多元微分学几何应用.ppt

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1、第五节第五节多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用一、空间一、空间曲线曲线的切线与法平面的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 复习复习:平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线已知平面光滑曲线切线方程切线方程法线方程法线方程若平面光滑曲线方程为若平面光滑曲线方程为故在点故在点切线方程切线方程法线方程法线方程在点在点有有有有因因 一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法位置位置.空间光滑曲线在点空间光滑曲线在点 M 处的处的切线切线为此点处割线的极限为此点

2、处割线的极限平面平面.1.曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况切线方程切线方程此处要求此处要求也是法平面的法向量也是法平面的法向量,切线的方向向量切线的方向向量:称为曲线的称为曲线的切向量切向量.不全为不全为0,因此得因此得法平面方程法平面方程 说明说明:若引进向量若引进向量(矢径）函数矢径）函数 ，则则 为为 r(t)的矢端曲线的矢端曲线,处的导向量处的导向量 就是该点的切向量就是该点的切向量.(切矢指向切矢指向t增大方向增大方向)空间曲线方程为空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为特殊地：特殊地：解解切线方程切线方程法平面方程法平面方程例例2.求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线 对应点处

3、的切线方程和法平面方程对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程切线方程法平面方程法平面方程即即即即解解:由于由于对应的切向量为对应的切向量为在在,故故2.曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线光滑曲线当当,且有且有时时,可表示为可表示为处的切向量为处的切向量为 则在点则在点切线方程切线方程法平面方程法平面方程有有或或例例3.求曲线求曲线在点在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程.切线方程切线方程解法解法1 令令则则即即切向量切向量法平面方程法平面方程即即解法解法2.方程组两边对方程组两边对 x 求导求导,得得曲线在点曲线在点 M(1,2,1)处有处有:切向量

4、切向量解得解得切线方程切线方程即即法平面方程法平面方程即即点点 M(1,2,1)处的处的切向切向量量另法另法:求曲求曲线线在点在点(1,1,1)的切线的切线解解:点点(1,1,1)处两曲面的法向量处两曲面的法向量为为因此切线的方向向量为因此切线的方向向量为由此得切线由此得切线:法平面法平面:即即与法平面与法平面.二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设设 有有光滑曲面光滑曲面通过其上定点通过其上定点对应点对应点 M,切线方程为切线方程为不全为不全为0.则则 在在且且点点 M 的的切向量切向量为为任意任意引一条光滑曲线引一条光滑曲线下面证明下面证明:此平面称为此平面称为 在该点的在该点的

5、切平面切平面.上过点上过点 M 的任何曲线在该点的切线都的任何曲线在该点的切线都在同一平面上在同一平面上.证证:在在 上上,得得令令由于曲线由于曲线 的任意性的任意性,表明这些切线都在以表明这些切线都在以为法向量为法向量的平面上的平面上,从而切平面存在从而切平面存在.曲面曲面 在点在点 M 的的法向量法向量法线方程法线方程切平面方程切平面方程曲面曲面时时,则在点则在点故当函数故当函数 法线方程法线方程令令特别特别,当光滑曲面当光滑曲面 的方程为显式的方程为显式 在点在点有连续偏导数时有连续偏导数时,切平面方程切平面方程（由此可知全微分的几何意义）（由此可知全微分的几何意义）例例4.求球面求球面

6、在点在点(1,2,3)处的处的切切平面及法线方程平面及法线方程.解解:所以球面在点所以球面在点(1,2,3)处有处有:切平面方程切平面方程 即即法线方程法线方程法向量法向量令令解解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为解解 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，所求切点为所求切点为满足方程满足方程切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)1.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程切线方

7、程法平面方程法平面方程1)参数式情况参数式情况.空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量内容小结内容小结切线方程切线方程法平面方程法平面方程空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量2)一般式情况一般式情况.空间光滑曲面空间光滑曲面曲面曲面 在点在点法线方程法线方程1)隐式情况隐式情况.的的法向量法向量切平面方程切平面方程2.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线空间光滑曲面空间光滑曲面切平面方程切平面方程法线方程法线方程2)显式情况显式情况.法线的法线的方向余弦方向余弦法向量法向量思考题思考题思考题解答思考题解答设切点设切点依题意知切向量为依题意知切向量为切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程练练 习习 题题练习题答案练习题答案法向量法向量用用将将法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角表示法向量的方向角,并假定法向量方向并假定法向量方向分别记为分别记为则则向上向上,