2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）（含解析版）.doc

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1、2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）（含解析版）2014年全国统一高考数学试卷文科大纲版含解析版未经允许 请勿转载 2014年全国统一高考数学试卷文科大纲版一、选取题此题共12小题，每题5分15分设集合M=1,2,4,6,8，N=1,，3,5，,则MN中元素的个数为 未经许可 请勿转载A.23C.5725分已经知道角的终边经过点，则os= ABD.5分不等式组的解集为 A|2x1.x|11的反函数是 A.y=1x31B.y=ex13xC.y=1exxDyex13xR65分已经知道,为单位向量，其夹角为60,则=A.B0.D275分有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、名女医

2、生组成一个医疗小组，则不同的选法共有 未经许可 请勿转载A种B70种C.75种D0种分设等比数列n的前n项和为Sn.若S2=，S415,则6 A3B.32C.63D649分已经知道椭圆C:+=ab0的左、右焦点为1、F2,离心率为，过F2的直线l交C于、两点，若AF1的周长为，则C的方程为 未经许可 请勿转载A1B.+2=1.+=1D+0分正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为,底面边长为2，则该球的表面积为 未经许可 请勿转载A.B69D1.5分双曲线C：=1a0，0的离心率为,焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于未经许可 请勿转载A2B4.412.5分奇函数fx的定义域为R,若x2为偶

3、函数，且f1=,则f+f=未经许可 请勿转载A2B.CD. 二、填空题此题共4小题,每题5分13分x26的展开式中x的系数是 .用数字作答4分函数yco2x+sinx的最大值是 .55分设x,y满足约束条件，则zx+4y的最大值为 6.5分直线l1和l2是圆+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为1，3，则l与l2的夹角的正切值等于 .未经许可 请勿转载 三、解答题1710分数列a满足a=,2=2，n2=an+n+2.设b=n+an,证明n是等差数列；求an的通项公式.18.2分AB的内角A、B、C的对边分别为、b、c，已经知道3aosC=2cosA，aA=，求B未经许可 请勿转载1912分

4、如此图，三棱柱ACB1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上,AC=90,C1，AC=C2.未经许可 请勿转载证明:AC1B；设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1A的大小0.12分设每个工作日甲，乙，丙,丁人需使用某种设备的概率分别为6，5，0.5,.4，各人是否需使用设备相互独立未经许可 请勿转载求同一工作日至少人需使用设备的概率；实验室计划购买台设备供甲,乙,丙，丁使用,若要求“同一工作日需使用设备的人数大于的概率小于1,求的最小值.未经许可 请勿转载21分函数=ax3x+x0讨论fx的单调性；若在区间1,2是增函数，求a的取值范围.12分已经知道抛物线C：y2=2x

5、p0的焦点为，直线=4与y轴的交点为，与C的交点为,且|Q|=|P|未经许可 请勿转载求C的方程；过F的直线l与相交于A、B两点,若B的垂直平分线l与C相交于、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程未经许可 请勿转载4年全国统一高考数学试卷文科大纲版参考答案:与试题解析 一、选取题此题共2小题，每题5分15分设集合M=1，2，4，6,8，N,2,3，5,6，7,则MN中元素的个数为 未经许可 请勿转载.23.57【考试点】1A：集合中元素个数的最值;1E:交集及其运算【专题】5J:集合【分析】根据与N,找出两集合的交集，找出交集中的元素即可.【解答】解：=1,2,4,6，8,N=1

6、,2,3,5，6,7,MN=1,2,6，即M中元素的个数为故选:B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解此题的关键. .分已经知道角的终边经过点4,3,则o.B.C.D【考试点】G：任意角的三角函数的定义.【专题】56:三角函数的求值【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得s的值【解答】解:角的终边经过点4，3，=4,=3,r=5.c=，故选：【点评】此题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用，属于基础题5分不等式组的解集为 A.x2Bx1x0C.x|0x1【考试点】7E:其他不等式的解法【专题】59:不等式的解法及应用【分析】解一元二次不等式、绝对值不

7、等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集,即得所求.【解答】解：由不等式组可得，解得01B.=ex13C.=1eR.y=ex13xR【考试点】4：反函数【专题】1：函数的性质及应用【分析】由已经知道式子解出x，然后互换x、的位置即可得到反函数【解答】解:y=ln+1,+=ey,即y1，x=ey1,所求反函数为yex13，故选：D【点评】此题考查反函数解析式的求解，属基础题. 6.5分已经知道,为单位向量，其夹角为60,则2=A1B.0.1D【考试点】9O:平面向量数量积的性质及其运算【专题】5:平面向量及应用.【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义,求得、的值,可得2的值【解答】解

8、:由题意可得，=11co60=，=1，2=2=0，故选：B.【点评】此题主要考查两个向量的数量积的定义,属于基础题. 75分有6名男医生、名女医生，从中选出名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有 未经许可 请勿转载60种B7种5种D.50种【考试点】D：排列、组合及简单计数问题.【专题】5O:排列组合【分析】根据题意，分2步分析，先从名男医生中选2人,再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案:.未经许可 请勿转载【解答】解:根据题意,先从6名男医生中选2人，有C6215种选法,再从5名女医生中选出1人，有C51种选法,则不同的选

9、法共有555种;故选：C.【点评】此题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同 .5分设等比数列an的前项和为Sn.若2,S4=15，则6=A.31B32C63D.64【考试点】:等比数列的前n项和【专题】4:等差数列与等比数列.【分析】由等比数列的性质可得S，S4S2,S6S4成等比数列，代入数据计算可得【解答】解:S=a+a,S4S2=a3+a4=a1+aq2，6S4=a6a1+2q，未经许可 请勿转载所以S2，S2,6S4成等比数列,即，12，S15成等比数列，可得122=3S615，解得S6=故选：C.【点评】此题考查等比数列的性质,得出S2,S4S2,S6S4成等比数列是解决

10、问题的关键,属基础题.未经许可 请勿转载 95分已经知道椭圆C:+=1b0的左、右焦点为F1、F2,离心率为，过的直线l交C于、B两点,若F1的周长为4,则C的方程为未经许可 请勿转载A+=1By2.=1D+1【考试点】K:椭圆的性质.【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用AFB的周长为,求出=，根据离心率为，可得c,求出，即可得出椭圆的方程【解答】解：AF1B的周长为4，F1B的周长|A1+|AF|+|F1+B2|=a2aa，4a=4,a=，离心率为，1,b=,椭圆C的方程为+=1.故选：A【点评】此题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力,属于基础题10

11、.5分正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为,底面边长为，则该球的表面积为 未经许可 请勿转载AB.1【考试点】L：球的体积和表面积；LR：球内接多面体.【专题】11：计算题；5：空间位置关系与距离.【分析】正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高O1上，记为,求出PO1，O1,解出球的半径,求出球的表面积未经许可 请勿转载【解答】解:设球的半径为R,则棱锥的高为4,底面边长为2,R+2，R=,球的表面积为42=故选:.【点评】此题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题. 11.5分双曲线C:1a0,b0的离心率为,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于 未经许可 请勿

12、转载A2B2C4D.【考试点】KC:双曲线的性质【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论.【解答】解：1a,的离心率为2,e=,双曲线的渐近线方程为y，不妨取,即bxay,则c=2，b=,焦点c，0到渐近线0的距离为,即,解得c=,则焦距为2c=4,故选:【点评】此题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决此题的关键,比较基础.未经许可 请勿转载12.分奇函数fx的定义域为，若fx+为偶函数，且f11，则f8+f 未经许可 请勿转载A2B.C.0D.1【考试点】3:函数奇

13、偶性的性质与判断【专题】51：函数的性质及应用【分析】根据函数的奇偶性的性质,得到x=x,即可得到结论【解答】解:fx+为偶函数，fx是奇函数，设gxfx+2，则gx=gx，即x2fx+2，f是奇函数,x+=fx2x2，即fx4=f,fx+8=fx+4=x+=fx,则f8f0=0,911，f+f9=0+1=1，故选:D.【点评】此题主要考查函数值的计算,利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决此题的关键.二、填空题此题共4小题,每题分13.5分x2的展开式中x3的系数是 10用数字作答【考试点】DA：二项式定理.【专题】：计算题.【分析】根据题意,由二项式定理可得x2的展开式的通项，令x的

14、系数为3，可得r=3，将r3代入通项，计算可得T4=1603，即可得答案:未经许可 请勿转载【解答】解：根据题意,x6的展开式的通项为Tr+1=Crx6r2r=1rC6r,未经许可 请勿转载令6r=3可得3,此时T4=123C6x3=16,即x3的系数是60；故答案:为160【点评】此题考查二项式定理的应用,关键要得到2的展开式的通项 4.分函数ycs2x2six的最大值是 【考试点】H:三角函数的最值【专题】11：计算题.【分析】利用二倍角公式对函数化简可得=cos2x+2n2sinx2snx=,结合snx1及二次函数的性质可求函数有最大值未经许可 请勿转载【解答】解:=cos2snx12s

15、in2x+2sin=又1sn当sin时,函数有最大值故答案:为:【点评】此题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解,解题中要注意11的条件.未经许可 请勿转载155分设x，y满足约束条件,则z=x+4y的最大值为5【考试点】7C:简单线性规划【专题】3：数形结合.【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案:：:.未经许可 请勿转载【解答】解：由约束条件作出可行域如此图,联立，解得C1，1化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得.由图可知,当直线过C点时,直线在y轴上的截距最

16、大，z最大.此时zmax=+4.故答案:为：5.【点评】此题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法,是中档题 165分直线1和2是圆x2y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为1，3，则l与l2的夹角的正切值等于.未经许可 请勿转载【考试点】IV:两直线的夹角与到角问题【专题】5B：直线与圆【分析】设l1与l的夹角为,由于1与l的交点A1，3在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sn=的值,可得cos、tn的值,再根据tan2=，计算求得结果未经许可 请勿转载【解答】解：设1与l2的夹角为，由于l1与l2的交点A1,3在圆的外部，且点A与圆心之间的距离为=，圆的半径为=，sin=,

17、cos=,tan=,tn2=,故答案:为：【点评】此题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系,同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用,属于中档题.未经许可 请勿转载三、解答题171分数列n满足1=1，a2，an22n+1an2.设bn=an+1an，证明bn是等差数列；求n的通项公式.【考试点】83：等差数列的性质；84:等差数列的通项公式；8H：数列递推式.【专题】54：等差数列与等比数列.【分析】将a+2=n+1a+变形为：an+2a+=an+an2，再由条件得bn+1=bn+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明bn是等差数列;未经许可 请勿转载由和等差数列的通项

18、公式求出bn,代入bna+n并令从开始取值，依次得n个式子，然后相加,利用等差数列的前项和公式求出a的通项公式an未经许可 请勿转载【解答】解：由an+2=an+an2得，n+an+1=n1a+2,由bn=nn得，bn+=bn+2,即b1bn=，又b1=a2a=1，所以bn是首项为,公差为2的等差数列.由得,bn=12n12n，由bn=an+1an得，an12n1，则a2a1=1,aa=3，a4a35，,nan2n11,所以，aa1=1+3+5+11=n,又a1=1,所以an的通项公式an=n12+122n+2【点评】此题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和

19、转化思想，属于中档题.未经许可 请勿转载18.12分BC的内角、B、C的对边分别为a、b、,已经知道cosC=2ccos,taA=，求B.未经许可 请勿转载【考试点】：三角函数中的恒等变换应用；HP:正弦定理【专题】58:解三角形【分析】由3aoC2ccosA，利用正弦定理可得3siAcosC=2snCcos，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tnB=an+C=ta+即可得出.未经许可 请勿转载【解答】解:3os=2ccos，由正弦定理可得3sinAcos2sinCco，3anA=2anC,tanA=，2nC3=1，解得tanC=.tan=an+CtanAC=，B0，B=【点评】

20、此题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题未经许可 请勿转载191分如此图,三棱柱ACAB1C1中，点A1在平面AB内的射影D在AC上，AC=90,BC=1,A=CC1=2未经许可 请勿转载证明:ACA1B；设直线AA与平面BC1B1的距离为，求二面角A1ABC的大小【考试点】W：直线与平面垂直;MJ:二面角的平面角及求法【专题】5：空间位置关系与距离.【分析】由已经知道数据结合线面垂直的判定和性质可得；作辅助线可证AFD为二面角AC的平面角,解三角形由反三角函数可得【解答】解：1平面BC,D平面C1

21、C,平面A11C平面ABC,又BCABC平面A1C1C,连结1C,由侧面AA1C1为菱形可得1A，又CC,A1BC=C,1平面，AB1平面A1BC，A11B；BC平面AA1CC,BC平面BCCB1,平面AAC1C平面BC11，作ACC1,为垂足,可得A1E平面BCCB1，又直线AA1平面CCB1,A1E为直线1与平面CC1的距离，即A=，AC为ACC1的平分线，1DA1E=，作B,F为垂足，连结A1F，又可得BAD,AA1D=A1,B平面A1DF，1F平面A1FA1FAB,1FD为二面角A1AB的平面角,由AD=1可知D为A中点，DF=,tanA1D=,二面角ABC的大小为arcta【点评】此

22、题考查二面角的求解,作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题 212分设每个工作日甲,乙,丙,丁4人需使用某种设备的概率分别为0.,05,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立未经许可 请勿转载求同一工作日至少3人需使用设备的概率;实验室计划购买台设备供甲,乙,丙,丁使用,若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k的概率小于0.1，求k的最小值未经许可 请勿转载【考试点】8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.【专题】5I:概率与统计【分析】把个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加,即得所求.由可得若=2,不满足条件.若k=3,求得“同一工作日需使用设备的

23、人数大于的概率为0.60.1,满足条件，从而得出结论未经许可 请勿转载【解答】解：由题意可得“同一工作日至少人需使用设备的概率为.6050.50.4+10.0.5.0.4+.61.5054+0.6.510.500.05.510=0.31.未经许可 请勿转载由可得若=2，则“同一工作日需使用设备的人数大于的概率为0.10,不满足条件.未经许可 请勿转载若k=3,则“同一工作日需使用设备的人数大于3的概率为.60.50.504060时,fx在区间1,2是增函数,当0时，f在区间1,2是增函数，推出10且f20，即可求的取值范围未经许可 请勿转载【解答】解：函数x=ax3x2+3x,fx=3ax2+

24、6x+3，令fx=0，即ax2+6x+3=,则=31,若a1时,则0,fx,fx在R上是增函数；因为0，a1且a0时，0,fx=0方程有两个根,x1=,x2,当0a0，x0时，fx=3x+6x+3故a0时，x在区间1，是增函数,未经许可 请勿转载当a0的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且QF|=|PQ|未经许可 请勿转载求C的方程;过的直线l与C相交于A、B两点，若的垂直平分线l与C相交于、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程未经许可 请勿转载【考试点】H:直线与圆锥曲线的综合【专题】5：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】设点Q的坐标为x，,把点Q的坐标代入抛物线

25、C的方程,求得0=，根据|QF=|PQ|求得 的值，可得C的方程.未经许可 请勿转载设的方程为 x=my+1 m0,代入抛物线方程化简,利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|A.把直线l的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|由于MN垂直平分线段B,故MBN四点共圆等价于|=|E=|MN|，由此求得m的值，可得直线的方程未经许可 请勿转载【解答】解：设点的坐标为,4，把点Q的坐标代入抛物线：y22xp0,可得x，点P0，4,|PQ=又|F|=x0+=，QF|=|P|，,求得 p=，或 p=2舍去.故的方程为 2=4由题意可得，直线l和坐标轴不垂直,2=4x的焦点F1，0

26、，设l的方程为 x=my1m0，代入抛物线方程可得2my4=0，显然判别式=16m26，y1+y4m，y1y2=未经许可 请勿转载A的中点坐标为D2m2+1,2,弦长|A|=|y2|=4m2+.又直线l的斜率为m，直线l的方程为x=2m2+3.过F的直线l与C相交于、B两点，若AB的垂直平分线l与相交于M、N两点,把线l的方程代入抛物线方程可得 yy42m+=0,y3+4=,y34=+3未经许可 请勿转载故线段MN的中点E的坐标为+22+3，MN|=4|，N垂直平分线段A,故AMN四点共圆等价于|=BE=|N|,+DE2=MN,4m2+2 +=,化简可得 m21=0,m=1，直线l的方程为 y1=0，或 y.【点评】此题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题未经许可 请勿转载 未经允许 请勿转载