大一高数上PPT课件第二章.ppt

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1、第第第第 二二二二 章章章章 导导导导 数数数数 与与与与 微微微微 分分分分1.变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度 设有一质点作变速直线运动设有一质点作变速直线运动,其运动方程为其运动方程为求求:质点在质点在时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度一、问题的提出一、问题的提出时时 刻瞬时速度刻瞬时速度变化不大变化不大,所以质点在所以质点在若若t很小很小,在在t 时间内速度时间内速度2.若质点作变速直线运动若质点作变速直线运动 1.若质点作匀速直线运动若质点作匀速直线运动s0由于速度是连续变化的由于速度是连续变化的,分析：分析：可以近似地用平均速度可以近似地用平均速度 代替代替瞬时速度瞬时速度

2、于是当于是当时时,的极限即为的极限即为越小越小,近似的程度越好近似的程度越好,称为曲线称为曲线 L 上点上点 P 处的切线处的切线.2 曲线的切线的斜率曲线的切线的斜率切线的一般定义切线的一般定义:设设 P 是曲线是曲线 L 上的一个定点上的一个定点,Q 是曲线是曲线 L 上的另一个点上的另一个点,过点过点 P 与点与点 Q 作一条直线作一条直线 PQ,称称 PQ 为曲线为曲线 L 的的 割线割线,当点当点 Q 沿着曲线沿着曲线 L 趋向定点趋向定点 P 时时,割线割线 PQ 的极限位置的极限位置 PT,LPQT设曲线设曲线 L 的方程为的方程为 y=f(x),越接近于越接近于 k,x 越小越

3、小,Q 越接近于越接近于 P,PQ 越接近于越接近于 PT,切线的倾角为切线的倾角为 ,则有则有:分析分析:如图如图,割线的倾角为割线的倾角为,求此曲线上点求此曲线上点 P 处的切线斜率处的切线斜率 k.LPQT曲线在曲线在 P 处的切线斜率为处的切线斜率为:趋于趋于 0 时的极限时的极限.即即:函数的增量与自变量增量之比函数的增量与自变量增量之比,当自变量的增量当自变量的增量LPQT称为曲线称为曲线 L 上点上点 P 处的切线处的切线2 2 曲线的切线的斜率曲线的切线的斜率切线的一般定义切线的一般定义:设设 P 是曲线是曲线 L 上的一个定点上的一个定点,Q 是曲线是曲线 L 上的另一个点上

4、的另一个点,过点过点 P 与点与点 Q 作一条直线作一条直线 PQ,称称 PQ 为曲线为曲线 L 的的 割线割线,当点当点 Q 沿着曲线沿着曲线 L 趋向定点趋向定点 P 时时,割线割线 PQ 的极限位置的极限位置 PTLPQT设曲线设曲线 L 的方程为的方程为 y=f(x),越接近于越接近于 k,x 越小越小,Q 越接近于越接近于 P,PQ 越接近于越接近于 PT,切线的倾角为切线的倾角为 ,则有则有:分析分析:如图如图,割线的倾角为割线的倾角为,求此曲线上点求此曲线上点 P 处的切线斜率处的切线斜率 k.LPQT曲线在曲线在 P 处的切线斜率为处的切线斜率为:趋于趋于 0 时的极限时的极限

5、.即即:函数的增量与自变量增量之比函数的增量与自变量增量之比,当自变量的增量当自变量的增量LPQT二、导数的定义二、导数的定义 定义定义 设函数设函数y=f(x)在点在点 x0的某个邻域内有定义。如的某个邻域内有定义。如果极限果极限存在，则称函数存在，则称函数f(x)在点在点x0处可导，且称此极限值为函数处可导，且称此极限值为函数f(x)在点在点x0处的导数，记为处的导数，记为 f (x0)，即即 如果上述极限不存在，则称函数如果上述极限不存在，则称函数f(x)在点在点x0处不可导。处不可导。但如果上述极限是无穷大，则我们也称函数但如果上述极限是无穷大，则我们也称函数y f(x)在在点点x0处

6、的导数为无穷大处的导数为无穷大导数的其它符号：导数的其它符号：函数的导数：函数的导数：导数的其它定义式：导数的其它定义式：。例例1求函数求函数y x2在点在点x 2处的导数。处的导数。方法二方法二 解：解：方法一方法一函数在一区间上的导数：函数在一区间上的导数：如果函数如果函数 f(x)在区间在区间 I 内每一点都可导，则称内每一点都可导，则称f(x)在在区间区间 I 内可导，这时，对于区间内可导，这时，对于区间 I 内每一点内每一点 x，都有一都有一个确定的导数值与它对应，这就定义了一个新的函数，个确定的导数值与它对应，这就定义了一个新的函数，这个函数称为函数这个函数称为函数y f(x)的导

7、函数，简称为导数，记作的导函数，简称为导数，记作导函数的定义式：导函数的定义式：f (x0)与与f (x)之间的关系：之间的关系：定义定义 设函数设函数y f(x)在在x0的某邻域内有定义的某邻域内有定义,为为f(x)在点在点x0处的左导数，记作处的左导数，记作f (x0)。为为f(x)在点在点x0处的右导数，记作处的右导数，记作f (x0)。左右导数：左右导数：如果函数如果函数f(x)在开区间在开区间(a,b)内可导，且右导数内可导，且右导数f (a)和左导数和左导数f (b)都存在，就说都存在，就说f(x)有闭区间有闭区间a,b上上可导。可导。显显然然，当当且且仅仅当当函函数数在在一一点点

8、的的左左、右右导导数数存存在在且且相相等时，函数在该点才是可导的。等时，函数在该点才是可导的。导数与左右导数的关系：导数与左右导数的关系：左右导数：左右导数：函数在闭区间上的可导性：函数在闭区间上的可导性：步骤步骤:三、由定义求导数举例三、由定义求导数举例 例例2求函数求函数f(x)C（C为常数）的导数。为常数）的导数。解：解：即即 (C)0。1.常数的导数：常数的导数：(C)0.例例3 例例4 解：解：解：解：2.幂函数的导数：幂函数的导数：例例5 5解解更一般地更一般地例如例如,2.幂函数的导数：幂函数的导数：例例6求函数求函数f(x)sin x的导数。的导数。cos x。类似地可求得类似

9、地可求得(cos x)sin x。即即(sin x)cos x。解：解：3.正弦余弦函数的导数：正弦余弦函数的导数：(sin x)cos x，(cos x)sin x。例例7求函数求函数f(x)ax(a0，a 1)的导数。的导数。4.指数函数的导数：指数函数的导数：(a x)a x ln a，(e x)e x。例例8求对数函数求对数函数y log ax的导数。的导数。解：解：5.对数函数的导数：对数函数的导数：四、导数的几何意义四、导数的几何意义a aOxyy=f(x)f(x0)x0M切线切线T法线法线切线方程为：切线方程为：y y0 f (x0)(x x0)。法线方程为：法线方程为：函数函数

10、 y f(x)在点在点x0处的导数处的导数 f (x0)在几何上表示曲线在几何上表示曲线y f(x)在点在点M(x0,f(x0)处的切线的斜率，即处的切线的斜率，即f (x0)tan a a，其中其中a a是切线的倾角。是切线的倾角。例例 9 9 求等边双曲线求等边双曲线 xy1 在点在点2),21(处的切线的处的切线的 斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程五、函数的可导性与连续性的关系五、函数的可导性与连续性的关系 如如果果函函数数y f(x)在在点点x0处处可可导导，则则它它在在点点x0处处一一定定连连续。续。这是因为这是因为注意：注意：这个定理

11、的逆定理不成立，即函数这个定理的逆定理不成立，即函数y f(x)在点在点x0处处连续，但在点连续，但在点x0处不一定可导。处不一定可导。这是因为函数在点这是因为函数在点x 0处导数为无穷大：处导数为无穷大：xyO连续但不可导的函数：连续但不可导的函数：例例10 函数函数3)(xxfy 在区间在区间内连续，内连续，但在点但在点x 0处不可导。处不可导。(,)hhhfhfhh0lim)0()0(lim300。这是因为这是因为 例例11函数函数y|x|在区间在区间(,)内连续，但在点内连续，但在点 x 0处不可导。处不可导。连续但不可导的函数：连续但不可导的函数：例例1212解解2.2 求导法则求导

12、法则 两个可导函数之和两个可导函数之和(差差)的导数等这两个函数的导数的导数等这两个函数的导数的和的和(差差)：u(x)v(x)u(x)v(x)。两个可导函数乘积的导数等于前一因子的导数乘以两个可导函数乘积的导数等于前一因子的导数乘以后一因子，加上后一因子的导数乘以前一因子：后一因子，加上后一因子的导数乘以前一因子：u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)。两个可导函数之商的导数等于分子的导数乘以分母两个可导函数之商的导数等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子，再除以分母的平方：减去分母的导数乘以分子，再除以分母的平方：一、函数的和、差、积、商的求导法则一、函数的和、差、积、商的

13、求导法则求导法则的推广：求导法则的推广：(u v w)u v w，(uvw)u vw uv w uvw。特殊情况：特殊情况：(Cu)Cu。1.函数的和、差、积、商的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则：u(x)v(x)u(x)v(x)，u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)，2.2.求导举例求导举例 例例1 解：解：例例2y e x(sin x cos x)，求求y。2e x cos x。解：解：y(e x)(sin x cos x)e x(sin x cos x)e x(sin x cos x)e x(cos x sin x)例例3y tan x，求求y。即即 (tan x)s

14、ec2x。解：解：例例4y sec x，求求y。即即 (sec x)sec x tan x。用类似方法，还可求得：用类似方法，还可求得：(cot x)csc2x，(csc x)csc x cot x。解：解：3.3.求导公式小结求导公式小结1 1(C)0，2(x m m)m mx m m 1，其中其中m m为常数，为常数，3(sin x)cos x，(cos x)sin x，4(a x)a x ln a，特殊地特殊地(e x)e x，(tan x)sec2x，(cot x)csc2x，(sec x)sec x tan x，(csc x)csc x cot x，二、反函数的求导法则二、反函数的求

15、导法则 如果函数如果函数x j (y)在某区间在某区间Iy内单调、可导且内单调、可导且j(y)0，那么它的反函数那么它的反函数y f(x)在对应区间在对应区间Ix内内也可导，并且也可导，并且 简要证明：简要证明：因为因为y f(x)连续，所以当连续，所以当D Dx0时，时，D Dy0。)(1)(yxfj=.即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例例1求求(arcsin x)及及(arccos x)。解：解：因为因为y arcsin x是是x sin y的反函数，所以的反函数，所以 例例2求求(arctan x)及及(arccot x)。解：解：因为因为y

16、arctan x是是x tan y的反函数，所以的反函数，所以(1)(C)0，(2)(xm m)m m xm m 1，(3)(sin x)cos x，(4)(cos x)sin x，(5)(tan x)sec2x，(6)(cot x)csc2x，(7)(sec x)sec x tan x，(8)(csc x)csc x cot x，(9)(ax)ax ln a，(10)(ex)ex，基本初等函数的导数公式小结：基本初等函数的导数公式小结：，(16)三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.注意注意:初等

17、函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.复合函数的求导法则：复合函数的求导法则：例例3 3y=lntan x，求求dxdy。解：解：函数函数y=lntan x是由是由y=ln u，u=tan x复合而成，复合而成，对复合函数求导法则比较熟练以后，就不必对复合函数求导法则比较熟练以后，就不必再写出中间变量。再写出中间变量。复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。例例7y lncos(e x)，求求dxdy。例例8xey1sin，求求dxdy。解：解：y (sin nx)sin nx+sin nx (sin nx)ncos nx sin nx+

18、sin nx n sin n 1x (sin x)ncos nx sin nx+nsin nx sin n 1x cos x n sin n 1x sin(n+1)x。例例9 y sin nx sin n x(n 为常数为常数)，求求dxdy。2.3 高阶导数高阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义问题问题:变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度记作记作二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.定义定义二、二、高阶导数求法举例高阶导数求法举例1.1.直接

19、法直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解例例4 4解解同理可得同理可得2.高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式莱布尼兹公式例例5 5解解3.3.间接法间接法:利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则通过四则运算运算,变量代换等方法变量代换等方法,求出求出n阶导数阶导数.例例7 7解解三、小结三、小结高阶导数的定义高阶导数的定义;高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式莱布尼兹公式);n阶导数的求法阶导数的求法;1.直接法直接法;2.间接法间接法.思考题思考题设设 连续，且连续，且 ，

20、求求 .思考题解答思考题解答可导可导不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求一、隐函数的导数一、隐函数的导数显函数：显函数：形如形如 y sin x，y ln x e x 的函数。的函数。这种由方程确定的函数称为隐函数。这种由方程确定的函数称为隐函数。把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。2.4 隐函数及由参数方程所确定的隐函数及由参数方程所确定的函数的导数函数的导数 相关变化率相关变化率问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?如如,如何求如何求求隐函数的导数的方法：求隐函数的导数的方法：把方程两边分别对把方程两

21、边分别对x求导数求导数,然后从所得的新的然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出方程中把隐函数的导数解出,求导时要注意求导时要注意y是是x的函数。的函数。例例1.求由方程求由方程ey xy e 0所确定的隐函数所确定的隐函数y的导数的导数.解：解：方程两边分别对方程两边分别对x求导得求导得 (e y)(xy)(e)(0)，即即 e y y y xy 0，从而从而yexyy (x e y 0)。解：解：把方程两边分别对把方程两边分别对x求导数得求导数得当当x 0时，从原方程得时，从原方程得y 0，例例2求由方程求由方程y5 2y x 3x7 0 所确定的隐函数所确定的隐函数y在在 x 0处的导数

22、处的导数0|xdxdy。由此得由此得 2521146 yxdxdy。1 216 x2 dxdy5dxdyy40，所以所以 解：解：把椭圆方程的两边分别对把椭圆方程的两边分别对x求导，得求导，得所求的切线方程为所求的切线方程为 将将x 2，323 y，代入上式得，代入上式得 所求切线的斜率所求切线的斜率 解：解：方程两边对方程两边对x求导，得求导，得 上式两边再对上式两边再对x求导，得求导，得 10，cos21 y 于是于是 ycos22 。2)cos2(y 22 2)cos2(sin2yy 观察函数观察函数方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导

23、方法求出导数方法求出导数.目的是利用对数的性质简化目的是利用对数的性质简化求导运算。求导运算。-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:二、对数求导法二、对数求导法 有时会遇到这样的情形，虽然给出的是显函数有时会遇到这样的情形，虽然给出的是显函数但直接求导有困难或很麻烦但直接求导有困难或很麻烦.例例5 5解解等式两边取对数得等式两边取对数得一般地一般地两边取对数得两边取对数得例例6 6解解等式两边加绝对值后再取对数得等式两边加绝对值后再取对数得 解：解：先在两边取对数，得先在两边取对数，得上式两边对上式两边对x求导，得求导，得 例例7求求函数函数)4)(3()2)(1(xxxxy的导数。的导数。

24、ln y21=ln|x 1|ln|x 2|ln|x 3|ln|x 4|，三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数例如例如消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?参量函数参量函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得容易漏掉容易漏掉例例7 7解解 所求切线方程为所求切线方程为四、相关变化率四、相关变化率相关变化率问题相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?例例8 8解解仰角增加率仰角增加率第五节第五节 函数的微分函数的微分一、问题的提出一、问题的提出二、

25、微分的定义二、微分的定义三、可微的条件三、可微的条件四、微分的几何意义四、微分的几何意义五、微分的求法五、微分的求法六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性七、微分在近似计算中的应用七、微分在近似计算中的应用一、问题的提出一、问题的提出近似计算问题近似计算问题实例：实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量。正方形金属薄片受热后面积的改变量。面积改变量面积改变量再如再如,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题：问题：是否所有函数的改变量都有这样的线性函数是否所有函数的改变量都有这样的线性函数 (改变量的线性主要部分改变量的线性主要部分)？如果有？如果有,它是什么？它是什么？如何求

26、？如何求？设函数设函数y f(x)在某区间内有定义，在某区间内有定义，x0及及x0 D Dx在这区间内，如果函数的增量在这区间内，如果函数的增量D Dy f(x0 D Dx)f(x0)可表示为可表示为 D Dy AD Dx o(D Dx)，其中其中A是不依赖于是不依赖于D Dx的常数，而的常数，而o(D Dx)是比是比D Dx高阶的高阶的无穷小，那么称函数无穷小，那么称函数y f(x)在点在点x0是可微的，而是可微的，而AD Dx叫做函数叫做函数y f(x)在点在点x0相应于自变量增量相应于自变量增量D Dx的微分，的微分，记作记作dy，即即 dy AD Dx。微分的定义：微分的定义：函数函数

27、f(x)在点在点x0可微的充分必要条件是函数可微的充分必要条件是函数f(x)在点在点x0 可导，且当函数可导，且当函数f(x)在点在点x0可微时，其微分一定是可微时，其微分一定是 dy f (x0)D Dx。可微与可导的关系：可微与可导的关系：y f(x)在点在点x0可微可微D Dy AD Dx o(D Dx)。dy AD Dx。这是因为，一方面这是因为，一方面另一方面另一方面其中其中a a0(当当D Dx0)，且且A f(x0)是常数，是常数，a aD Dx o(D Dx)。函数函数y f(x)在任意点在任意点 x 的微分，称为函数的微分，的微分，称为函数的微分，记作记作dy 或或 df(x

28、)，即即 dy f (x)D Dx。例如，例如，dex(e x)D Dx exD Dx。dcos x(cos x)D Dx sin x D Dx；例例1求函数求函数y x2在在x 1处的微分。处的微分。解：解：函数函数y x2在在x 1处的微分为处的微分为 dy(x2)|x 1D Dx 2D Dx.例例2求函数求函数 y x3当当x 2，D Dx 0.02时的微分。时的微分。解：解：先求函数在任意点先求函数在任意点x 的微分，的微分，dy(x3)D Dx 3x2D Dx。再求函数当再求函数当x 2，D Dx 0.02时的微分，时的微分，3 22 0.02 0.24。因为当因为当y x时，时，d

29、y dx(x)D DxDDx，所以通常把自变量所以通常把自变量 x 的增量的增量D Dx称为自变量的微分，称为自变量的微分，记作记作dx，即即 dx D Dx。因此，函数因此，函数y f(x)的微分又可记作的微分又可记作 dy f (x)dx。自变量的微分：自变量的微分：二、微分的几何意义二、微分的几何意义几何意义几何意义:(:(如图如图)MT）P N(e x)e x(x m m)m m x m m 1(sin x)cos x(cos x)sin x(tan x)sec 2 x(cot x)csc 2x(sec x)sec x tan x(csc x)csc x cot x(a x)a x l

30、n ad(x m m)m mx m m 1dx d(sin x)cos xdxd(cos x)sin xdxd(tan x)sec 2xdxd(cot x)csc 2xdxd(sec x)sec x tan xdxd(csc x)csc x cot xdxd(ax)ax ln adxd(ex)exdx 1基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式三、微分公式与微分运算法则三、微分公式与微分运算法则2函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则 关于关于d(uv)vdu udv 的证明：的证明：因为因为 d(uv)(u v uv)dx u vdx uv dx。而而 u dx du，

31、v dx dv，所以所以 d(uv)vdu udv。求导法则：求导法则：微分法则：微分法则：(u v)u v d(u v)du dv (Cu)Cu d(Cu)Cdu (uv)u v uv d(uv)vdu udv 例例3y e1 3xcos x，求求dy。解：解：应用积的微分法则，得应用积的微分法则，得e1 3x(3cos x sin x)dx。cos xe1 3x(3)dx e1 3x(sin x)dx dy d(e1 3xcos x)cos xd(e1 3x)e1 3xd(cos x)3复合函数的微分法则复合函数的微分法则 设设y f(u)及及u j j(x)都可导，则复合函数都可导，则复

32、合函数y fj j(x)的的微分为微分为 dy y xdx f (u)j j(x)dx。于于由由j j(x)dx du，所所以以，复复合合函函数数y fj j(x)的的微微分分公公式式也可以写成也可以写成 dy f (u)du。结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性 例例4y sin(2x 1)，求求dy。解：解：把把2x 1看成中间变量看成中间变量u，则则 2cos(2x 1)dx。cos(2x 1)2dx cos(2x 1)d(2x 1)dy d(sin u)cos udu 例例5)1ln(2xey ，求求dy。解解：)1ln(2xeddy 四、四、微分在近似计算中的应用微分在近似计算

33、中的应用 如果函数如果函数y f(x)在点在点x0处的导数处的导数f (x)0，且且|D Dx|很小时，我们有很小时，我们有 D Dy dy f (x0)D Dx，f(x0 D Dx)f(x0)dy f (x0)D Dx，f(x0 D Dx)f(x0)f (x0)D Dx。若令若令x x0 D Dx，即即D Dx x x0，那么又有那么又有 f(x)f(x0)f (x0)(x x0)。特别当特别当x0 0时，有时，有 f(x)f(0)f (0)x。微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用1.计算函数的近似值计算函数的近似值 例例1有一批半径为有一

34、批半径为 1cm 的球，为了提高球面的光的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为洁度，要镀上一层铜，厚度定为0.01cm估计一下每只估计一下每只球需用铜多少球需用铜多少g(铜的密度是铜的密度是8.9g/cm 3)?利用利用f(x0 D Dx)f(x0)f (x0)D Dx求函数增量的近似值求函数增量的近似值 D DV V(R0 D DR)V(R0)V (R0)D DR 4p pR02D DR 4 3.14 12 0.01 0.13(cm3)。于是镀每只球需用的铜约为于是镀每只球需用的铜约为 0.13 8.9 1.16(g)。解：解：已知已知R0 1cm，D DR 0.01cm。利用公

35、式利用公式 f(x0 D Dx)f(x0)f (x0)D Dx求函数在求函数在x0附近的值附近的值 例例2利用微分计算利用微分计算sin 30 30 的近似值。的近似值。sin x0 cos x0 D Dxsin 30 30 sin(x0 D Dx)解解：30 30 3606 p pp p ，取，取 5076.0。3602321 p p 3606 cos6 sinp pp pp p (2)sin x x(x用弧度作单位来表达用弧度作单位来表达)；(3)tan x x(x用弧度作单位来表达用弧度作单位来表达)；(4)ex 1 x；(5)ln(1 x)x。常用的近似公式常用的近似公式(假定假定|x|是较小的数值是较小的数值)：利用公式利用公式 f(x)f(0)f (0)x求函数在求函数在x 0附近的值附近的值