大学高数第六节无穷小的比较.ppt

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1、1.6 无穷小的比较无穷小的比较 本节我们对一些尚未解决的极限问题做一点本节我们对一些尚未解决的极限问题做一点初步的讨论初步的讨论.因为无穷大的倒数为无穷小因为无穷大的倒数为无穷小,我们用我们用“0”和和“”“”分别表示无穷小和无穷大分别表示无穷小和无穷大,则下列形式的极限都不能用极限运算法则求解则下列形式的极限都不能用极限运算法则求解:所以所以,和和都可以看做都可以看做 的变形的变形.由由也是也是 的变形的变形.原因是这些形式的极限值可能是任意的实数原因是这些形式的极限值可能是任意的实数,也可能不存在也可能不存在.我们称上述四种形式的极限为未定式的极限我们称上述四种形式的极限为未定式的极限,

2、例如例如,不存在不存在.另外另外,对幂指函数对幂指函数 (且不恒等于且不恒等于1),由由及指数函数与对数函数的连续性及指数函数与对数函数的连续性,有有如果如果 为未定式的极限为未定式的极限,为为 型未定式型未定式,即即则则 也是未定式也是未定式,且有以下三种形式：且有以下三种形式：而且这三种形式经过函数的恒等变形都可以化为而且这三种形式经过函数的恒等变形都可以化为的形式的形式.综上所述综上所述,两个无穷小之商的极限两个无穷小之商的极限,在极限的在极限的讨论中具有特别的地位讨论中具有特别的地位.实际上实际上,这样的极限是对两个无穷小趋于零的这样的极限是对两个无穷小趋于零的速度进行比较速度进行比较

3、,简称无穷小的比较简称无穷小的比较.不可比不可比.观观察察各各极极限限极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.不存在不存在,定义定义1.11 (无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较)记作记作记作记作注：注：在不太关心无穷小具体表示时在不太关心无穷小具体表示时,也把无穷小也把无穷小 记作记作等价等价同阶同阶高阶高阶例例 证明当证明当 特别地特别地,如果当如果当 时时,是无穷小是无穷小,习惯将习惯将 同幂函数进行比较同幂函数进行比较.例例 当当常用等价无穷小常用等价无穷小:一个无穷小一个无穷小性质性质:例例如如,当当定理定理1.22 (无穷小的等价代换无穷小的等价代换)注意注意:无穷小替换定理适用于乘、除情形无穷小替换定理适用于乘、除情形,无穷小代数和的情形需慎用无穷小代数和的情形需慎用.例例 求求解解解解错错例例 求求例例 求求解解故故求求