多元函数的极限及连续性.ppt

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1、多元函数的概念 定义1 设E是平面点集.如果存在对应关系f,使得对任意的 按这个对应关系f,有唯一的实数u与之对应,则称f为定义在E上的二元函数,记为 或称E为函数f 的定义域,x,y称为f 的自变量,u称为f 的因变量,是 f 在点(x,y)所对应的函数值,全体函数值的集合f(E)称为f 的值域.空间点集称为函数 的图形.一般来说它构成一块空间曲面,定义域E就是这块曲面在Oxy平面上的投影.这种曲面的特点是,过定义域每一点平行于z轴的直线只与曲面相交于一点.例1 例2 例3 例4 n元函数 二元函数的极限 定义2 设 在 的某个空心邻域内有定义,A是一个确定的数.若对任给的 存在 使当 时,

2、有则称A是 f 当 时的极限,记为 或等价叙述 当且仅当 使当 或时,有 例1 证明 证:因为 所以于是,取 则当 且 时,就有 又证:因为 所以于是,取 则当 时,例2 证明 证:取 则当 且 时,就有Remark 在极限 的定义中,动点在 中趋向于点 与一元函数f(x)的自变量x在数轴上的变化不同,它可以在区域 内沿着不同的路线(如曲线或直线等)和不同的方式(连续或离散等),从四面八方趋近于 二元函数f(x,y)在点 的极限都是A.例3 设 证明 不存在.证:当动点(x,y)沿直线y=x趋于(0,0)时,有当(x,y)沿抛物线 趋于(0,0)时,有 定义3 设 在 的某个空心邻域内有定义.

3、若对任给 存在 使当 时,有 则称 f 是当 时的正无穷大,记为 或仿此可类似定义 与 例4 设 证明 证:因为对任给正数M,取则当 时,就有从而有故二元函数极限的性质 二元函数极限的运算法则与基本性质(局部有界性,局部保号性,不等式关系等)同一元函数的完全一样.海涅定理 设 在 的某个空心邻域 内有定义,则 的充要条件是对 中任意满足的点列 有二元函数极限的计算 例5 求极限 解:所以,原式=2/1=2.例6 求 解:作极坐标变换 这时 等价于对任何 都有 因此 例7 求 解:由于从而而所以故 例8 设求 解:由于即对任意 有所以于是 例9 求 解:令 则 等价于对任何 都有 不妨限制 因为

4、所以于是,取 则当 时,就有故 累次极限 定义4 设 在 的某个空心邻域内有定义.若对固定的 一元函数极限 存在(y暂看作常数),设又 存在且极限为A,则称A为 在点 的累次极限,记为 类似可以定义 先对y后对x的累次极限 计算累次极限归结为一元函数的极限,因此比较容易,那么计算二元函数的极限是否可归结为求累次极限呢?一般情况下,二者没有关系.例10 两个累次极限存在(且相等),二元函数的极限可能不存在,如在点(0,0).例11 二元函数的极限存在,两个累次极限可能都不存在,如在点(0,0).下述定理告诉我们,二元函数的全面极限与累次极限在一定条件下也是有联系的.定理2 若 (有限或无限),且

5、当 时,则有 证:只证A有限的情形.推论 若 在点 的全面极限和两个累次极限都存在,则三者必相等.例12 二元函数的连续性 定义5 设 在点 的某邻域有定义.若 即 当时,有则称 在点 连续.若 是一开区域,在 的每一点连续,则称 在开区域 上连续.若 是一闭区域,在 的每个内点连续,而对 的任意边界点 在 内当 时的极限值等于点 的函数值,即 当 且 时,有则称 在闭区域 上连续.例13 在(0,0)点连续.例14 在(0,0)点不连续.定理3(连续的四则运算)若 与都在点 连续,则函数 (假定 )也都在点 连续.例15 讨论 的连续性.定理4(复合函数的连续性)设 在点 连续,而 在点连续,则复合函数 在点 连续.