(精品)数学物理方法第十一章2012.ppt

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1、1贝塞耳（贝塞耳（17841846 17841846 年）德国年）德国天文学家及数学家，出生於天文学家及数学家，出生於德国德国的的 ，是第一个精确测定恆星距，是第一个精确测定恆星距离的人。他建立了一个一致的方离的人。他建立了一个一致的方法来计算恆星的位置。在法来计算恆星的位置。在18211821到到18331833年期间，他準确地测定了多年期间，他準确地测定了多颗恆星的位置，其中包括九等的颗恆星的位置，其中包括九等的暗星。另外，贝塞耳以视差法测暗星。另外，贝塞耳以视差法测量天鹅座量天鹅座 6161(61)(61)的距离的距离时，亦给与日心说最终肯定。时，亦给与日心说最终肯定。2柱坐标下拉普拉斯

2、方程=m2m阶虚宗量阶虚宗量贝塞尔方贝塞尔方程程m阶贝塞阶贝塞尔方程尔方程3球坐标下亥姆霍兹方程连带勒让德方程球函数方程球函数方程球函数方程球函数方程 xyzr l阶球贝塞阶球贝塞尔方程尔方程4贝塞耳方程：贝塞耳方程：虚宗量贝塞耳方程：虚宗量贝塞耳方程：球贝塞耳方程：球贝塞耳方程：（一）三类柱函数（一）三类柱函数（一）三类柱函数（一）三类柱函数(1)阶贝塞耳方程阶贝塞耳方程整数整数 阶阶贝塞耳函数贝塞耳函数另一个解另一个解阶阶贝塞耳函数贝塞耳函数通解：通解：11.1 11.1 三类柱函数三类柱函数三类柱函数三类柱函数5其中其中-函数函数定义为定义为它有它有递推关系递推关系：当当 x 为为 正整

3、数正整数(2)m 阶贝塞耳方程阶贝塞耳方程求和只能从求和只能从 开始开始。不再是通解不再是通解与与相互不独立。相互不独立。6诺依曼函数诺依曼函数阶贝塞耳方程的通解阶贝塞耳方程的通解又可以又可以写作写作m 阶贝塞耳方程的通解写作阶贝塞耳方程的通解写作为整数时为整数时0/0型型此类解称第一种和第二种此类解称第一种和第二种汉克尔函数汉克尔函数贝塞耳方程的通解贝塞耳方程的通解引入与前述二类引入与前述二类贝塞耳方程解之间贝塞耳方程解之间线性独立新解线性独立新解:7（二）（二）（二）（二）x x 0 0和和和和x x 渐近行为渐近行为渐近行为渐近行为 在研究圆柱内部问题时在研究圆柱内部问题时,“解在圆柱轴

4、上解在圆柱轴上(=0,即即x=0)应为应为有限有限”这个要求就成为自然的边界条件这个要求就成为自然的边界条件.按此条件按此条件,应舍去诺应舍去诺伊曼函数和负贝塞尔函数伊曼函数和负贝塞尔函数,只保留零阶和正阶贝塞尔函数只保留零阶和正阶贝塞尔函数8在研究圆柱外部问题时在研究圆柱外部问题时,两个线性独立特解都要保留两个线性独立特解都要保留.因为它们满足因为它们满足“解在无限远处解在无限远处(0,0,即即x)应为有限应为有限”9(三)递推公式 10例1 求下列微积分诺依曼函数、汉克尔函数满足同样关系。诺依曼函数、汉克尔函数满足同样关系。基本递推公式基本递推公式基本递推公式基本递推公式1112(一一)贝

5、塞尔函数与本征问题贝塞尔函数与本征问题 拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量，得到了方程拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量，得到了方程 （1）对另一本征值对另一本征值分三种情况：分三种情况：=0,0 和和0,0,则本征函数则本征函数:不过，不过，而而本征值本征值 (11)(11)其中其中 是是 的第的第个零点个零点.的零点在一般的数学用表中并未列出的零点在一般的数学用表中并未列出.的的特例特例还是容易得到的：还是容易得到的：由递推关系得由递推关系得 这样，这样，的的零点零点不过就是不过就是 的的零点零点19 至于至于m0m0的情况的情况,的零点的零点 可以利用可以利用递推公式递推公式这样这样 的

6、零点可从曲线的零点可从曲线 和和 的交点得出的交点得出 对于对于m0m0的情况的情况,的零点的零点 还可以用还可以用下面的公式计算下面的公式计算：其中其中20这个这个条件条件就是就是 (3)(3)第三类齐次边界条件第三类齐次边界条件记记 并引用（并引用（11.1.1011.1.10）可将上式改写为）可将上式改写为 其中其中 所以本征值所以本征值 是上式的第是上式的第n个根个根 21（二）（二）（二）（二）正交关系正交关系正交关系正交关系贝塞耳本征问题是贝塞耳本征问题是施图姆刘维尔本征值问题的特例施图姆刘维尔本征值问题的特例,（三）（三）（三）（三）模模模模对应于对应于三种不同三种不同的本征函数

7、带权的本征函数带权正交正交三种不同三种不同的本征函数，有的本征函数，有三种不同的模三种不同的模。或或2223B.第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件：C.第三类齐次边界条件第三类齐次边界条件：A.第一类齐次边界条件第一类齐次边界条件：由由24(四四)广义傅立叶贝塞尔级数广义傅立叶贝塞尔级数 按照施刘型本征值问题的性质，本征函数族按照施刘型本征值问题的性质，本征函数族 是是完备的完备的，可作为，可作为广义傅立叶级数展开的基广义傅立叶级数展开的基 定义在区间定义在区间 上的函数上的函数 可以展开为广义的可以展开为广义的 傅立叶贝塞尔级数傅立叶贝塞尔级数 其中其中广义傅氏系数广义傅氏系数 25几个有

8、用的公式：几个有用的公式：由递推公式由递推公式傅立叶傅立叶傅立叶傅立叶-贝塞耳积分贝塞耳积分贝塞耳积分贝塞耳积分的情况的情况26例例2 2利用递推公式求积分利用递推公式求积分27例例3 3 在区间在区间 上，以上，以 为基，把函数为基，把函数 （常数）展开为傅里叶贝塞尔级数（常数）展开为傅里叶贝塞尔级数.解解其中系数其中系数由由第一类边界条件所对应的模公式第一类边界条件所对应的模公式(11.2.11)(11.2.11)给出给出 本征值本征值 而而 是是0 0阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数 的第的第 个零点个零点.28这样这样 令令 则则 故故29(五)贝塞尔函数的母函数（生成函数）在 内把内把解析函

9、数解析函数注意注意 此处的此处的x为为参变数参变数，不是复变数，不是复变数z的的实部实部展开为罗朗级数展开为罗朗级数.30对于固定的对于固定的z ，以上两级数在，以上两级数在且可按任意方式并项且可按任意方式并项 称 为为贝塞尔函数贝塞尔函数的的母函数（或生成函数）母函数（或生成函数）内是可以相乘的，内是可以相乘的，31这公式是函数这公式是函数 的的傅氏余弦展开式傅氏余弦展开式.平面波用柱面波的形式展开平面波用柱面波的形式展开当当x=kr为为实数实数时，在物理意义上时，在物理意义上,上式可以理解为上式可以理解为用柱面波来表示平面波用柱面波来表示平面波，并可写为，并可写为32(六).加法公式利用利

10、用母函数母函数公式公式 比较两边比较两边zm项的系数，即得项的系数，即得加法公式加法公式33(七)整数阶贝塞尔函数的积分表达式贝塞尔函数的积分表达式利用母函数公式和罗朗展式的系数表达式，得到利用母函数公式和罗朗展式的系数表达式，得到 C是围绕是围绕z=0点的任意一条闭曲线点的任意一条闭曲线 34如果取如果取C为单位圆，则在为单位圆，则在C上，有上，有从而得到从而得到 其中积分式中的其中积分式中的 的项已的项已被省去被省去.因为在因为在0,20,2 上其积分为零上其积分为零 上式就是上式就是整数阶贝塞尔函数的积分表达式整数阶贝塞尔函数的积分表达式当当m=0m=0时时,35在前面一节中，我们提到拉

11、普拉斯方程在柱坐标系下的在前面一节中，我们提到拉普拉斯方程在柱坐标系下的 虚宗量贝塞尔方程也称为修正贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程也称为修正贝塞尔方程分离变量方程，在分离变量方程，在 的情况下，的情况下，应满足应满足 虚宗量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程即即若令若令 ，代入上方程，代入上方程 11.4 11.4 虚宗量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程得到得到贝塞尔方程形式贝塞尔方程形式 定义虚宗量贝塞尔方程的解具有下列形式定义虚宗量贝塞尔方程的解具有下列形式 式中式中 的引入是为了确保的引入是为了确保 是实函数是实函数.36利用利用 的级数形式的级数形式:称为称为 阶阶第一类虚宗量贝塞尔函数第一类虚宗量贝塞

12、尔函数.也称为也称为第一类修正贝塞尔函数第一类修正贝塞尔函数37讨论讨论 (1)(1)当当 整数时，方程整数时，方程(20.4.1)(20.4.1)的通解为的通解为 (20.4.5)C,D为任意常数为任意常数.(2)(2)当当取任意值时取任意值时由于任意值中可能包含由于任意值中可能包含=m整数整数.根据 线性相关 38又称为又称为麦克唐纳麦克唐纳(Macdonale)函数函数，或或第二类修正贝塞尔函数第二类修正贝塞尔函数 这样定义后，不管这样定义后，不管 是否为整数，是否为整数，和和 一起总能构成虚宗量贝塞尔方程一起总能构成虚宗量贝塞尔方程(20.4.1)的两个线性无关的通解的两个线性无关的通

13、解 故得到当故得到当 取任意值时球贝塞尔方程的取任意值时球贝塞尔方程的通解通解为为 (任意值任意值)其中其中 C,DC,D是两任意常数是两任意常数 为为阶阶第二类虚宗量贝塞尔函数，第二类虚宗量贝塞尔函数，因此要求方程因此要求方程 (20.4.1)(20.4.1)的的通解通解，必须先求出与，必须先求出与 线性无关的线性无关的另一特解另一特解.为此我们定义为此我们定义39(一)第一类虚宗量贝塞尔函数的性质 由第一类虚宗量贝塞尔函数的级数形式（由第一类虚宗量贝塞尔函数的级数形式（20.4.420.4.4）知）知 m=奇数奇数为奇函数为奇函数 m=偶数偶数 为偶函数为偶函数（1）特殊值（2）由）由级级

14、数表达式知，当数表达式知，当是大于零的是大于零的实实数数时时，所有的项都是正的所有的项都是正的 没有实零点没有实零点;40(3)递推公式递推公式(二二)第二类虚宗量贝塞尔函数的性质第二类虚宗量贝塞尔函数的性质根据定义式根据定义式(20.4.5)(20.4.5)，给出当，给出当=m整数时的级数形式：整数时的级数形式：41递推公式：是是欧拉常数欧拉常数.4211.5 11.5 球贝塞尔方程球贝塞尔方程用球坐标系对亥姆霍兹方程进行分离变量，得常微分用球坐标系对亥姆霍兹方程进行分离变量，得常微分方程方程称为称为l 阶阶球贝塞尔方程球贝塞尔方程因为对于因为对于k0把自变量把自变量r和函数和函数R(r)分

15、别换作分别换作x和和y(x),，令令 则则即为（即为（l+1/2 l+1/2）阶贝塞尔方程）阶贝塞尔方程而对于而对于k=0,上上式退化为式退化为欧拉欧拉型方程型方程,解为解为 43(一)球贝塞尔方程的解 根据并贝塞尔方程根据并贝塞尔方程(20.5.2(20.5.2）的解，可得）的解，可得球贝塞尔方球贝塞尔方程程(20.5.1)(20.5.1)的两个线性独立解的两个线性独立解为为或或再将它们每一个乘以再将它们每一个乘以 即得到下列定义：即得到下列定义：(20.5.3)44称之为称之为球贝塞尔方程的解球贝塞尔方程的解，并且称，并且称 第三类球贝塞尔函数或球汉克尔函数第三类球贝塞尔函数或球汉克尔函数

16、可定义为可定义为 为第一类球贝塞尔函数第一类球贝塞尔函数，为第二类球贝塞尔函数第二类球贝塞尔函数或球诺依曼函数球诺依曼函数(20.5.4)45球贝塞尔方程的球贝塞尔方程的通解通解为为或或 (20.5.5)(20.5.6)其中其中C,DC,D为两个任意实数为两个任意实数(二二)球贝塞尔函数的级数表示球贝塞尔函数的级数表示根据球贝塞尔函数的定义式和贝塞尔函数的级数表示得到根据球贝塞尔函数的定义式和贝塞尔函数的级数表示得到 (20.5.7)和 （20.5.8）46根据贝塞尔函数的根据贝塞尔函数的递推公式递推公式（20.3.720.3.7）：）：得得 并取并取 故有故有(20.5.10)(20.5.1

17、0)这就是从这就是从 和和 推算推算 递推公式递推公式(三三)球贝塞尔函数的递推公式球贝塞尔函数的递推公式若用若用代表球贝塞尔函数或球诺伊曼函数或球汉克尔函数，代表球贝塞尔函数或球诺伊曼函数或球汉克尔函数，47(四)球贝塞尔函数的初等函数表示式贝塞尔函数贝塞尔函数 式（式（20.5.920.5.9）反复应用递推公式反复应用递推公式，我们就得出所有的，我们就得出所有的 初等函数表示式初等函数表示式.至于至于半奇数阶的诺伊曼函数半奇数阶的诺伊曼函数，按其定义有，按其定义有48改用球诺伊曼函数 在上式中，依次置在上式中，依次置 和和球贝塞尔函数球贝塞尔函数 表出，表出，（20.5.1220.5.12

18、）即得即得 （20.5.13）49对（对（20.5.1120.5.11）和（）和（20.5.1320.5.13）分别反复应用递推公式）分别反复应用递推公式(20.5.10)(20.5.10)，得到得到(五五)球形区域内的球贝塞尔方程的本征值问题球形区域内的球贝塞尔方程的本征值问题 球贝塞尔方程（球贝塞尔方程（20.5.120.5.1）写成施图姆刘维尔型即是）写成施图姆刘维尔型即是50左边最后一项的系数左边最后一项的系数 这里的这里的k2是是本征值本征值，r2是是权重函数权重函数 方程在方程在r=0有自然边界条件，应取有自然边界条件，应取而舍弃而舍弃 还应满足球面还应满足球面 上的上的第一、第二或第一、第二或第三类齐次边界条件第三类齐次边界条件，这就决定了，这就决定了本征值本征值 51决定球贝塞尔函数的边界条件决定球贝塞尔函数的边界条件往往化为往往化为贝塞尔函数贝塞尔函数 本征函数族本征函数族 的的边界条件来求解边界条件来求解 对应对应不同本征值的本征函数不同本征值的本征函数在区间在区间 0,r0 上上带权重带权重 r2正交正交，（(20.5.15)是是完备完备的，的，可作为可作为广义傅立叶展开的基广义傅立叶展开的基,(20.5.16)其中系数式中式中(20.5.18)52