反常积分与含参变量的积分.ppt

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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页第十二章第十二章 反常积分与含参变量的积分反常积分与含参变量的积分12.1 无穷无穷积分积分12.2 瑕积分瑕积分12.3 含参变量的积分含参变量的积分返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页第一节第一节 无穷无穷积分积分&无穷积分收敛与发散的概念无穷积分收敛与发散的概念&无穷积分与级数无穷积分与级数&无穷积分的性质无穷积分的性质&无穷积分的敛散性判别法无穷积分的敛散性判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页类似定义类似定义返回返回返回

2、返回后页后页后页后页前页前页前页前页注：注：若若 f(x)的原函数为的原函数为 F(x),无穷积分的无穷积分的牛顿牛顿莱布尼兹莱布尼兹公式写作公式写作返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由函数极限的柯西准则由函数极限的柯西准则，得，得定理定理 11.1（Cauchy准则）准则）二二、无穷积分的性质、无穷积分的性质返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页性质性质1 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页性质性质2 若若f在任何有限区间在任何有限区间a,u上可积，上可积，a1时，时，由比较由比较判别法判别法请同学记忆

3、本题结果。请同学记忆本题结果。返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由狄利克雷（由狄利克雷（Dirichlet)判别法，判别法，返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例3 证明下列无穷积分都是条件收敛的：证明下列无穷积分都是条件收敛的：解解由例由例1，得条件收敛。，得条件收敛。由（由（1），得条件收敛。），得条件收敛。返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 作作 业业P275.3 4（2、4、6）5（2、3）返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页第二节第二节 瑕积分瑕积分&瑕积分收敛与发散的概念瑕积分收敛与发散的概念&瑕积分敛散性判别法瑕积分敛散性判别

4、法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 一、无界函数的广义积分一、无界函数的广义积分-瑕积分瑕积分返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义中定义中c为为瑕点瑕点，以上积分称为，以上积分称为瑕积分瑕积分.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注意注意 广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕遇到有限区

5、间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。点。广义积分中广义积分中的的N-L公式，换元积分公式、公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。代入的是极限值。返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页如如 无穷限积分无穷限积分再如再如 瑕积分瑕积分返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页瑕积分和无穷积分之间的关系式瑕积分和无穷积分之间的关系式-可以相互转化可以相互转化返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、二、瑕积分的性质与收敛判别法瑕积分的性质与收敛判别法一一 瑕积分的性质瑕积分的性质假设假设为函数为函

6、数的瑕点的瑕点.瑕积的柯西收敛准则瑕积的柯西收敛准则:定理定理11.1收敛收敛即即定理定理11.5收敛收敛返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页性质性质1 1 若若和和都收敛都收敛,为常数为常数,则则也收敛也收敛,且且性质性质1 1 若若和和都收敛都收敛,为常数为常数,则则也收敛也收敛,且且返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页性质性质2 2 若若在任何有限区间在任何有限区间上可积上可积,则则与与同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散,且有且有性质性质2 2 若若为为的瑕点的瑕点,则则与与同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散,且有且有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前

7、页前页性质性质3 3 若若在任何有限区间在任何有限区间上可积上可积,且有且有收敛收敛,则则亦必收敛亦必收敛,并有并有性质性质3 3 若若在任何有限区间在任何有限区间上可积上可积,且有且有收敛收敛,则则亦必收敛亦必收敛,并有并有绝对收敛的瑕积分绝对收敛的瑕积分,它自身也一定收敛它自身也一定收敛.但是它的逆命题一般不成立但是它的逆命题一般不成立.称收敛而不绝对收敛者为条件收敛称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二二 比较判别法比较判别法定理定理11112(2(比较法则比较法则)设定义在设定义在上的两个函数上的两个函数和和都在任何有限区间都在任何有限区间上

8、可积上可积,且满足且满足则当则当收敛时收敛时收敛收敛.(或者或者,当当发散时发散时,必发散必发散).).定理定理11116(6(比较法则比较法则)设设同为两个函数同为两个函数和和的瑕点的瑕点,且在任何区间且在任何区间上可积上可积,且满足且满足则当则当收敛时收敛时收敛收敛.(或者或者,当当发散时发散时,必发散必发散).).返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页推论推论1 1 设设定义于定义于且在任何有限区间且在任何有限区间上可积，则有上可积，则有:(i)(i)当当且且时时收敛收敛;(ii)(ii)当当且且时时发散发散.推论推论1 1 设设定义于定义于且在任何有限区间且在任何有限区间上可

9、积，则有上可积，则有:(i)(i)当当且且时时收敛收敛;(ii)(ii)当当且且时时发散发散.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页比较法则的极限形式比较法则的极限形式推论推论2 2若若和和都在任何都在任何上可积上可积,且且则有则有:(i)(i)当当时时,与与同敛态同敛态;(ii)(ii)当当时，由时，由收敛可推知收敛可推知也收敛也收敛;(iii)(iii)当当时，由时，由发散可推知发散可推知也发散也发散.推论推论2 2若若且且则有则有:(i)(i)当当时时,与与同敛态同敛态;(ii)(ii)当当时，由时，由收敛可推知收敛可推知也收敛也收敛;(iii)(iii)当当时，由时，由发散可

10、推知发散可推知也发散也发散.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页柯西判别法柯西判别法选用选用作为比较对象作为比较对象推论推论3 3 设设定义于定义于且在任何有限区间且在任何有限区间上可积上可积,且且则有则有:(i)(i)当当时时,收敛收敛;(ii)(ii)当当时时,发散发散.推论推论3 3 设设定义于定义于且在任何有限区间且在任何有限区间上可积上可积,且且则有则有:(i)(i)当当时时,收敛收敛;(ii)(ii)当当时时,发散发散.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 1 讨论下列瑕积分的收敛性讨论下列瑕积分的收敛性:2)2)2)2)瑕点为瑕点为又又故故 发散发散

11、.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 判别一般瑕积分收敛时判别一般瑕积分收敛时,也有相应的狄利克雷判别也有相应的狄利克雷判别狄利克雷判别法狄利克雷判别法 阿贝尔（阿贝尔（Abel）判别法）判别法 若若 在上有界，在上有界，则收敛则收敛若以若以a为瑕点的瑕积分收敛，为瑕点的瑕积分收敛，收敛收敛只叙述如下只叙述如下由于证明与无穷积分的类似，由于证明与无穷积分的类似，法与阿贝尔判别法法与阿贝尔判别法.故在此故在此当当时时,单调趋于单调趋于,在在 上单调上单调有界，有界，则则 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返

12、回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页首页首页含参量积分：称为格马(Gamma)函数（写作函数）.它们在应用中经常出现，统称为欧拉积分，称为贝塔(Beta)函数（写作B函数）.下面分别讨论这两个函数的收敛域四四 函数与函数与函数函数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页首页首页1、函数1.积分区间为无穷;特点:函数2.当 s-1 0 时，x=0 为瑕点;写函数为如下两个积分之和：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页首页首页当 s 1 时，为正常积分，当 0 s 0 时收敛.即函数的定义域为 s 0 对任何实数 s，都是收敛的，特别当 s 0 时收敛.返回返回返回返

13、回后页后页后页后页前页前页前页前页2、B函数首页首页当 p 1 时，I(p,q)为正常积分，当 0 p 1时收敛.当 q 1 时，J(p,q)为正常积分，当 0 q 0,q 0 时,B(p,q)收敛.即B(p,q)函数的定义域为 p 0,q 0返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页第第三三节节 含参量积分含参量积分&含参量有限积分含参量有限积分&含参量的无限积分含参量的无限积分返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1 含参量正常积分 对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分,它可用来构造新的非初等函数.含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.一、含参量

14、正常积分的定义 返回返回返回返回五、例题 四、含参量正常积分的可积性 三、含参量正常积分的可微性 二、含参量正常积分的连续性 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、含参量正常积分的定义设设是定是定义义在矩形区域在矩形区域上的上的 定定义义在在上以上以 y 为为自自变变量的一元函数量的一元函数.倘若倘若这时这时 在在上可上可积积,则则其其积积分分值值 是定是定义义在在 上的函数上的函数.一般地一般地,设设 为为定定义义在区域在区域二元函数二元函数.当当 x取取上的定上的定值时值时,函数函数 是是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页上的二元函数上的二元函数,其中其中c(x

15、),d(x)为为定定义义在在上的上的连连续续函数函数(图图19-1),19-1),若若对对于于上每一固定的上每一固定的 x 值值,作作为为 y 的函的函 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页数在数在闭闭区区间间 上可上可积积,则则其其积积分分值值 是定是定义义在在 上的函数上的函数.用用积积分形式分形式(1)和和(2)所定所定义义的的这这函数函数 与与通称通称为为定定义义在在 上的含参量上的含参量 x 的的(正常正常)积积分分,或或简简称称为为含参量含参量积积分分.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、含参量正常积分的连续性定理定理19.1()若二元函数若二元函数在矩

16、在矩 形区域形区域 上上连续连续,则则函数函数在在 a,b上上连续连续.证证 设设 对对充分小的充分小的(若若 x 为为区区间间的端点的端点,则仅则仅考考虑虑 ),于是于是 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由于由于 在有界在有界闭闭区域区域 R上上连续连续,从而一致从而一致连续连续,即即对对任意任意总总存在存在对对R内任意两点内任意两点 只要只要就有就有 所以由所以由(3),(4)可得可得,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页即即 I(x)在在 上上连续连续.同理可同理可证证:若若在矩形区域在矩形区域 R上上连续连续,则则含参含参 量量 的的积积分分 在在c,d 上

17、上连续连续.注注1 对对于定理于定理19.1的的结论结论也可以写成如下的形式也可以写成如下的形式:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页若若在矩形区域在矩形区域 R 上上连续连续,则对则对任何任何 都有都有 这这个个结论结论表明表明,定定义义在矩形区域上的在矩形区域上的连续连续函数函数,其极其极限运算与限运算与积积分运算的分运算的顺顺序是可以交序是可以交换换的的.为为任意区任意区间间.注注2 由于由于连续连续性是局部性性是局部性质质,定理定理19.1中条件中条件返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理19.2()若二元函数若二元函数在区在区 域域上上连续连续,其其 中

18、中c(x),d(x)为为 上的上的连续连续函数函数,则则函数函数 在在上上连续连续.证证 对积对积分分(6)用用换换元元积积分法分法,令令 当当 y 在在c(x)与与d(x)之之间间取取值时值时,t 在在 0,1 上取上取值值,且且 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以从所以从(6)式可得式可得 由于被由于被积积函数函数 在矩形区域在矩形区域 上上连续连续,由定理由定理19.1得得积积分分 (6)所确定的函数所确定的函数 F(x)在在a,b连续连续.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、含参量正常积分的可微性定理定理19.3()若函数若函数 与其偏与其偏导导 数数

19、都在矩形区域都在矩形区域 上上连续连续,则则函数函数 在在上可微上可微,且且返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 对对于于 内任意一点内任意一点x,设设(若若 x为为 区区间间的端点的端点,则讨论单侧则讨论单侧函数函数),则则 由微分学的拉格朗日中由微分学的拉格朗日中值值定理及定理及 在有界在有界闭闭 域域 R上上连续连续(从而一致从而一致连续连续),),对对 只要只要 就有就有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这这就就证证明了明了对对一切一切 有有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页上上连续连续,c(x),d(x)为为定定义义在在上上 定理定理19.

20、4(的可微性的可微性)设设在在 其其值值含于含于 p,q内的可微函数内的可微函数,则则函数函数在在上可微上可微,且且返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 把把 F(x)看作复合函数看作复合函数:由复合函数求由复合函数求导导法法则则及及变动变动上限上限积积分的性分的性质质,有有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 由于可微性也是局部性由于可微性也是局部性质质,定理定理19.3 中条件中条件 f 与与 其中其中 为为任意区任意区间间.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页四、含参量正常积分的可积性由定理由定理19.1与定理与定理19.2推得推得:定理定理

21、19.5()若若在矩形区域在矩形区域 上上连续连续,则则 I(x)与与 J(x)分分别别在在和和上可上可积积.这这就是就是说说:在在连续连续性假性假设设下下,同同时时存在两个存在两个求求积顺积顺序不同的序不同的积积分分:与与 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为书为书写写简简便起便起见见,今后将上述两个今后将上述两个积积分写作分写作 与与 前者表示前者表示先先对对 y 求求积积然后然后对对 x 求求积积,后者后者则则表示求表示求积顺积顺序相反序相反.它它们统们统称称为为累次累次积积分分.在在连续连续性假性假设设下下,累次累次积积分与求分与求积顺积顺序无关序无关.定理定理19.6

22、若若在矩形区域在矩形区域上上 连续连续,则则 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 记记 其中其中对对于于 则则有有因因为为 与与都在都在R上上连续连续,由由 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理19.3,故得故得 因此因此对对一切一切 有有 当当 时时,即得即得取取 就得到所要就得到所要证证明的明的(8)式式.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例5 求求解解 因因为为又由于函数又由于函数上上满满足定理足定理19.6 的的 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页条件条件,所以交所以交换积换积分分顺顺序得到序得到返回返回返回返回后页后

23、页后页后页前页前页前页前页首页首页例例7解解:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题1.参照定理参照定理19.1的的证证明明,定理定理19.1中条件是否可减中条件是否可减 弱弱为为:(1)(1)则则(2)验证验证你的你的结论结论.2.若若 在在上一致上一致连续连续,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页能否推得能否推得在在上一致上一致连续连续?2 含参量反常积分含参量反常积分设设 是定义在无界区域是定义在无界区域 上上,若对每一个固定的若对每一个固定的 ,反常积分反常积分 都收敛都收敛,则它的值是则它的值是 在区间在区间 上取值的函数上取值的函数,表为表为 称为定

24、义在称为定义在 上的含参量上的含参量 的无穷限反常积分的无穷限反常积分,或或 简称为含参量反常积分简称为含参量反常积分.由反常积分收敛的定义由反常积分收敛的定义其中其中 N 与与 x 有关有关.如果存在一个与如果存在一个与无关的无关的使得该不等式成立，就称使得该不等式成立，就称反常积反常积分在区间分在区间 a,b 上一致收敛上一致收敛使得使得对于含参量反常积分对于含参量反常积分 和函数和函数 则称含参量反常积分则称含参量反常积分 在在 上一致收敛于上一致收敛于 .返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注1 由定由定义义,在在 上一致收上一致收敛敛的的 充要条件是充要条件是 注注2

25、由定由定义义,在在 上不一致收上不一致收敛敛 的充要条件是的充要条件是 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 讨论讨论含参量反常含参量反常积积分分 的一致收的一致收敛敛性性.解解 若若则则 于是于是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此因此,含参量含参量积积分在分在上非一致收上非一致收敛敛.而而因此因此,含参量含参量积积分在分在上一致收上一致收敛敛.一致收敛的柯西准则一致收敛的柯西准则:含参量反常积分含参量反常积分 在在 上一致收敛的充要上一致收敛的充要u 一致收敛的充要条件;含参量反常积分含参量反常积分 在在 上一致收敛的充要上一致收敛的充要条件是条件是:对任

26、一趋于对任一趋于 的递增数列的递增数列 (其中其中 ),函数函数项级数项级数 在在 一致收敛一致收敛.魏尔斯特拉斯（魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法）判别法若一致收敛。证明证明因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有且 收敛，则 关于从而所以 关于一致收敛。证证 因为，有因为，有并且反常积分并且反常积分收敛收敛所以所以u 狄利克雷判别法;证证 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是于是,由由积积分第二中分第二中值值定理，定理，由一致收由一致收敛敛的柯西准的柯西准则则,在在上一致收上一致收敛敛.u 阿贝尔判别法;证证 因为，反常积分因为，反常积分收敛，收敛，从而

27、对于参量从而对于参量 y 它在它在 0,d 上一致收敛，上一致收敛，函数函数对每个对每个 y，关于变量，关于变量 x 单调减少，且在单调减少，且在 0,d 上一致有界：上一致有界：故由阿贝尔判别法，知故由阿贝尔判别法，知在在 0,d 上一致收敛上一致收敛1.连续性定理设 在 上连续，关于 在 上一致收敛，则一元函数 在 上连续。证明证明因为 在 内一致收敛，所以因此，当 时，又 在 上连续，所以作为 的函数在 连续，于是从而，当 时，有定理证毕。2.积分顺序交换定理设 在 上连续，关于在 上一致收敛，则 在可积，并且3.积分号下求导的定理设 在 上连续，收敛，关于 在 上一致收敛，则在 可导，

28、且证明证明因为 在 连续，由连续性定理在 连续，沿区间 积分 ，由积分顺序交换定理，得到在上式两端对 求导，得定理证毕。连续性连续性即:可微性可微性可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算可以交换.即 可积性可积性表明在一致收敛的条件下,积分可交换顺序返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(2),含参量反常积分一致收敛的定义;(1),含参量反常积分的定义;(3),含参量反常积分一致收敛的判别;一致收敛的柯西准则:一致收敛的充要条件;魏尔斯特拉斯M判别法;阿贝耳判别法;狄利克雷判别法;(4),含参量反常积分的性质;(i),连续性;(ii),可微性;(iii),可积性;返回返回返回

29、返回后页后页后页后页前页前页前页前页3 欧 拉 积 分 在本节中我们将讨论由含参量反常积分 定义的两个很重要的非初等函数 一、函数函数二、返回返回返回返回函数和 函数.三、函数与函数之间的关系 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一 函 数 含参量积分：含参量积分：称为格马函数称为格马函数.函数可以写成如下两个函数可以写成如下两个积积分之和：分之和：其中其中时时是正常是正常积积分分,当当时时是收是收敛敛 的无界函数反常的无界函数反常积积分分(可用柯西判可用柯西判别别法推得法推得);返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页时时是收是收敛敛的无的无穷穷限反常限反常积积分分(也可

30、用柯西也可用柯西 判判别别法推得法推得).所以含参量所以含参量积积分分(1 1)在在时时收收敛敛,即即函数的定函数的定义义域域为为 .1.在定在定义义域域 内内连续连续且有任意且有任意阶导阶导数数 在任何在任何闭闭区区间间 上上,对对于函数于函数 当当 时时有有 由于由于 收收 敛敛,从而从而 在在 上也一致收上也一致收敛敛,对对于于 当当 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 上上连续连续.用上述相同的方法考察用上述相同的方法考察积积分分它在任何区它在任何区间间 上一致收上一致收敛敛.于是由定理于是由定理 19.10得到得到 在在 上可上可导导,由由a,b的任意性的任意性,时时,

31、有有由于由于 在在收收敛敛,从而从而 在在上也一致收上也一致收敛敛,于是于是 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页同理可同理可证证 2.递递推公式推公式 对对下述下述积积分分应应用分部用分部积积分法分法,有有 在在 上可上可导导,且且返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页让让就得到就得到 的的递递推公式推公式:设设应应用用递递推公式推公式(3)n次次 可以得到可以得到 公式公式(3)还还指出指出,如果已知如果已知 在在上的上的值值,那那返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页么么在其他范在其他范围围内的函数内的函数值值可由它可由它计计算出来算出来.若若s为为正整数

32、正整数n+1,则则(4)式可写成式可写成 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、B 函 数 含参量含参量积积分分：称称为贝为贝塔塔(Beta)函数函数(或写作或写作 B 函数函数).注注 与前与前讨论讨论的的单单参参变变量的含参数量的含参数积积分不同分不同,B 函数函数 是含两元的含参量是含两元的含参量积积分，但分，但讨论讨论的步的步骤骤与方法是完与方法是完 全全类类似的似的.B 函数函数(2)当当 时时,是以是以 为为瑕点的无界函数瑕点的无界函数 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页反常反常积积分分;当当 时时,是以是以 为为瑕点的无界函数瑕点的无界函数 反常反常积

33、积分分.应应用柯西判用柯西判别别法可法可证证得当得当 时时 这这两个无界函数反常两个无界函数反常积积分都收分都收敛敛.所以函数所以函数 的定的定义义域域为为 1.在定在定义义域域 内内连续连续 由于由于对对任何任何 成立不等式成立不等式 而而积积分分收收敛敛,故由故由 M 判判别别法知法知 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在上一致收上一致收敛敛.因因而推得而推得 在在内内连续连续.2.对对称称 性性 作作变变 换换 得得3.递递推公式推公式 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、函数与函数之间的关系 当当为为正数正数时时,反复反复应应用用 B 函数的递推公式函数

34、的递推公式,可得可得 又由于又由于 所以所以 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页即即 对对任何正任何正实实数数 p,q 也有相同的关系也有相同的关系:这这个关系式将在第二十一章个关系式将在第二十一章8 中加以中加以证证明明.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题1.若若是定是定义义 在在 的函数的函数,试试定定义义含参量含参量积积 分分 的一致收的一致收敛敛性性.2.若若是定是定义义 在在 的函数的函数,试试推广含参量推广含参量积积分分 一致收一致收敛敛性的性的 M 判判别别法法.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页函数函数,若含参量若含参量积积分分为为一致收一致收敛敛,试证试证在在 上上连续连续.3.若若是定是定义义在在的的连续连续