(精品)有限元_非线性.ppt

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1、第八章第八章 非线性问题非线性问题8.1 两类非线性问题两类非线性问题材料非线性：材料本构关系非线性引起。可分为两类：（1）非线性弹性问题（橡皮、塑料、土壤等），过程可逆；（2）非线性弹塑性问题：材料屈服以后表现，过程不可逆。二者加载同，卸载不同。几何非线性：大位移、大转动引起。（板壳结构大挠度问题，锻压成型）大位移小应变问题材料线性；大位移大应变问题材料非线性，双重非线性。8.2 8.2 非线性问题基本解决思路非线性问题基本解决思路材料非线性：材料非线性：方程形式不变，将材料本构关系线性化，分段求解，将线性问题的方程推广用于非线性问题。几何非线性：通常采用几何非线性：通常采用增量分析法，建立

2、变化位的平衡方程。有两种表达格式：（1）在整个分析过程中参考位保持不变，始终取初始位，称为完全Lagrange格式；（2）在整个分析过程中参考位不断被更新，参考前面每一步荷载步开始的位形，称为修正Lagrange格式。求解方法：直接迭代法(割线刚度法)、N-R法或mN-R法(切线刚度法)、初应力法、初应变法和增量法（切线、初应力、初应变增量，主要用于弹塑性分析）。8.3 非线性方程求解方法结构整体平衡方程：（1）假定初始近似解：（2）由本构关系求出（3）由平衡方程求得下一步近似解：（4）重复（2）和（3），直到两次结果非常接近。1、直接迭代法（割线刚度）初始线弹性解RP-凸时收敛，凹时可能发散

3、。2、N-R法（切线刚度）任何具有一阶导数的连续函数(x)，在xn点的一阶Taylor展开：非线性方程(x)=0在xn附近的近似方程是线性方程Newton-Raphson迭代公式针对结构平衡方程：()=K-R=F()-R=0利用N-R公式，有：每次迭代需要修改K。迭代过程修正N-R方法(等刚度法)，每次迭代不改变它的刚度值始终取初始刚度，计算量小，但收敛慢些。N-R法的另一种改进荷载增量法：把荷载分成很多小的荷载步，在每一个荷载步上使用一次或都多次N-R方法。实质上是分段线性化。3、初应力法 如果材料的应力-应变关系可以表示成即由应变确定应力，设想用具有初应力的线弹性物理方程代替上式：调整初应

4、力值，可以做到上述两式得到的应力相同。式中：KT0为结构的起始切线刚度矩阵，F为与初应力等价的节点荷载 改写平衡方程迭代过程弹性解8.4 材料非线性本构关系 8.4.1 材料弹塑性行为弹塑性：卸载后存在不可恢复的残余变形。它与非线性弹性材料有显著区别：加载同，卸载不同。硬化：屈服后应力随应变继续增加；卸载后再加载屈服应力提高，一般等于卸载时的应力。各种硬化塑性特征各项同性硬化：反向加载的屈服应力与正向卸载点应力数字上相等。随动硬化：卸载点应力与反向加载的屈服应力绝对值之和等于2倍初始屈服应力。混合硬化：介于上二者。循环塑性特征循环硬松弛循环塑性一般表现循环硬化循环蠕变8.4.2 塑性力学的基本

5、法则 1、米赛斯（Von Mises）屈服准则 材料在复杂应力状态下的等效应力达到单向拉伸的屈服极限时，材料开始屈服。于是，米赛斯屈服条件可写成：式中等效应力为几何上以1=2=3为轴线的圆柱面。或用一般应力表示 等效应力还可用应力偏量表示为 式中 2、应变强化、应变强化假定材料进入屈服后，总应变增量可分成弹性的和塑性两部分对应于等效应力，定义等效应变为2、硬化法则、硬化法则各项同性硬化 运动硬化Prager，Zeigler修正对应于塑性应增量的等效应变称为塑性等效应增量，因为塑性变形不产生体积变化，泊松比为 0.5，故有 材料进入屈服以后，进行卸载或部分卸载后在加载，新的屈服应力仅与卸载前的等

6、效塑性应变总量有关。新的屈服只有当等效应力适合才发生。上式为等向硬化材料的米赛斯准则，反映等向强化材料屈服和强化之间的关系。H为强化阶段的曲线斜率。3、普朗特-路斯（Prandtl-Reuss）塑性流动理论 如果将等向强化米赛斯准则式写成则F可以看成n维应力空间的一个曲面，称为屈服面。对于金属一类材料，塑性应变增量和屈服面之间存在如下关系 上式可以解释为塑性应变增量“向量”垂直于n维应力空间的屈服面。称为普朗特-路斯流动法则 3、应力-应变关系 当应力产生一微小增量时，总应变增量可分解成弹性的和塑性的两部分 根据强化材料米赛斯准则和普朗特-路斯流动法则 上式可化为 等效塑性应变增量和总应变增量

7、的关系式DP记增量形式的弹性应力-应变关系Dep 通常称为弹性矩阵 8.5 弹塑性问题的求解方法弹塑性问题的求解方法 采用增量法。假设可以按比例地施加载荷，将结构的弹性极限载荷作为第一个增量，其余的载荷再分成若干等分；如果实际载荷不是按比例施加的，可根据实际情况确定载荷增量。当材料进入塑性后，当材料进入塑性后，只要载荷增量适当小，应力增量和应变增量的关系只要载荷增量适当小，应力增量和应变增量的关系可视为线性可视为线性，近似地表示成常用的方法有增量切线刚度法、增量初应力法等。1、增量切线刚度法 弹性阶段为初值，迭代公式2、初应力法 初应力转化得到的等效节点荷载，矫正荷载。第n级荷载增量步的迭代公式例8-1E，A，L，s杆I弹塑性，杆II弹性。求3sA作用下2点位移。