多元复合函数求导.ppt

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1、v 多元复合函数求导的多元复合函数求导的 链式法则链式法则第八章第八章 多元函数微分法多元函数微分法 第四节上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 多元复合函数求导多元复合函数求导v 全微分形式不变性全微分形式不变性一元函数一元函数求导：求导：微分：微分：回顾：回顾：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 的复合函数的复合函数一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理.若若续的偏导数续的偏导数,则复合函数则复合函数证明：证明：的导数为的导数为上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 有连有连 可导可导,1.全导数全导数全导数全导数(中间变量为一元函数中间变量为一元函数)

2、设设 t 有增量有增量t,则相应的中间变量则相应的中间变量u，v 有增量有增量u,v：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由于由于 z=f(u,v)有连续的偏导数有连续的偏导数,所以所以z=f(u,v)可微，可微，(t0 时时,根式前加根式前加“”号号)上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由由得得推广推广推广推广设设而而则则2.2.中间变量是多元函数中间变量是多元函数上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 上述求导规则称为上述求导规则称为多元复合函数的链式法则多元复合函数的链式法则.特例特例1.1.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注：注：这里这里与与不同不同:上页上页 下页下页

3、 返回返回 结束结束 特例特例2.2.表示复合函数表示复合函数 固定自变量固定自变量 y，对对表示函数表示函数 固固定中间变量定中间变量 v ，而对中间，而对中间自变量自变量x 求导求导,变量变量 x 求导求导.例例例例1.1.1.1.设设设设解：解：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例2.2.2.2.解：解：，求全导数，求全导数设设上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例3.3.3.3.解：解：设设上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例4.4.4.4.解：解：求导数求导数设设上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 引入中间变量引入中间变量则则例例例例5.5.5.

4、5.设设设设 解：解：设设则则上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解答略。解答略。从而从而为简便起见为简便起见,引入记号引入记号例例例例6.6.6.6.设设设设 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,求求解：解：设设上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则例例例例7.7.7.7.设设设设 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,求求解：解：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例8.8.，求一阶偏导数和，求一阶偏导数和解：解：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、全微分形式的不变性二、全微分形式的不变性设函数设函数 z=f(u,v)可微，可微，若若u、v为自变量，则为自变量，则若若 u、v为中间变量为中间变量:上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 的全微分为的全微分为则复合函数则复合函数证明：证明：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 可见无论可见无论 u,v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,其全微分的其全微分的表达表达形式都一样形式都一样,这一性质称为这一性质称为全微分形式的不变性全微分形式的不变性.例例9 9.利用全微分形式不变性求函数利用全微分形式不变性求函数解：解：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 的偏导的偏导.所以所以