多元函数微分法小结.ppt

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1、1.多元函数的定义、*极限、*连续 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质2.偏导数（*定义、计算、高阶偏导数）3.全微分（*定义、计算、必要条件、充分条件、*方向导数、*梯度）多元函数微分法多元函数微分法连续性 偏导数存在 方向导数存在可微性4.几个基本概念的关系多元函数微分法多元函数微分法*5.多元复合函数的导数（链式规则、全导数）*6.隐函数的导数（一个方程、方程组）*7.多元函数微分法的 应用显示结构隐式结构1.分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量总个数 方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用

2、求导符号3.利用一阶微分形式不变性复合函数与隐函数求导多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用1 1.在几何中的在几何中的应用应用求曲线在切线及法平面(关键:抓住切向量)求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)2.极值与最值问题极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法,拉格朗日乘数法)求解最值问题3.在微分方程变形等中的应用在微分方程变形等中的应用 最小二乘法典型题典型题1.讨论二重极限讨论二重极限是否存在？是否存在？提示提示:利用 故f 在(0,0)连续;知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.2.证明证明:而所以 f 在点(0,0)不可微!3.设其中 f

3、与F分别具解法解法1 方程两边对 x 求导,得有一阶导数或偏导数,求解法解法2 方程两边求微分,得化简消去 即可得4.4.设有二阶连续偏导数,且求解解:5、设求提示提示:利用行列式解出 du,dv：代入即得 代入即得 6.6.在第一卦限作椭球面的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点.解解:设切点为则切平面的法向量为即切平面方程问题归结为求在条件下的条件极值问题.设拉格朗日函数切平面在三坐标轴上的截距为令由实际意义可知为所求切点.唯一驻点上求一点,使该点处的法线垂直于7.在曲面并写出该法线方程；提示提示:设所求点为则法线方程为利用得平面法线垂直于平面点在曲面上和过该点的切平面方程.在点 8.求空间曲线处的切线方程。