大学微积分课件第六章.ppt

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1、定积分的计算定积分的计算定积分的概念和性质定积分的概念和性质换换元元积积分分法法分分部部积积分分法法基基本本公公式式微微积积分分定积分的应用定积分的应用求平面图形的面积求平面图形的面积主要内容主要内容求旋转体的体积求旋转体的体积广义积分广义积分无无穷穷区区间间上上的的广广义义积积分分无无界界函函数数的的广广义义积积分分1一、定积分概念和性质一、定积分概念和性质任取任取在区间在区间上的上的定积分定积分,（简称（简称积分积分）即即此时称此时称 f(x)在在 a,b 上上可积可积.记作记作2积分上限积分上限积分下限积分下限被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积积分分和和3说明：说明：

2、1.2.有界有界是可积的必要条件是可积的必要条件,无界函数一定不可积；无界函数一定不可积；3.可积的充分条件：可积的充分条件：4对定积分的对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且在，且如非特殊说明，如非特殊说明，不考虑积分上下限不考虑积分上下限的大小的大小定积分的性质：定积分的性质：5（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1性质性质2 2说明说明：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）

3、性质性质3 36性质性质4 4性质性质5 5推论：推论：（1）（2）7性质性质6 6（估值定理）（估值定理）性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）8称称 为为变上限积分变上限积分 1 1、变上限积分函数及其导数、变上限积分函数及其导数 二、定积分的计算二、定积分的计算 函数函数或或积分上限函数积分上限函数变上限变上限积分积分函数的性质：函数的性质：9注注1.此定理表明连续函数取变上限定积分再对此定理表明连续函数取变上限定积分再对上限自变量上限自变量 x求导，其结果就等于被积求导，其结果就等于被积函数在上限自变量函数在上限自变量x处的函数值。处的函数值。2.3.4.5.102 2、定

4、理、定理（微积分基本公式）（微积分基本公式）注意注意11定理定理6.5 设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，作代换上连续，作代换 满足下列条件：满足下列条件：上述公式称为定积分的上述公式称为定积分的换元积分公式换元积分公式，简称，简称换元公式换元公式.(2)当当t在在与与之间变化时，之间变化时，单调变化，且单调变化，且则：则：3、定积分的换元法定积分的换元法12说明说明：(1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即相应的变换，即“换元必换限换元必换限”.(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，在换元之后，按新的积分变

5、量进行定积分运算，不必再还原为原变量不必再还原为原变量.(3)新变元的积分限可能新变元的积分限可能，也可能，也可能，但一定要，但一定要求满足求满足（4）换元积分法常用来证明定积分的等式）换元积分法常用来证明定积分的等式134、定积分的分部积分法定积分的分部积分法已积出的部分要求值已积出的部分要求值 141.1.求平面图形的面积求平面图形的面积三三.定积分的应用定积分的应用（1 1）.以以x轴为底边的曲边梯形的面积轴为底边的曲边梯形的面积1516若若f(x)有正有负有正有负,则曲边梯形面积则曲边梯形面积为为xyoab17（2 2）.以以y轴为底边的曲边梯形的面积轴为底边的曲边梯形的面积18特别，

6、特别，时时,xyoab19围成的平面图形的面积，围成的平面图形的面积，dcxyo20abox y旋转体的体积为旋转体的体积为（1 1）以）以x轴为底边的曲边梯形绕轴为底边的曲边梯形绕x轴旋转轴旋转2 2、旋转体的体积、旋转体的体积21（2 2）以）以y轴为底边的曲边梯形绕轴为底边的曲边梯形绕y轴旋转轴旋转（3 3）以）以x轴为底边的曲边梯形绕轴为底边的曲边梯形绕y轴旋转轴旋转221 1、无穷区间上的广义积分、无穷区间上的广义积分 四、广义积分四、广义积分2324 2 2、无界函数的广义积分、无界函数的广义积分25例 题例例：设：设f(x)是连续函数，是连续函数，求，求f(x).P57.二二.5解解：两边取定积分得：两边取定积分得：26例 题例例：求求P57.二二.6解解：27例 题例例：P56.一一.14解解：28例 题例例：P56.一一.16解解：29例 题例例：P56.一一.17解解：30例例解解例 题31例例解解例 题32例例例 题33解解例例例 题34例例证证354 4、解解所以平均值为所以平均值为36