多元函数概念预备知识.ppt

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1、1第第 七七 章章多元函数微分学多元函数微分学2 7.17.1 预备知识本节学习空间解析几何的一些基本知识本节学习空间解析几何的一些基本知识3一、空间直角坐标系与空间的点一、空间直角坐标系与空间的点1 1空间直角坐标系（三维空间）空间直角坐标系（三维空间）右手系右手系 横轴横轴 纵轴纵轴 竖轴竖轴 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴 坐标平面坐标平面 卦限卦限oxyz42 2空间直角坐标系下点的坐标空间直角坐标系下点的坐标M（x,y,z):M (x,y,z)各坐标平面上的点各坐标平面上的点各坐标轴上的点的坐标有何各坐标轴上的点的坐标有何特点特点?oxyzx0Py0QRz0M(x0,y0,z0)53

2、空间中两点间的距离公式 M1（x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)d=M1M2=点 M（x,y,z)到原点o的距离 d=oM=M1M2oxyzoxzyM6二空间曲面与方程1 1曲面方程的概念曲面方程的概念（1）曲面曲面S和方程和方程 F（x,y,z)=0对于曲面方程曲面对于曲面方程曲面S和方程和方程 F（x,y,z)=0若：若：点点M（x,y,z)S F(x,y,z)=0 点点M（x,y,z)S F(x,y,z)0 xyzS.M(x,y,z)o7则称 F(x,y,z)=0是S的方程；S是F(x,y,z)=0的图形(2)关于曲面研究的两个基本问题:已知曲面 建立方程 已知方程 讨论曲面的

3、形状 （截痕法截痕法或称截口法截口法；化为形状 已知的曲面方程）8例如：建立球面的方程 设点A(1,2,3)、B(2,-1,4)求线段AB的垂直平分面的方程 方程 表示怎样的曲面？9解：设球心为 ,半径为R 则 设垂直平分面上的点M(x,y,z)则 球心在(1,-2,0)，半径为 的球面AB。M102常见的空间曲面 平面平面 方程 ax+by+cz=d (a、b、c不全为0）坐标平面的方程：z=0 x0y面 y=0 x0z面 x=0 y0z面oxyz11例如：方程 2x+3y=6 x=A y=B z=C 分别表示什么平面？(三元一次方程三元一次方程 平面平面)oxyzABxyyxzzooCox

4、yz2x+3y=63212 柱面柱面 平行于定直线并沿曲线平行于定直线并沿曲线C（准线准线）移动的直）移动的直 线线L（母线母线）形成的轨迹，称为）形成的轨迹，称为柱面柱面。平面是柱面的特例平面是柱面的特例（当准线为直线）（当准线为直线）CLoxyzS已知直线13例如：方程 都是柱面的方程 RRRzxyxyzoSSSSyzzxy14 二次曲面三元二次方程三元二次方程 二次曲面二次曲面常见的二次曲面：常见的二次曲面：球面球面：oxyzS15椭球面椭球面：oxyzS16单叶双曲面：双叶双曲面：二次锥面：椭圆抛物面：双曲抛物面（马鞍面）：173 3截痕法截痕法 已知 F（x，y，z）=0 研究所表示

5、的曲面的形状常采用截痕法截痕法：用坐标平面和平行于坐标平面的平面去截曲面，考察相截而得到的交线的形状；综合各种情况，描绘出曲面F（x，y，z）=0 的大致形状oxzy 单叶双曲面单叶双曲面S18例2oyzxS 双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）19三三.平面区域的概念平面区域的概念1.1.邻域：邻域：邻域：邻域：2.2.内点：内点：内点：内点：设设设设E E是一点集，是一点集，是一点集，是一点集，P P是一点，若是一点，若是一点，若是一点，若 ，则称则称则称则称P P为为为为E E的内点。的内点。的内点。的内点。.PE203.3.边界点边界点边界点边界点：且且 ；且且 ，则称，则称P P

6、 为为E E的边界点。的边界点。4.4.开集：开集：开集：开集：点集点集点集点集E E的点都是内点，的点都是内点，的点都是内点，的点都是内点，则称点集则称点集则称点集则称点集E E为开集。为开集。为开集。为开集。如如如如:PE12OxyE1.215.5.边界：边界：边界：边界：点集点集E E的边界点的全体称为的边界点的全体称为E E的边界。的边界。如：如：E E1 1的边界是的边界是 和和6.连通区域：连通区域：连通区域：连通区域：对于开集对于开集对于开集对于开集DD，若，若，若，若 ，都可用折线，都可用折线，都可用折线，都可用折线 （属于（属于（属于（属于DD）连结，则称）连结，则称）连结，

7、则称）连结，则称DD是连通集。是连通集。是连通集。是连通集。7.开区域（区域）：开区域（区域）：开区域（区域）：开区域（区域）：连通的开集称为区域或开区域。连通的开集称为区域或开区域。连通的开集称为区域或开区域。连通的开集称为区域或开区域。如：如：及及228 8闭区域闭区域闭区域闭区域：开区域连同它的边界一起，称为闭区域开区域连同它的边界一起，称为闭区域如：如：及及9 9有界点集有界点集有界点集有界点集：设定点设定点设定点设定点A A，点集，点集，点集，点集E E，若，若，若，若 使使使使 ，有有有有 成立，则称成立，则称成立，则称成立，则称E E为为为为有界点集有界点集有界点集有界点集。（否

8、则（否则（否则（否则无界点集无界点集无界点集无界点集）如：如：有界闭区域有界闭区域有界闭区域有界闭区域 无界开区域无界开区域无界开区域无界开区域D D是有界闭域D是无界开域Dxyo23显然：显然：显然：显然：E E的内点是的内点是的内点是的内点是E E的聚点；的聚点；的聚点；的聚点；E E的边界点可能是的边界点可能是的边界点可能是的边界点可能是E E的聚点，例如的聚点，例如的聚点，例如的聚点，例如 ，设设设设 ，则（则（则（则（0 0，0 0）是是是是E E2 2的边界点又是聚点，但的边界点又是聚点，但的边界点又是聚点，但的边界点又是聚点，但(0(0，0)0)E E2 2；而点而点而点而点 是

9、是是是E E2 2的边的边的边的边 界点又是聚点，但界点又是聚点，但界点又是聚点，但界点又是聚点，但(x(x0 0,y,y0 0)E E2 2从而从而从而从而，点集点集点集点集E E E E的聚点可以属于的聚点可以属于的聚点可以属于的聚点可以属于E E E E，也可以不属于，也可以不属于，也可以不属于，也可以不属于E E E E。E21010聚点：聚点：聚点：聚点：对于点对于点P P和点集和点集E E，若，若 内有内有 无无 限多个点属于限多个点属于E E，则称则称P P为为E E的聚的聚 点。点。241111空间：空间：空间：空间：点的集合。点的集合。空空空空 间间间间 点点点点 集集集集

10、合合合合 记记记记 号号号号 一一一一 维维维维 直直直直 线线线线 二二二二 维维维维 平平平平 面面面面 三三三三 维维维维 空空空空 间间间间 n n 维维维维 n n 维空间维空间维空间维空间.251212 n n维空间中两点维空间中两点 P(x P(x 1 1,x,x 2 2,x ,x n n )Q(y Q(y 1 1,y,y 2 2,y ,y n n)间的距离间的距离1313n n维空间中邻域维空间中邻域维空间中邻域维空间中邻域 内点内点内点内点 边界点边界点边界点边界点 区域区域区域区域 聚点聚点聚点聚点 等一系列概念，可类似等一系列概念，可类似等一系列概念，可类似等一系列概念，可类似 1 11010 给出。给出。给出。给出。