多元函数的极值与条件极值.ppt
《多元函数的极值与条件极值.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《多元函数的极值与条件极值.ppt(26页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、6-6 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法三、条件极值三、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法一、多元函数的极值一、多元函数的极值二、多元函数的最大值和最小值二、多元函数的最大值和最小值1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义一、多元函数的极值一、多元函数的极值 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域的某邻域内有定义,对于该邻域内任何异于内有定义,对于该邻域内任何异于 的点的点),(yx若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf 则称函数在则称函数在),(00yx有极有极小值。小值。极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值使函数取得极值的
2、点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点),(00yx例例1 1例例例例处有极小值处有极小值在在函数函数)0,0(4322yxz+处有极大值处有极大值在在函数函数)0,0(22yxz+-处无极值处无极值在在函数函数)0,0(xyz 2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证 不妨设不妨设定理定理1(必要条件)(必要条件)设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数,且具有偏导数,且在点在点),(00yx处有极值,则它在该点的偏导数必处有极值,则它在该点的偏导数必然为零:然为零:0),(00 yxfx,0),(00 yxfy.),(yxfz 在点在点),(00yx
3、处有极大值处有极大值,则对于则对于),(00yx的某邻域内任意的某邻域内任意都有都有),(yxf),(00yxf,推广推广 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxP具有偏导数,则它在具有偏导数,则它在),(000zyxP有极值的必要条有极值的必要条件为:件为:0),(000 zyxfx,0),(000 zyxfy,0),(000 zyxfz.说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必有必有 0),(00 yxfx;故当故当0yy ,0 xx 时,时,有有 -BAC时具有极值,时具有极值,当当0 A时有极小值;时有极小值;(2 2)
4、02-BAC时没有极值;时没有极值;(3 3)02-BAC时可能有极值时可能有极值,也可能没有极值,也可能没有极值,还需另作讨论还需另作讨论解解例例4 4求函数求函数的极值的极值先解方程组先解方程组 求得驻点为求得驻点为将上方程组再分别对将上方程组再分别对yx,求偏导数求偏导数,在点在点 处,处,又又所以函数在所以函数在处有极小值处有极小值在点在点 处,处,所以所以不是极值;不是极值;在点在点 处,处,所以所以不是极值;不是极值;在点在点处,处,又又所以函数在所以函数在 处有极大值处有极大值求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤:极值的一般步骤:第一步第一步 解方程组解方程组求出实数解,得
5、驻点求出实数解,得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx,求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC-的符号,再判定是否是极值的符号,再判定是否是极值.求极值的步骤总结与一元函数类似,可能的极值点除了驻点之外,与一元函数类似,可能的极值点除了驻点之外,偏导数不存在的点也可能是极值点。偏导数不存在的点也可能是极值点。例如,显然函数例如,显然函数不存在。不存在。假设函数假设函数 在在D D上连续,偏导数存在且驻点只上连续,偏导数存在且驻点只有有限个,则有有限个,则求最值的一般步骤为:求最值的一般步骤为:1 1、求函数、求函数 在在D D内
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 多元 函数 极值 条件
限制150内