复合函数与隐函数微分.ppt

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1、73多元复合函数微分法多元复合函数微分法 一多元复合函数微分法一多元复合函数微分法 （多元复合函数求导法则）（多元复合函数求导法则）1多元复合函数多元复合函数 若若 z=f(u,v),u=z=f(u,v),u=(x,y),v=(x,y),v=(x,y)(x,y)，则称则称z z为为x,yx,y的的复合函数复合函数 z=f z=f(x,y),(x,y),(x,y)(x,y)例如：例如：z=ez=eu usinv u=xy v=x+ysinv u=xy v=x+y 则函数则函数z=ez=exyxysin(x+y)sin(x+y)是是x,yx,y的复合函数的复合函数推广：推广：z=f(u,v,w),

2、u=z=f(u,v,w),u=(x,y),v=(x,y),v=(x,y)(x,y)，w=w=(x,y)(x,y)z=f z=f(x,y),(x,y),(x,y),(x,y),(x,y)(x,y)2.2.多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则 例例1 设z=ez=eu u sinv sinv 而u=xy,v=x+y u=xy,v=x+y 求 和 解：解：注记注记：例例1的解法是将的解法是将u,vu,v代入代入f(u,v)f(u,v)，再按一元复再按一元复 合函数求导法则分别求合函数求导法则分别求 ，。以下我们给出直接从函数以下我们给出直接从函数f(u,v)f(u,v)的偏导数的偏导数 ，及及(

3、x,y),x,y),(x,y)(x,y)的偏导数的偏导数 ，求求 ，的公式的公式。定理定理（链式法则链式法则）：若若 函数函数u=u=(x,y),v=(x,y),v=(x,y)(x,y)在点在点(x,y)x,y)有偏导数；有偏导数；函数函数z=f(u,v)z=f(u,v)在对应点在对应点(u,v)u,v)可微。可微。则则 复合函数复合函数 z=fz=f(x,y),(x,y),(x,y)(x,y)在点在点 (x,y)x,y)有对有对x,yx,y的偏导数，且的偏导数，且证明：证明：设设 x x：xx+xx+x x；y y不变不变 则则 u u：uu+uu+u u；v v：vv+vv+v v 进而进

4、而 z:zz+z:zz+z z 由于由于z=f(u,v)z=f(u,v)在在(u,v)u,v)可微可微,即有即有 z=dz+o(z=dz+o()=)=上式除以上式除以 x x，得得 两端取极限（当两端取极限（当 xx0 0时），就得时），就得 同理同理例例1 z=ez=eu u sinv u=xy v=x+ysinv u=xy v=x+y 解：解：注记：注记：当当则则当当则则 式(3)、(4)可以推广到有三个以上的中 间变量、两个以上自变量的情形；式(5)、(6)可以推广到有一个以上的中 间变量、两个以上自变量的情形；式(7)可以推广到有两个以上的中间变 量的情形。例例2 求偏导数求偏导数 设

5、设 z=e z=e u usinv u=x+y v=x-ysinv u=x+y v=x-y 则则解解：求求求求解：解：设设 Q=f(u,v,w)u=x v=xy w=xyz Q=f(u,v,w)u=x v=xy w=xyz 则则例例3 求导数求导数 设设 求求 解解设设 解：解：例例4 设设f(x,y)f(x,y)为为k k次齐次函数且可微，验证公式次齐次函数且可微，验证公式 齐次函数的齐次函数的Euler 公式公式 解：解：由已知得由已知得 对对 求导，得求导，得 上式对任意的上式对任意的 0 0都成立，特别地当都成立，特别地当 =1=1时也成立，时也成立，即即例例5 设设 ，其中，其中F

6、F可微，试证可微，试证注记注记：求多元复合函数的偏导数应注意到：求多元复合函数的偏导数应注意到：必须必须严格分清自变量严格分清自变量与与中间变量中间变量，及其关系；，及其关系；求对某个自变量的偏导数时，应经过一切有求对某个自变量的偏导数时，应经过一切有 关的中间变量（纵向的和横向的）最后归结关的中间变量（纵向的和横向的）最后归结 到自变量；到自变量；有几个中间变量，就应含有几项；有几次复有几个中间变量，就应含有几项；有几次复 合，每项就应有几个因子相乘。合，每项就应有几个因子相乘。3 3一阶全微分形式不变性一阶全微分形式不变性 对于对于 z=f(x,y)z=f(x,y)（1 1）当当x,yx,

7、y是自变量时是自变量时,（2 2）当当x,yx,y是中间变量时，例如是中间变量时，例如 x=x(t,s),y=y(t,s)x=x(t,s),y=y(t,s)时时 (3)(3)比较（比较（*）和（）和（*）知形式不变。）知形式不变。74 隐函数微分法隐函数微分法 1 1一个二元方程的情形一个二元方程的情形 设设 F(x,y)=0 F(x,y)=0 确定确定 y=f(x)y=f(x)的导数的导数 则则 Fx,f(x)=0Fx,f(x)=0 例例6 求求 解：解：2 2一个三元方程的情形一个三元方程的情形 设设 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0 确定确定 z=f(x,y)z=f(x,y)则则 例例7 确定确定z=f(x,y)z=f(x,y)求求解：解：例例8 8 确定函数确定函数 z=f(x,y)z=f(x,y)求求解：解：令令 则则