第三讲 行列式的性质、行列式的计算.ppt

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1、 第三讲第三讲一、行列式的性质一、行列式的性质二、行列式的计算二、行列式的计算(1)第一章第一章 行行 列列 式式1一、行列式的性质一、行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.注：行列式中行与列地位相同，对行成立的性注：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质对列也成立，反之亦然质对列也成立，反之亦然.记记 D=2如：如：显然，显然，性质性质2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.例如例如3又如又如 性质性质3 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列

2、)的各元素与其的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和对应的代数余子式乘积之和.如：如：（分别按第一行、第三列展开）（分别按第一行、第三列展开）.4性质性质4 行列式任一行（列）的元素与另一行行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即零，即综上，得重要公式：综上，得重要公式：推论推论1 1 如果行列式有两行（列）完全相同，如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零则此行列式为零.证明证明:互换相同的两行，有互换相同的两行，有 5性质性质5 5 用数用数 乘行列式的某一行（列）中所有乘行列式的某一行（列）中所有的元素，

3、等于用数的元素，等于用数 乘此行列式乘此行列式.6 如：如：推论推论2 2行列式的某一行（列）中所有元素的公行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面因子可以提到行列式符号的外面推论推论3 3 行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零7性质性质6 6若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和,则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如8性质性质7 7把行列式的某一行（列）的各元素乘以把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，

4、同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变行列式不变 (对行对行 (列列)倍加运算，其值不变倍加运算，其值不变)由上述例子可以看出由上述例子可以看出，选择适当的选择适当的k，可以使得后面一个可以使得后面一个行列式的行列式的(3,1)元素为元素为0.由此可知，多次运用此性质可以由此可知，多次运用此性质可以将一个行列式化为上三角行列式将一个行列式化为上三角行列式.9二、行列式的计算二、行列式的计算 行列式的基本运算符号：行列式的基本运算符号：1.交换两行交换两行(列列)：交换第：交换第 i 行和第行和第 j 行，记作行，记作 ；交换第；交换第 i 列和第列和第 j 列，记作列，记作 .2

5、.以数以数 k 乘行列式的某一行乘行列式的某一行(列列)：以数：以数k乘行乘行列式的第列式的第 i 行记作行记作 ；以数；以数k乘行列式的乘行列式的第第 i 列，记作列，记作 10计算行列式常用方法：利用行列式的性质把行列计算行列式常用方法：利用行列式的性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值3.3.某一行某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列):):第第i行的行的k倍加到第倍加到第j行，记作行，记作 第第i列的列的k倍加到第倍加到第j 列列,记作记作 .注意记号注意记号 与与 是不同的是不同的.行列式经过记号行列式经过记号 表示的运算，行列式中只有第表示的运算，行列式中只有第 j 行的元素改变了行的元素改变了.利用行列式性质计算：利用行列式性质计算：目标目标化为三角形行列式化为三角形行列式11