基本不等式(经典).ppt

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1、3.4基本不等式:2002年国际数学大会年国际数学大会（ICM-2002）在北京召开，此）在北京召开，此届大会纪念封上的会标图案，其届大会纪念封上的会标图案，其中央正是经过艺术处理的中央正是经过艺术处理的“弦图弦图”。它标志着中国古代的数学成它标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。迎来自世界各地的数学家。一、问题引入一、问题引入情景设置情景设置新课探究新课探究新课探究新课探究一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数 ，我们有，我们有 当且仅当当且仅当 时等号成立时等号成立思考：思考：如何证明？如何证明？证明：证明：当且仅当当且仅当

2、 时，时，此时此时平方平方当且仅当a=b时，取“=”号能否用不等式的性质进行证明？能否用不等式的性质进行证明？小组合作：小组合作：在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，设 AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。基本不等式的几何意义是：“半径不小于半弦。半径不小于半弦。”EP98探究探究2.代数意义：代数意义：几何平均数小于等于算术平均数几何平均数小于等于算术平均数2.代数证明:3.几何意义：几何意义：半弦长小于等于半径半弦长小于等于半径（当且仅当当且仅当a=b时时，等号成立等号成立）二二、新课讲解新课讲解算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数3.几何证明:从

3、数列角度看从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项等差中项1.1.思考思考:如果当如果当 用用 去替换去替换 中的中的 ,能得到什么结论能得到什么结论?基本不等式基本不等式：基本不等式：当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立.当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立.重要不等式：重要不等式：注意：注意：（1）不同点：两个不等式的）不同点：两个不等式的适用范围适用范围不同。不同。（2）相同点：当且仅当）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。1.重要不等式重要不等式2.基本不等式（均值定理）基本不等式（均值定理）注意：注意：基

4、本不等式成立的要素：基本不等式成立的要素：（1）：看是否均为正数）：看是否均为正数（2）：看不等号的方向）：看不等号的方向（3）：看等号是否能取到）：看等号是否能取到简言之：一正二定三相等简言之：一正二定三相等基本不等式基本不等式当且仅当当且仅当时等号成立时等号成立当且仅当当且仅当时等号成立时等号成立结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值结论结论2 2：两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值已知已知x1,求求 x 的最小值以及取得最小值时的最小值以及取得最小值时x的值。的值。解：x1 x10 x （x1）1 2 13当且仅当当且仅当x

5、1 时取时取“”号号.于是于是x2或者或者x0（舍去）（舍去）答：最小值是答：最小值是3，取得最小值时，取得最小值时x的值为的值为2例例1:构造积为定值构造积为定值通过加减项的方法配凑通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式成基本不等式的形式.例题讲解例题讲解例例2 2（1 1）用）用篱篱笆笆围围一个面一个面积为积为100 100 的矩形菜园，的矩形菜园，问这问这个矩形的个矩形的长宽长宽各各为为多少多少时时，所用，所用篱篱笆最短？最短的笆最短？最短的篱篱笆笆是多少？是多少？（2）用一段长为）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，菜园面矩

6、形的长宽各为多少时，菜园面 积最大？最大面积是多少？积最大？最大面积是多少？解法一：解法一：(2)设矩形菜园的宽为xm，则长为(36-2x)m，其中 0 x18,解法二：解法二：其面积为:当且仅当2x=36-2x，即x=9时菜园面积最大，即菜园长18m，宽为9 m时菜园面积最大为162 m2.解：解：【例例3】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？设水池底面一边的长度为xm，则水池的宽为 ,水池的总造价为y元，根据题意，得 因此，当水池的底面是边长为40

7、m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值例例3 已知已知x0,y0,且且x+y=1 求求 的最小值的最小值 例题讲解例题讲解(1)基本不等式取等号基本不等式取等号的条件的条件(2)“1”的代换在不的代换在不等式中的应用等式中的应用正确？正确？错错赵老师花赵老师花10万元购买了一辆家用汽车万元购买了一辆家用汽车,如如果每年使用的保险费果每年使用的保险费,养路费养路费,汽油费约汽油费约为为0.9万元万元,年维修费第一年是年维修费第一年是0.2万元万元,以以后逐年递增后逐年递增0.2万万.则这种汽车使用多少则这种汽车使用多少年时年时,它的年平均费用最少它的年平均费用最少?综合应用综合应用分析：“年平均费用年平均费用”的含义？的含义？解：设使用解：设使用x年后，年平均费用为年后，年平均费用为y万元，则万元，则即当即当x=10时，时，y有最小值有最小值3万元万元答：使用答：使用10年后，年平均费用最少。年后，年平均费用最少。变式训练变式训练知识要点：知识要点：基本不等式的条件基本不等式的条件:结构特征结构特征:思想方法技巧：思想方法技巧：（1）数形结合思想）数形结合思想 （2）换元法）换元法课堂总结课堂总结一正、二定、三相等一正、二定、三相等和、积和、积.理解均值不等式的关系理解均值不等式的关系: