复变函数第一章(2)复数的乘幂与方根(精品).ppt

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1、1.2 1.2 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根注:1.2.1 1.2.1 复数的乘幂复数的乘幂解:解:1.2.3 1.2.3 复数的方根复数的方根(乘幂的逆运算乘幂的逆运算)注注:解解:因为所以即四个根是内接于中心在原点,半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.1.3 1.3 平面点集平面点集 平面上以 z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆:|z-z0|d 内部的点的集合称为z0的邻域邻域,而称由不等式 0|z-z0|d 所确定的点集为z0的去心邻去心邻域域.1.3.1 区域 设G为一平面点集,z0为G中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点内点.如果

2、G内的每个点都是它的内点,则称G为开集开集 平面点集D称为一个区域区域,如果它满足下列两个条件:1)D是一个开集;2)D是连通连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来.例4:区域不是区域(不是开集)不是区域(不连通)如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数 M,使区域 D的每个点z都满足|z|M1.3.2 1.3.2 曲线曲线 在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线.如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数,则方程组x=x(t),y=y(t),(atb)代表一条平面曲线,称为连续曲线.如果令z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程z=

3、z(t)(atb)来代表.这就是平面曲线的复数表示式.1.简单曲线,简单闭曲线 设C:z=z(t)(atb)为一条连续曲线,z(a)与z(b)分别为C的起点与终点.对于满足 at1b,at2b 的 t1与 t2,当 t1t2而有 z(t1)=z(t2)时,点 z(t1)称为曲线 C的重点.没有重点的连续曲线 C,称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线.如果简单曲线 C的起点与终点闭合,即 z(a)=z(b),则曲线 C 称为简单闭曲线简单闭曲线.简单,闭简单,不闭非简单,不闭非简单,闭2.光滑曲线,逐段光滑曲线 由几段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.1.3.3 1.3.3 单连通区域

4、单连通区域,多连通区域多连通区域单连通域多连通域(一个整体)(带有裂痕,漏洞)1.4 1.4 复变函数复变函数1.4.1复变函数的概念(实变函数在复数范围内的推广)单值函数,多值函数定义在整个复平面上的多值函数定义在除原点外整个复平面上的单值函数则两类常见的复变函数1.4.2 1.4.2 复变函数的几何解释复变函数的几何解释映照映照几何意义:DG设函数 w=z2=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,有 u=x2-y2,v=2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w11.5 1.5 初等函数初等函数介绍几种常见的复变函数指数函数,对数函数,幂函数,三角函数1.5.1 指数函数则求得(欧拉公式)复指数函数性质:电源此电路系统满足叠加原则.电源电流当电路系统稳定后,电路中的电压,电流变化的频率最终与电源频率相一致.电容:对应的等效电阻为电感:对应的等效电阻为整个电路的总电阻为:1.5.2 对数函数定义：记：多值性多值性-主值主值例如：性质:证明:1.5.3 1.5.3 幂函数幂函数定义:为z的幂函数.单值函数.n值函数.n值函数.无穷值函数1.5.4 1.5.4 三角函数三角函数定义:(1)各种三角恒等式仍然成立 性质:例如:(3)类似地,可以定义其他三角函数及它们的反函数.