多元函数微积分学及应用习题.ppt

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1、目录 上页 下页 返回 结束 第九章 习题课习题课一、一、基本概念基本概念 二、多元函数微分法二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用 多元函数微积分学多元函数微积分学四、重积分计算的基本技巧四、重积分计算的基本技巧目录 上页 下页 返回 结束 一、一、基本概念基本概念连续性 偏导数存在 方向导数存在可微性1.多元函数的定义、极限、连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.讨论二重极限解法解法1解法解法2 令解法解法3 令时,下列算法是否正确是否正确?目录 上

2、页 下页 返回 结束 分析分析:解法1解法2 令此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.此时极限为 1.第二步 未考虑分母变化的所有情况,目录 上页 下页 返回 结束 解法3 令此法忽略了 的任意性,极限不存在!由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点.特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内 r,的变化应该是任意的.同时还可看到,本题极限实际上不存在.目录 上页 下页 返回 结束 提示提示:利用 故 f 在(0,0)连续;知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.2.证明证明:目录 上页 下页

3、 返回 结束 而所以 f 在点(0,0)不可微!目录 上页 下页 返回 结束 例例1.已知求出 的表达式.解法解法1 令即解法解法2 以下与解法1 相同.则且目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数微分法二、多元函数微分法显示结构隐式结构1.分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量总个数 方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设其中 f 与F分别具解法解法1 方程两边对 x 求导,得有一阶导数或偏导数,求(1999 考研)目录 上页 下页 返回

4、 结束 解法解法2 方程两边求微分,得化简消去 即可得目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设有二阶连续偏导数,且求解解:目录 上页 下页 返回 结束 练习题练习题设函数 f 二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数目录 上页 下页 返回 结束 解答提示解答提示:目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用1.极值与最值问题极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法,拉格朗日乘数法)求解最值问题2.在微分方程变形等中的应用在微分方程变形等中的应用目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求旋转抛物面与平面之间的最

5、短距离.解解:设为抛物面上任一点，则 P 的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数到平面目录 上页 下页 返回 结束 令解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在,故目录 上页 下页 返回 结束 四、重积分计算的基本技巧四、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或质心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号目录 上页 下页 返回 结束 例例6.计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解解:(1)利用对称性.围成.目录 上页 下页 返回 结束(2)积分域如图:将D 分为添加辅助线利用对称性,得目录 上页 下页 返回 结束 例例7.计算二重积分在第一象限部分.解解:(1)两部分,则其中D 为圆域把D 分成作辅助线目录 上页 下页 返回 结束(2)提示提示:两部分 说明说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线将D 分成目录 上页 下页 返回 结束 例例8.求抛物线所围区域 D 的面积A.解解:如图所示注注:则也可利用上述方法简化计算.上可积,目录 上页 下页 返回 结束 例例9.交换积分顺序计算解解.积分域如图.