93圆的方程.ppt

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1、要点梳理要点梳理1.1.圆的定义圆的定义 在平面内，到在平面内，到 的距离等于的距离等于 的点的的点的 叫圆叫圆.2.2.确定一个圆最基本的要素是确定一个圆最基本的要素是 和和 .3.3.圆的标准方程圆的标准方程（x x-a a）2 2+（y y-b b）2 2=r r2 2（r r0 0）,其中其中 为圆心为圆心,为半径为半径.9.3 9.3 圆的方程圆的方程 基础知识基础知识 自主学习自主学习集合集合圆心圆心半径半径(a a,b b)r r定点定点定长定长4.4.圆的一般方程圆的一般方程 x x2 2+y y2 2+DxDx+EyEy+F F=0=0表示圆的充要条件是表示圆的充要条件是 ,

2、其中圆心为其中圆心为 ,半径半径 r r=.5.5.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：（1 1）；（2 2）；（3 3）.D D2 2+E E2 2-4-4F F0 0根据题意，选择标准方程或一般方程根据题意，选择标准方程或一般方程根据条件列出关于根据条件列出关于a a,b b,r r或或D D、E E、F F的方程组的方程组 解出解出a a、b b、r r或或D D、E E、F F代入标准方程或一代入标准方程或一 般方程般方程6.6.点与圆的位置关系点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有

3、三种点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程圆的标准方程(x x-a a)2 2+(+(y y-b b)2 2=r r2 2,点点MM(x x0 0,y y0 0)（1 1）点在圆上）点在圆上:;（2 2）点在圆外）点在圆外:;（3 3）点在圆内）点在圆内:.(x x0 0-a a)2 2+(+(y y0 0-b b)2 2=r r2 2(x x0 0-a a)2 2+(+(y y0 0-b b)2 2r r2 2(x x0 0-a a)2 2+(+(y y0 0-b b)2 2r r2 2基础自测基础自测1.1.方程方程x x2 2+y y2 2+axax+2+2ayay+2+2a a2 2+a

4、 a-1=0-1=0表示圆，则表示圆，则a a的取值的取值 范围是范围是 （）A.A.a a-2-2或或a a B.B.a a0 0 C.-2 C.-2a a0 D.-20 D.-2a a 解析解析 方程方程x x2 2+y y2 2+axax+2+2ayay+2+2a a2 2+a a-1=0-1=0 转化为转化为 +(+(y y+a a)2 2=a a2 2-a a+1,+1,所以若方程表示圆，则有所以若方程表示圆，则有 3 3a a2 2+4+4a a-4-40,-20,-2a a .D2.2.圆圆x x2 2+y y2 2-2-2x x+2+2y y+1=0+1=0的圆心到直线的圆心到

5、直线x x-y y+1=0+1=0的距离的距离 是是 （）A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 配方得配方得(x x-1)-1)2 2+(+(y y+1)+1)2 2=1,=1,圆心（圆心（1 1，-1-1）到直线的距离到直线的距离d d=D3.3.（20092009重庆）重庆）圆心在圆心在y y轴上，半径为轴上，半径为1 1，且过点（且过点（1 1，2 2）的圆的方程是）的圆的方程是 （）A.A.x x2 2+(+(y y-2)-2)2 2=1=1 B.B.x x2 2+(+(y y+2)+2)2 2=1=1 C.(C.(x x-1)-1)2 2+(+(y y-3)-3)2 2=1=1

6、D.D.x x2 2+(+(y y-3)-3)2 2=1=1 解析解析 设圆的圆心设圆的圆心C C（0 0，b b）,则则 =1,=1,b b=2.=2.圆的标准方程是圆的标准方程是x x2 2+(+(y y-2)-2)2 2=1.=1.A4.4.过点过点A A（1 1，-1-1），），B B（-1-1，1 1），且圆心在直线），且圆心在直线x x+y y-2=0-2=0上的圆的方程是上的圆的方程是 （）A.A.（x x-3-3）2 2+(+(y y+1)+1)2 2=4=4 B.B.（x x+3+3）2 2+(+(y y-1)-1)2 2=4=4 C.C.（x x-1-1）2 2+(+(y

7、y-1)-1)2 2=4=4 D.D.（x x+1+1）2 2+(+(y y+1)+1)2 2=4=4 解析解析 设圆心设圆心C C的坐标为的坐标为(a a,b b),),半径为半径为r r.圆心圆心C C在直线在直线x x+y y-2=0-2=0上，上，b b=2-=2-a a.|CACA|2 2=|=|CBCB|2 2，（a a-1-1）2 2+（2-2-a a+1+1）2 2=（a a+1+1）2 2+（2-2-a a-1-1）2 2，a a=1=1，b b=1.=1.r r=2=2，方程为方程为(x x-1)-1)2 2+(+(y y-1)-1)2 2=4.=4.Cx x2 2y y2

8、 22 2题型一题型一 求圆的方程求圆的方程【例例1 1】求与求与x x轴相切，圆心在直线轴相切，圆心在直线3 3x x-y y=0=0上，且被上，且被直线直线x x-y y=0=0截得的弦长为截得的弦长为2 2 的圆的方程的圆的方程.解解 方法一方法一 设所求的圆的方程是设所求的圆的方程是（x x-a a）2 2+（y y-b b）2 2=r r2 2，则圆心（则圆心（a a，b b）到直线）到直线x x-y y=0=0的距离为的距离为 ，r r2 2=题型分类题型分类 深度剖析深度剖析即即2 2r r2 2=(=(a a-b b)2 2+14+14 由于所求的圆与由于所求的圆与x x轴相切

9、，轴相切，r r2 2=b b2 2.又因为所求圆心在直线又因为所求圆心在直线3 3x x-y y=0=0上，上，3 3a a-b b=0.=0.联立联立，解得，解得a a=1,=1,b b=3,=3,r r2 2=9=9或或a a=-1,=-1,b b=-3=-3，r r2 2=9.=9.故所求的圆的方程是故所求的圆的方程是(x x-1)-1)2 2+(+(y y-3)-3)2 2=9=9或或(x x+1)+1)2 2+(+(y y+3)+3)2 2=9.=9.方法二方法二 设所求的圆的方程是设所求的圆的方程是x x2 2+y y2 2+DxDx+EyEy+F F=0=0，圆心为圆心为 半径

10、为半径为令令y y=0=0，得，得x x2 2+DxDx+F F=0,=0,由圆与由圆与x x轴相切，得轴相切，得=0=0，即，即D D2 2=4=4F F.又圆心又圆心 到直线到直线x x-y y=0=0的距离为的距离为由已知，得由已知，得即（即（D D-E E）2 2+56=2+56=2（D D2 2+E E2 2-4-4F F）又圆心又圆心 在直线在直线3 3x x-y y=0=0上，上，3 3D D-E E=0.=0.联立联立，解得，解得D D=-2,=-2,E E=-6,=-6,F F=1=1或或D D=2=2，E E=6=6，F F=1.=1.故所求圆的方程是故所求圆的方程是x x

11、2 2+y y2 2-2-2x x-6-6y y+1=0+1=0或或x x2 2+y y2 2+2+2x x+6+6y y+1=0.+1=0.探究提高探究提高 求圆的方程，一般用待定系数法求圆的方程，一般用待定系数法.圆的圆的一般式和标准式均有三个未知数，合理选择方程一般式和标准式均有三个未知数，合理选择方程形式可以减少运算量，若已知与圆的圆心和半径形式可以减少运算量，若已知与圆的圆心和半径有关的条件，应优先选择圆的标准形式有关的条件，应优先选择圆的标准形式.知能迁移知能迁移1 1（20092009辽宁）辽宁）已知圆已知圆C C与直线与直线x x-y y=0=0及及 x x-y y-4=0-4

12、=0都相切，圆心在直线都相切，圆心在直线x x+y y=0=0上上,则圆则圆C C的方的方 程为程为 （）A.A.（x x+1+1）2 2+(+(y y-1)-1)2 2=2=2 B.B.（x x-1-1）2 2+(+(y y+1)+1)2 2=2=2 C.C.（x x-1-1）2 2+(+(y y-1)-1)2 2=2=2 D.D.（x x+1+1）2 2+(+(y y+1)+1)2 2=2=2 解析解析 由题意可设圆心坐标为（由题意可设圆心坐标为（a a,-,-a a）,则则 ,解得解得a a=1=1，故圆心坐标为，故圆心坐标为 （1 1，-1-1），半径），半径r r=所以圆的方所以圆的

13、方 程为（程为（x x-1-1）2 2+(+(y y+1)+1)2 2=2.=2.B【例例2 2】(1212分分)已知实数已知实数x x、y y满足方程满足方程x x2 2+y y2 2-4-4x x+1=0.+1=0.（1 1）求）求y y-x x的最大值和最小值；的最大值和最小值；（2 2）求）求x x2 2+y y2 2的最大值和最小值的最大值和最小值.根据代数式的几何意义，借助于平面根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解几何知识，数形结合求解.解解 圆的标准方程为圆的标准方程为(x x-2)-2)2 2+y y2 2=3.=3.1 1分分（1 1）y y-x x可看作是

14、直线可看作是直线y y=x x+b b在在y y轴上的截距，当轴上的截距，当直线直线y y=x x+b b与圆相切时，纵截距与圆相切时，纵截距b b取得最大值或最取得最大值或最小值，小值，3 3分分 此时此时 解得解得b b=-2=-2 .5 .5分分所以所以y y-x x的最大值为的最大值为 最小值为最小值为 7 7分分思维启迪思维启迪题型二题型二 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题（2 2）x x2 2+y y2 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小

15、值点处取得最大值和最小值.9.9分分又圆心到原点的距离为又圆心到原点的距离为 1010分分所以所以x x2 2+y y2 2的最大值是的最大值是x x2 2+y y2 2的最小值是的最小值是 1212分分探探究究提提高高 与与圆圆有有关关的的最最值值问问题题，常常见见的的有有以以下下几几种种类类型型：(1 1)形形 如如 形形式式的的最最值值问问题题，可可转转化化为为动动直直线线斜斜率率的的最最值值问问题题；(2 2)形形如如t t=a ax x+b by y形形式式的的最最值值问问题题，可可转转化化为为动动直直线线截截距距的的最最值值问问题题；(3 3)形形如如（x x-a a）2 2+(y

16、 y-b b)2 2形形式式的的最最值值问问题题，可可转转化化为为动动点点到定点的距离的平方的最值问题到定点的距离的平方的最值问题.知能迁移知能迁移2 2 已知点已知点P P（x x，y y）是圆）是圆(x x+2)+2)2 2+y y2 2=1=1上上 任意一点任意一点.（1 1）求）求P P点到直线点到直线3 3x x+4+4y y+12=0+12=0的距离的最大值的距离的最大值 和最小值；和最小值；（2 2）求）求x x-2-2y y的最大值和最小值；的最大值和最小值；（3 3）求）求 的最大值和最小值的最大值和最小值.解解 （1 1）圆心）圆心C C（-2-2，0 0）到直线）到直线3

17、 3x x+4+4y y+12=0+12=0的的 距离为距离为 P P点到直线点到直线3 3x x+4+4y y+12=0+12=0的距离的最大值为的距离的最大值为 d d+r r=+1=+1=，最小值为，最小值为d d-r r=-1=.=-1=.（2 2）设）设t t=x x-2-2y y,则直线则直线x x-2-2y y-t t=0=0与圆（与圆（x x+2+2）2 2+y y2 2=1=1有公共点有公共点.t tmaxmax=-2=-2，t tminmin=-2-.=-2-.（3 3）设）设k k=则直线则直线kxkx-y y-k k+2=0+2=0与圆（与圆（x x+2+2）2 2+y

18、 y2 2=1=1有公共点，有公共点，题型三题型三 与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题【例例3 3】设定点设定点MM（-3-3，4 4），动点），动点N N在圆在圆x x2 2+y y2 2=4=4上运动，上运动，以以OMOM、ONON为两边作平行四边形为两边作平行四边形MONPMONP，求点，求点P P的轨迹的轨迹.解解 如图所示，设如图所示，设P P（x x，y y），），N N（x x0 0，y y0 0），则线段），则线段OPOP的中点坐标为的中点坐标为线段线段MNMN的中点坐标为的中点坐标为由于平行四边形的对角线互相平分，由于平行四边形的对角线互相平分，N N（x x+3+3，y

19、y-4-4）在圆上，故（）在圆上，故（x x+3+3）2 2+（y y-4-4）2 2=4.=4.因此所求轨迹为圆：因此所求轨迹为圆：(x x+3)+3)2 2+(+(y y-4)-4)2 2=4=4，但应除去，但应除去两点两点 (点点P P在直线在直线OMOM上时的情况上时的情况).).探究提高探究提高 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；定义法，根据圆、直线等定提供的条件列出方程；定义法，根据圆、直线等定义列方程；几何法，利用圆与圆的几何性质列方程义列

20、方程；几何法，利用圆与圆的几何性质列方程;代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等满足的关系式等.知能迁移知能迁移3 3 已知圆已知圆x x2 2+y y2 2=4=4上一定点上一定点A A（2 2，0 0），），B B（1 1，1 1）为圆内一点，）为圆内一点，P P，Q Q为圆上的动点为圆上的动点.（1 1）求线段）求线段APAP中点的轨迹方程；中点的轨迹方程；（2 2）若）若PBQPBQ=90=90，求，求PQPQ中点的轨迹方程中点的轨迹方程.解解（1 1）设）设APAP中点为中点为MM（x x，y y），由中点坐标公式），由

21、中点坐标公式 可知，可知，P P点坐标为（点坐标为（2 2x x-2,2-2,2y y）.P P点在圆点在圆x x2 2+y y2 2=4=4上，上，（2 2x x-2-2）2 2+（2 2y y）2 2=4.=4.故线段故线段APAP中点的轨迹方程为（中点的轨迹方程为（x x-1)-1)2 2+y y2 2=1.=1.（2 2）设）设PQPQ的中点为的中点为N N（x x，y y），），在在R RttPBQPBQ中，中，|PNPN|=|=|BNBN|，设，设O O为坐标原点，为坐标原点，连结连结ONON，则，则ONONPQPQ，所以所以|OPOP|2 2=|=|ONON|2 2+|+|PNP

22、N|2 2=|=|ONON|2 2+|+|BNBN|2 2所以所以x x2 2+y y2 2+(+(x x-1)-1)2 2+(+(y y-1)-1)2 2=4.=4.故故PQPQ中点中点N N的轨迹方程为的轨迹方程为x x2 2+y y2 2-x x-y y-1=0.-1=0.题型四题型四 圆的综合应用圆的综合应用【例例4 4】已知圆已知圆x x2 2+y y2 2+x x-6-6y y+m m=0=0和直线和直线x x+2+2y y-3=0-3=0交交 于于P P，Q Q两点，且两点，且OPOPOQOQ（O O为坐标原点），求为坐标原点），求 该圆的圆心坐标及半径该圆的圆心坐标及半径.解解

23、 方法一方法一 将将x x=3-2=3-2y y,代入方程代入方程x x2 2+y y2 2+x x-6-6y y+m m=0,=0,得得5 5y y2 2-20-20y y+12+12+m m=0.=0.设设P P（x x1 1,y y1 1）,Q Q(x x2 2,y y2 2),),则则y y1 1、y y2 2满足条件：满足条件：y y1 1+y y2 2=4,=4,y y1 1y y2 2=OPOPOQOQ,x x1 1x x2 2+y y1 1y y2 2=0.=0.而而x x1 1=3-2=3-2y y1 1,x x2 2=3-2=3-2y y2 2x x1 1x x2 2=9-

24、6(=9-6(y y1 1+y y2 2)+4)+4y y1 1y y2 2m m=3,=3,此时此时0,0,圆心坐标为圆心坐标为 ，半径，半径r r=.方法二方法二 如图所示，设弦如图所示，设弦PQPQ中点为中点为MM，O O1 1MMPQPQ，O O1 1MM的方程为的方程为y y-3=2-3=2即：即：y y=2=2x x+4.+4.由方程组由方程组解得解得MM的坐标为（的坐标为（-1-1，2 2）.则以则以PQPQ为直径的圆可设为（为直径的圆可设为（x x+1+1）2 2+（y y-2-2）2 2=r r2 2.OPOPOQOQ，点点O O在以在以PQPQ为直径的圆上为直径的圆上.（0

25、+10+1）2 2+（0-20-2）2 2=r r2 2，即，即r r2 2=5,=5,MQMQ2 2=r r2 2.在在R RttO O1 1MQMQ中，中，O O1 1Q Q2 2=O O1 1MM2 2+MQMQ2 2.m m=3.=3.半径为半径为 ,圆心为圆心为方法三方法三 设过设过P P、Q Q的圆系方程为的圆系方程为x x2 2+y y2 2+x x-6-6y y+m m+(+(x x+2+2y y-3)=0.-3)=0.由由OPOPOQOQ知，点知，点O O（0 0，0 0）在圆上）在圆上.圆系方程可化为圆系方程可化为x x2 2+y y2 2+x x-6-6y y+3 +3

26、+x x+2 +2 y y-3 =0-3 =0即即x x2 2+(1+)+(1+)x x+y y2 2+2(-3)+2(-3)y y=0.=0.又圆心在又圆心在PQPQ上上.+2 +2（3-3-）-3=0-3=0，=1=1，m m=3.=3.圆心为圆心为 半径为半径为 .（1 1）在解决与圆有关的问题中，借助）在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算化思路，简便运算.（2 2）本题中三种解法都是方程思想求）本题中三种解法都是方程思想求m m值，即三值，即三种解法围绕种解法围绕“列出列出m m的方程的方程”求

27、求m m值值.探究提高探究提高知能迁移知能迁移4 4 已知圆已知圆C C：（：（x x-1-1）2 2+(+(y y-2)-2)2 2=25=25及直及直 线线l l:(2:(2m m+1)+1)x x+(+(m m+1)+1)y y=7=7m m+4(+4(m mR R).).(1)(1)证明证明:不论不论m m取什么实数，直线取什么实数，直线l l与圆与圆C C恒相交恒相交;(2)(2)求直线求直线l l被圆被圆C C截得的弦长的最短长度及此时截得的弦长的最短长度及此时 的直线方程的直线方程.（1 1）证明证明 直线直线l l可化为可化为x x+y y-4+-4+m m(2(2x x+y

28、y-7)=0,-7)=0,即不论即不论m m取什么实数，它恒过两直线取什么实数，它恒过两直线x x+y y-4=0-4=0与与2 2x x+y y-7=0-7=0的交点的交点.两方程联立，解得交点为（两方程联立，解得交点为（3 3，1 1），），又有（又有（3-13-1）2 2+（1-21-2）2 2=5=525,25,点（点（3 3，1 1）在）在圆内部，圆内部，不论不论m m为何实数，直线为何实数，直线l l与圆恒相交与圆恒相交.（2 2）解解 从（从（1 1）的结论和直线）的结论和直线l l过定点过定点MM（3 3，1 1）且与过此点的圆且与过此点的圆C C的半径垂直时，的半径垂直时，l

29、 l被圆所截的弦被圆所截的弦长长|ABAB|最短，由垂径定理得最短，由垂径定理得|ABAB|=2|=2此时，此时，k kl l=-=-从而从而k kl l=-=2.=-=2.l l的方程为的方程为y y-1=2(-1=2(x x-3),-3),即即2 2x x-y y=5.=5.方法与技巧方法与技巧1.1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形选形 式、定参数式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根是求圆的方程的基本方法：是指根 据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定 其中的三个参数其中的三个参数.2.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆 的几何性质，简化运算的几何性质，简化运算.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失误与防范失误与防范1.1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设 哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.2.2.过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在 的情况的情况.返回返回