函数单调性与最大最小值（三）.ppt

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1、1.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间上的任意内的某个区间上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是增函数增函数.2.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间上的任意内的某个区间上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是减函数减函数.一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：复习与回顾复习与回顾判定函数

2、在某个区间上的单调性的判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤方法步骤:3.判断上述差的符号判断上述差的符号（各因式的符号）（各因式的符号）4.下结论下结论1.设设x1,x2给定的区间，且给定的区间，且x1x2;2.计算计算f(x1)f(x2)至最简至最简（化为因式的积）（化为因式的积）(若差若差0，则为增函数则为增函数;若差若差0，则为减函数则为减函数).“作差作差”、“化积化积”、“定符定符号号”！前面我们学习了函数的单调性，知道了在前面我们学习了函数的单调性，知道了在函数定义域的某个区间上函数定义域的某个区间上函数值的变化函数值的变化与与自变自变量增大量增大之间的关系，请大家看某市一天之间

3、的关系，请大家看某市一天24小时小时内的气温变化图内的气温变化图.(1)说出气温说出气温随时间变化的特点随时间变化的特点.从图象上看出从图象上看出0时时4时之间气温下降时之间气温下降,4时时14时之间气温逐步上升时之间气温逐步上升,14时时24时气温逐渐下降时气温逐渐下降.(2)某市这一天何时的气某市这一天何时的气温最高和何时的气温最低？温最高和何时的气温最低？14时时气气温温达达到到最最高高,4时气温达到最低时气温达到最低.(3)从从图图象象上上看看出出14时时的的气气温温为为全全天天的的最最高高气气温温,它它表表示示在在024时时之之间间,气气温温于于14时时达达到到最最大大值值,从从图图

4、象象上上看看出出,图图象象在在这这一一点点的的位位置置最最高高.这这就就是是本本节节课课我我们们要要研研究究函函数数最最大大、最最小小值问题值问题.设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为,如果存在实数如果存在实数M满足满足:(1)对于任意的对于任意的x I,都有都有f(x)M;(2)存在存在x0 I,使得使得f(x0)=M.则称则称M是函数的是函数的最大值最大值(maximumvalue)1.1.函数的最大值：函数的最大值：上面我们从直观的感受知道了最值的概念上面我们从直观的感受知道了最值的概念,下面给出严格的定义下面给出严格的定义.2.函函数数最最大大值值应应该该是是所所有有函函数数值值中

5、中最最大大(小小)的的,即对于任意的即对于任意的xI,都有都有f(x)M注注意意:1.函函数数最最大大值值首首先先应应该该是是某某一一个个函函数数值值,即存在即存在x0I,使得使得f(x0)=M；定定义义中中的的两两个个条条件件缺缺一一不不可可,只只有有(1)(1)没没有有(2)(2)不不存存在在最最大大值值点点,而而只只有有(2)没没有有(1),M不不一一定定是是函函数数y=f(x)的的最最大大值值.比比照照最最大大值值的的定定义义,最最小值是如何定义的小值是如何定义的?(1)对于任意的对于任意的x I,都有都有f(x)M;(2)存在存在x0 I,使得使得f(x0)=M.则称则称M是函数的是

6、函数的最小值最小值(minimum value)设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为,如果存在实数如果存在实数M满足满足:2.2.函数的最小值：函数的最小值：函函数数的的最最大大值值从从图图象象上上看看是是在在指指定定的的区区间间里里最最高高位位置置对对应应的的点点的的纵纵坐坐标标,好好象象有有一一种种一一览览众众山山小小的的情情景景.同同样样函函数数的的最最小小值值从从图图象象上上看看是是在在指指定定的的区区间间里里最最低低位位置置对对应应的的点点的的纵纵坐坐标，好像有一种坐井观天的情景标，好像有一种坐井观天的情景.请大家思考请大家思考,是否每个函数都有最大值是否每个函数都有最大值,最小

7、值？举例说明最小值？举例说明.一个一个函数不一定有最值函数不一定有最值.有的函数可能只有一个最大有的函数可能只有一个最大(或小或小)值值.如如果果一一个个函函数数存存在在最最值值，那那么么函函数数的的最最值值都都是是唯唯一一的的,但但取取最最值值时时的的自自变变量量可可以以有有多个多个.例例1.“菊菊花花”烟烟花花是是最最壮壮观观的的烟烟花花之之一一.制制造造时时一一般般是是期期望望在在它它达达到到最最高高点点时时爆爆裂裂.如如果果烟烟花花距距地地面面的的高度高度h m与时间与时间t s之间的关系为之间的关系为那那么么烟烟花花冲冲出出后后什什么么时时候候是是它它爆爆裂裂的的最最佳佳时时刻刻?这

8、这时时距地面的高度是多少距地面的高度是多少(精确到精确到1m)?例例1.“菊菊花花”烟烟花花是是最最壮壮观观的的烟烟花花之之一一.制制造造时时一一般般是是期期望望在在它它达达到到最最高高点点时时爆爆裂裂.如如果果烟烟花花距距地地面面的的高度高度h m与时间与时间t s之间的关系为之间的关系为那那么么烟烟花花冲冲出出后后什什么么时时候候是是它它爆爆裂裂的的最最佳佳时时刻刻?这这时时距地面的高度是多少距地面的高度是多少(精确到精确到1m)?解解:作出函数作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象的图象.则则函函数数图图象象的的顶顶点点就就是是烟烟花花上上升升的的最最高高点点，顶顶点点的

9、的横横坐坐标标就就是是烟烟花花爆爆裂裂的的最最佳佳时时刻刻,纵纵坐坐标标就就是是这这时时距距地地面的高度面的高度.由二次函数的知识由二次函数的知识,对于对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有我们有:答答:烟花冲出后烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻秒是它爆裂的最佳时刻,这时距这时距地面的高度为地面的高度为29m.例例1.“菊菊花花”烟烟花花是是最最壮壮观观的的烟烟花花之之一一.制制造造时时一一般般是是期期望望在在它它达达到到最最高高点点时时爆爆裂裂.如如果果烟烟花花距距地地面面的的高度高度h m与时间与时间t s之间的关系为之间的关系为那那么么烟烟花花冲冲出出后后什什么么时时候

10、候是是它它爆爆裂裂的的最最佳佳时时刻刻?这这时时距地面的高度是多少距地面的高度是多少(精确到精确到1m)?函数有最大值函数有最大值【1】求函数求函数y=x2-2x-1的值域和最值的值域和最值.(1)x0,3(2)x(2,4(3)x-2,-1 ymin=f(1)=-2,ymax=f(3)=2.值域值域-2,2ymax=f(4)=7.值域值域(-1,7ymax=f(-2)=7.值域值域2,7ymin=f(-1)=2,例例2.求函数求函数 在区间在区间2，6上的最上的最大值和最小值大值和最小值解解:设设x1,x2是区间是区间2,6上的任意两个实数上的任意两个实数,且且x1x2,则则由由2x1x20,

11、(x1-1)(x2-1)0,于是于是因此因此,函数函数在区间在区间2,6上的两个端上的两个端点上分别取得最大值和最小值点上分别取得最大值和最小值.所以所以,函数函数是区间是区间2,6上的减函数上的减函数.当当x=2时取最大值时取最大值当当x=6时取最小值时取最小值即即xyo123456132【3】在已知函数在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在在(-,-2上递减上递减,在在-2,+)上递增上递增,则则f(x)在在1,2上的上的值域值域_.21,49分析分析:设设则则确定确定正负号的关键正负号的关键,是是确定确定的正负号的正负号.由于由于x1,x2在同一区间内在同一区间内,要使要使则需则需要使

12、要使则需则需【4】求函数求函数的最大值的最大值.【4】求函数求函数的最大值的最大值.解解:任取任取x1,x2,x1,x2 2,4,且且x1x2,当当时时,所以所以函数函数f(x)在在2,4上是减函数上是减函数.同理同理函数函数f(x)在在4,10上是增函数上是增函数.解：解：函数函数在在2,4上是减函数上是减函数.所以所以f(x)在在2,4上有最大值上有最大值,函数函数在在4,10上是增函数上是增函数.所以所以f(x)在在4,10上有最大值上有最大值,所以函数所以函数f(x)在在2,10上的最大值是上的最大值是1.函数的最大函数的最大(小小)值的定义及几何意义值的定义及几何意义 2.三类函数的

13、最值的求法三类函数的最值的求法 利利用用二二次次函函数数的的性性质质(配配方方法法)求求函函数数的的最大最大(小小)值值.利用利用图象图象求函数的最大求函数的最大(小小)值值.利用利用函数单调性函数单调性求函数的最大求函数的最大(小小)值值如如果果函函数数y=f(x)在在区区间间a,b上上单单调调递递增增,则则函函数数y=f(x)在在x=a处处有有最最小小值值f(a),在在x=b处有最大值处有最大值f(b).函数在其定义域上的最大值函数在其定义域上的最大值,其几何其几何意义是图象上最高点的纵坐标意义是图象上最高点的纵坐标;最小值为最小值为图象上最低点的纵坐标图象上最低点的纵坐标.1.利用利用二

14、次函数二次函数的性质（的性质（配方法配方法）求函数的最）求函数的最 大大(小小)值值2.利用利用图象图象求函数的最大求函数的最大(小小)值值3.利用利用函数单调性函数单调性的判断函数的最大的判断函数的最大(小小)值值 如如果果函函数数y=f(x)在在区区间间a,b上上单单调调递递增增,则则函函数数y=f(x)在在x=a处处有有最最小小值值f(a),在在x=b处有处有最大值最大值f(b);如如果果函函数数y=f(x)在在区区间间a,b上上单单调调递递减减,在在区区间间b,c上上单单调调递递增增则则函函数数y=f(x)在在x=b处有处有最小值最小值f(b).利用函数单调性判断函数的最大利用函数单调性判断函数的最大(小小)值的方法值的方法【2】画出函数画出函数y=|x2-2x3|的图象的图象.解解:当当x2-2x-30,即即x1或或x3时时,y=x2-2x3=(x-1)24.当当x2-2x30,即即1x3时时,y=(x2-2x-3)=(x-1)2+4.xyo4-431-1