15,当=6或63时,P()ax=74 20（元）.未经许可 请勿转载因为MP（）=

14、2 80-40x是减函数，所以当x1时，(x)max 440（元）.因此,利润函数P(x）与边际利润函数M（x）不具有相同的最大值.4.已知定义在区间(0,+）上的函数(x)满足f(f(x1)-f（x2），且当x1时,f（x）0未经许可 请勿转载(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；（3)若f(3）=-1，解不等式f(x|)0，代入得f（1）=(x1)-f(1)=0，故f（1)0.(2）任取x1,x2(0，+），且1x2，则1,由于当x1时,f（x）0,所以0,即f(x1)-f(2）0,因此f(1)f(x2),所以函数f()在区间(0，+）上是单调递减函数.(3)由f(）=f(x1

15、)f(2)得f(=f(9)(3)，而f（3）=-1,所以f(9)-由于函数f（）在区间（0,+)上是单调递减函数，由f(|x|),x9或-9.因此不等式的解集为|x9或x-9.未经许可 请勿转载一、填空题.函数(）=ln(+3xx)的单调递减区间是 .答案,）2.已知函数f()在区间a,上单调,且f(a）f（b)0,则下列对方程f(）=在区间a,b上根的分布情况的判断有误的是 （填序号)未经许可 请勿转载 至少有一实根 至多有一实根未经许可 请勿转载没有实根 必有惟一的实根未经许可 请勿转载 答案 3函数=lg(x22x+m)的值域是R，则m的取值范围是 . 答案 m14.函数f(x)（x)的

16、图象如下图所示,则函数()=(ogax) ()的单调减区间是 . 未经许可 请勿转载答案 ，1 .已知(）=是（-,+）上的减函数,那么a的取值范围是 答案,)6.若函数(x)(m-1）x+mx（x）是偶函数,则f(x)的单调减区间是 .未经许可 请勿转载答案 ,).已知yf()是定义在(,)上的增函数，若f(-)f（12）,则m的取值范围是 .未经许可 请勿转载答案 (-.已知下列四个命题:若(x)为减函数,则f（x）为增函数;若f()为增函数,则函数(）=在其定义域内为减函数；若(x）与g(x)均为（,b）上的增函数，则(x)()也是区间(a，b)上的增函数；若(）与(x）在(a,b）上分

17、别是递增与递减函数,且g(x）,则在(a,）上是递增函数.其中命题正确的是 (填序号)未经许可 请勿转载答案 二、解答题.已知f（x)在定义域(0，+)上为增函数，且满足（)f(x)+f（y),f（3)=1,试解不等式f(x)+f(x)2.未经许可 请勿转载解 根据题意,由f(3）=,得f(9)=f（3)+（3）=2.又f()+(x-)=fx(x-8)，故x(x-8)f(9)f(）在定义域(,+）上为增函数，解得80.未经许可 请勿转载（）求证:(x)在（-,+）上为增函数；（2）若(）=1,解不等式fog2(x2-x-2)x1,则x2x0（x2)-f（x）=f（x2-x1+x）-f(）=f(

18、xx1）+(x1）f（x1)=f(x2-x1)0,未经许可 请勿转载(x)(x1）,f(x)在（-,)上为增函数.（）解 f（)=1,2=1f（1)+f(1)=(2) 又log（x2x-2),flg2(x2-x-2)(）log2(x-x）2，于是即-x-1或x3.原不等式的解集为|-1或2x0且f(x)在（,)内单调递减,求a的取值范围.(1）证明 任设xx-2,则(x1)-(x)(1+)(x+）0,x1-2,f(x）f（x2),（x)在(-，-2)内单调递增.未经许可 请勿转载（2）解 任设110，2-1,要使f(1）-f(2）0,只需（x-a)(x2a)0恒成立，未经许可 请勿转载a1.综

19、上所述知0时,f(x)，(1）= .未经许可 请勿转载（）判断并证明f（）在上的单调性;(2)求f（x)在-,上的最值解（1）(x)在上是单调递减函数证明如下：令x=0，f(0）=0,令x=-可得：f(-)-f(),在R上任取10,未经许可 请勿转载(2)f(x1)=f(x2)+f(x)=f（x2-1)又x0时,f(x)0,未经许可 请勿转载f(-x1)0,即f（x2)f(x1).由定义可知f（x)在R上为单调递减函数.()(）在R上是减函数，f(x）在-3,上也是减函数.f（-3）最大，（3)最小.f(3)=f(2)+f（1)=f()+f（1）+f(1)=3（-2.未经许可 请勿转载f(-3

20、）=-(3)=2即f(x)在-,3上最大值为2，最小值为-.3 函数的奇偶性 基础自测 1.（208福建理，4)函数f(x)x3+sinx+1(），若(a)=2,则f（-）的值为 . 未经许可 请勿转载答案02.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+）=-f（x）,则()的值为 . 答案03.设偶函数f()oa|b|在(-，0)上单调递增，则f(a+1) f(b+2)(用“”,“”，“”填空）.未经许可 请勿转载答案4.已知f（）是奇函数,则实数a的值为 答案1.函数f(x)，(x）在区间-a,（）上都是奇函数,则下列结论:f(x)g(x)在-a,上是奇函数;f(x）g(x)在-a，a上是

21、奇函数；f()g（x)在a,a上是偶函数;()+ (0)=0,则其中正确结论的个数是 .未经许可 请勿转载 答案 例判断下列函数的奇偶性（1)f(）=;()f(x)=o(x+) (x);(3)f(x)=lgx-2.解 (1)-0且1-x0，x=1,即f(x）的定义域是-，1f(）0,f(1)=0,()=f（-1),(-1）=f（),故f(x）既是奇函数又是偶函数.（2）方法一 易知f（x)的定义域为R,又(-x)=log-x+=lo2=-g(x+)f(x)，(x）是奇函数方法二 易知f（)的定义域为R,又f（-)+(x）=log-+lo2(x)log1=,即(-x）=-f（x),未经许可 请勿

22、转载f（x)为奇函数.（)由x-2|0，得x2f(x)的定义域x|x2关于原点不对称,故f(x)为非奇非偶函数例2已知函数f(x），当x，R时,恒有(+y)f（x)f(）(1)求证:（)是奇函数；（2)如果xR+，f(x),并且()=-,试求（)在区间-2,6上的最值.(1）证明函数定义域为R，其定义域关于原点对称，f(x+）=f(x)+f(y）,令y=-x,(0)=(x)f(-x).令=y=,f(0）=f（0）+f（),得f（)=0.f（x)+f（-x)0,得f(-）=-f(x),未经许可 请勿转载(x）为奇函数.(）解方法一 设x,yR+，f(x+y)=f(x）+（y）,f(+y)-(x）

23、=f（)xR+，(），f(+y)-（）,（x)在（0,+)上是减函数.又f（x）为奇函数,f（0)=0，f（x）在(,+)上是减函数.f（)为最大值，f(6)为最小值.f(1)=,(-2)=(2）f()=1,f（6)=2f(3）=2f（1）+（2)-3所求(x)在区间-2,6上的最大值为1,最小值为-方法二 设1，且x1,2R.则f(x2x1)=fx2+(-1)=f(2）+f(-1)=(2）-(x1).2x0,f(x2-x）0.f(x2)f（x1)0即f(x)在R上单调递减未经许可 请勿转载f（-2）为最大值，f(）为最小值.f(1)=-，f(-）=-（2）=-2(1）1,f（6）=(3）=2

24、f（1)f（2）-未经许可 请勿转载所求(x)在区间2，6上的最大值为1，最小值为-.例(6分）已知函数(x)的定义域为，且满足f(+2)-（）(）求证:f()是周期函数;（）若(x)为奇函数,且当0x1时,f（)x,求使f(）=-在， 09上的所有的个数未经许可 请勿转载(1)证明 f(+2）=-f(x）,(x+4)-f(x）=-f（x）=f(x）， 2分未经许可 请勿转载f(x）是以4为周期的周期函数, 4分未经许可 请勿转载(2）解 当0x1时,f（x)=x,设-1x0,则0-x1,f(-x）=(-x)-x.f（)是奇函数，f(x）=-f(x),(x)=-x，即f()=x. 7分未经许可 请勿转载故f(x)=x(-x1) 分未经许可 请勿转载又设1x3,则-1x1，f(x2)= （x-), 10分未经许可 请勿转载又（x-2)=f（2-x)=-f（)+2）=-f（-x）-（x),-f(x）(x-），（x)-（x-2）(x).