(精品)概率论与数理统计随机变量函数的分布.ppt

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1、比如，某厂的电机的噪声电压比如，某厂的电机的噪声电压比如，某厂的电机的噪声电压比如，某厂的电机的噪声电压V V 的密度分布：的密度分布：的密度分布：的密度分布：求功率求功率求功率求功率 W=V2/R (R R 为电阻为电阻为电阻为电阻)的分布的分布的分布的分布.在实际应用中，人们常常对随机变量的函数在实际应用中，人们常常对随机变量的函数在实际应用中，人们常常对随机变量的函数在实际应用中，人们常常对随机变量的函数感兴趣感兴趣感兴趣感兴趣.概率论与数理统计概率论与数理统计v随机变量的函数随机变量的函数是一个这样的随机变量，若随机变量Y 满足：Y=g(X)则称随机变量Y 是X 的随机变量的函数。概率

2、论与数理统计概率论与数理统计v设随机变量 X 的分布已知，Y=g(X)(设g 是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？v例例1 离散型随机变量X的分布律如下：概率论与数理统计概率论与数理统计0.40.10.30.2P210-1X解解X-1012Y4101P0.20.30.10.4概率论与数理统计概率论与数理统计所以Y的分布律为：Y014P0.10.70.2v例例2 加油站代营出租车业务，每出租1辆车收入3元。该油站每天要付出60元工职。每天出租汽车数X的分布律如下：概率论与数理统计概率论与数理统计X10203040P0.150.250.450.15求加油站获利的概率。解解 纯收入Y=

3、3 X 60获利的概率：0.45+0.15=0.60概率论与数理统计概率论与数理统计v设连续型随机变量设连续型随机变量 X X 的密度函数的密度函数f f(x)(x)已已知知，Y=g Y=g(X X)，如何由如何由X X的分布求出的分布求出Y Y的的密度密度函数函数？v通常有两种方法通常有两种方法：分布函数法分布函数法；（；（通法通法）“公式法公式法”。求随机变量的概率密度。概率论与数理统计概率论与数理统计解解 Y的分布函数FY(y)为FY(y)=P Y y =P(2X+8 y)=P X =FX()v例例例例3 3 设随机变量X具有概率密度 概率论与数理统计概率论与数理统计于是于是Y 的密度函

4、数的密度函数复合函数求导法则复合函数求导法则故故概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计v例例4 设随机变量Xe(1),即 解解概率论与数理统计概率论与数理统计求导，得求导，得 从上述两例中可以看到，在求从上述两例中可以看到，在求P(Yy)的过程中，的过程中，关键的一步是设法从关键的一步是设法从 g(X)y 中解出中解出X X,从而得到与从而得到与 g(X)y 等价的等价的X X 的不等式的不等式 。这样做是为了利用已知的这样做是为了利用已知的 X X的分布，从而求出的分布，从而求出相应的概率相应的概率。这就是这就是这就是这就是分布函数法分布函数法分布函数法分布函数法。

5、例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y 用用 代替代替 X2 y 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计v例例5 已知随机变量X N(0,1)。解解概率论与数理统计概率论与数理统计v例例6 已知随机变量X解解定理定理定理定理1 1 设随机变量设随机变量具有概率密度具有概率密度又设函数又设函数处处可导，且处处可导，且（或（或），），是连续型随机变量，其概率密度为：是连续型随机变量，其概率密度为：则则其中其中是函数是函数的反函数的反函数.概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计v例例例例7 7 7 7 设随机变量 ，证明解解概率论与数理统计概率论

6、与数理统计能不能将上述随机变量单独分别进行研究能不能将上述随机变量单独分别进行研究能不能将上述随机变量单独分别进行研究能不能将上述随机变量单独分别进行研究 由于同一对象的不同指标之间往往是有一定联由于同一对象的不同指标之间往往是有一定联由于同一对象的不同指标之间往往是有一定联由于同一对象的不同指标之间往往是有一定联系的，所以应该把它们作为一个整体来看待。系的，所以应该把它们作为一个整体来看待。系的，所以应该把它们作为一个整体来看待。系的，所以应该把它们作为一个整体来看待。家庭衣食住行的花费分别为家庭衣食住行的花费分别为家庭衣食住行的花费分别为家庭衣食住行的花费分别为X X X X1 1 1 1

7、,X X X X2 2,X X X X3 3,X X X X4 4。某企业的利润率某企业的利润率某企业的利润率某企业的利润率X X X X 、总资产周转率总资产周转率总资产周转率总资产周转率Y Y Y Y 与与与与资金流动比率资金流动比率资金流动比率资金流动比率Z Z Z Z。概率论与数理统计概率论与数理统计CET4CET4CET4CET4的听力成绩的听力成绩的听力成绩的听力成绩X X X X1 1 1 1，词汇成绩词汇成绩词汇成绩词汇成绩X X X X2 2 2 2，阅读阅读阅读阅读成绩成绩成绩成绩X X X X3 3 3 3，写作成绩写作成绩写作成绩写作成绩X X X X4 4 4 4。v

8、在试验E 中如果定义了两个随机变量X、，则它们构成的向量（X，）叫做二维随机二维随机变量变量。概率论与数理统计概率论与数理统计v由于X,Y之间往往是有一定联系的，所以应该把它们作为一个整体来看待。因而要研究X，的联合分布联合分布。联合分布函数的定义联合分布函数的定义 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计yo(x,y)(X,Y)概率论与数理统计概率论与数理统计如何利用分布函数计算概率如何利用分布函数计算概率如何利用分布函数计算概率如何利用分布函数计算概率概率论与数理统计概率论与数理统计（1）F(x,y)是变量是变量 x,y 的的单调非单调非减函数，即减函数，即 对于任

9、意固定的对于任意固定的 y,且且对于任意固定的对于任意固定的 x,当当 y1 y2时，时，对于任意固定的对于任意固定的 x,（3 3）F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0)。对于任意固定的对于任意固定的 y,当当 x1 x2时，时，概率论与数理统计概率论与数理统计v若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)所取的可能值是有所取的可能值是有限对或可数对限对或可数对,则称则称(X,Y)为为二维离散型随二维离散型随机变量机变量.概率论与数理统计概率论与数理统计二维联合分布律的性质：二维联合分布律的性质：概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 Y X0100.30.310.30.1概率论与数理统计概率论与数理统计求边缘分布。v例例7 已知二维分布(X,Y)分布律如下：Y X01p.j00.30.30.610.30.10.4pi.0.60.4概率论与数理统计概率论与数理统计