matlab 6数值计算.ppt

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1、第六章 MATLAB的数值计算 matlab 具有出色的数值计算能力，占据世界上数值计算软件的主导地位 一、代数方程组求解matlab中有两种除运算左除和右除。对于方程ax=b，a 为amn矩阵，有三种情况：当n=m时，此方程成为“恰定”方程 当nm时，此方程成为“欠定”方程 matlab定义的除运算可以很方便地解上述三种方程1.恰定方程组的解方程ax=b(a为非奇异)x=a-1 b 矩阵逆两种解:x=inv(a)b 采用求逆运算解方程 x=ab 采用左除运算解方程 方程ax=ba=1 2;2 3;b=8;13;x=inv(a)*b x=ab x=x=2.00 2.00 3.00 3.00 =

2、a x =b例:x1+2x2=8 2x1+3x2=132.超定方程组的解方程 ax=b,mn时此时不存在唯一解。方程解(a a)x=a b x=(a a)-1 a b 求逆法 x=ab matlab用最小二乘法找一 个准确地基本解。例:x1+2x2=1 2x1+3x2=2 3x1+4x2=3a=1 2;2 3;3 4;b=1;2;3;解1 x=ab 解2 x=inv(aa)a b x=x=1.00 1.00 0 0.00 =a x =b3.欠定方程组的解 当方程数少于未知量个数时,即不定情况,有无穷多个解存在。matlab可求出两个解：一个是用除法求的解，是具有最多零元素的解一个是具有最小长度

3、或范数的解，这个解是基于伪逆pinv求得的。x1+2x2+3x3=1 2x1+3x2+4x3=2a=1 2 3;2 3 4;b=1;2;x=ab x=pinv(a)b x=x=1.00 0.83 0 0.33 0 -0.17=a x =b借助matlab提供的函数，处理多项式是一件非常简单的事情，很容易对多项式进行积分、微分以及求根的操作。一元多项式在代数中占有非常重要的地位。在实际应用中如对实验数据的插值、微商和曲线拟合等，都要大量用到多项式；在矩阵分析时，也要用到一元多项式的概念。多项式函数是形式最简单的函数，也是最容易计算的函数，从理论上讲，它可以表示绝大多数复杂函数。在许多计算机的计算

4、和编程中，很多函数值如sin(x),cos(x)等的计算都是先将函数进行Tailor展开为多项式进行逼近计算的，并且都能达到很高的精度。二、二、多项式运算及其求根多项式运算及其求根鉴于MATLAB无零下标，故把多项式的一般形式表达为：在MATLAB中可以用长度n+1的行向量表示为：1.多项式求根多项式求根命令格式：x=roots(A)。这里A为多项式的系数A(1),A(2),A(N),A(N+1)；解得的根赋值给数组X，即X(1),X(2),X(N)。【例例6 6】试用ROOTS函数求多项式x4+8x3-10的根这是一个4次多项式，它的五个系数依次为：1,8,0,0,-10。下面先产生多项式系

5、数的向量A，然后求根：A=1 8 0 0-10A=1 8 0 0 -10 x=roots(A)x=-8.0194 -0.5075+0.9736i -0.5075-0.9736i 1.0344 2.多项式的建立多项式的建立若已知多项式的全部根，则可以用POLY函数建立起该多项式；也可以用POLY函数求矩阵的特征多项式。POLY函数是一个MATLAB程序，调用它的命令格式是：A=poly(x)若x为具有N个元素的向量，则poly(x)建立以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋值给向量A。在此种情况下，POLY与ROOTS互为逆函数；若x为NN的矩阵x，则poly(x)返回一个向量赋值给A，该向量

6、的元素为矩阵x的特征多项式之系数：A(1),A(2),A(N),A(N+1)。【例例7 7】试用POLY函数对例7.8所求得的根，建立相应的多项式。x=-8.0194 -0.5075+0.9736i -0.5075-0.9736i 1.0344;z=poly(x)z=1.0000 8.0000 0.0000 0.0000 -9.99963.求多项式的值求多项式的值POLYVAL函数用来求代数多项式的值，调用的命令格式为：Y=polyval(A,x)本命令将POLYVAL函数返回的多项式的值赋值给Y。若x为一数值，则Y也为一数值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。【例例

7、8 8】以4次多项式、分别取x=1.2和下面的矩阵的23个元素为自变量计算该多项式的值。A=1 8 0 0-10;%例7.8的4次多项式系数x=1.2;%取自变量为一数值y1=polyval(A,x)y1=-5.8976x=-1 1.2-1.4;2-1.8 1.6%给出一个矩阵xy1=polyval(A,x)y1=-17.0000 5.8976 -28.1104 70.0000 -46.1584 29.32164.多项式的四则运算多项式的四则运算(1)多项式加、减多项式加、减对于次数相同的若干个多项式，可直接对多项式系数向量进行加、减的运算。如果多项式的次数不同，则应该把低次的多项式系数不足的

8、高次项用零补足，使同式中的各多项式具有相同的次数。(2)多项式乘法多项式乘法若A、B是由多项式系数组成的向量，则CONV函数将返回这两个多项式的乘积。调用它的命令格式为：C=conv(A,B)命令的结果C为一个向量，由它构成一个多项式。求4次多项式与多项式2x2-x+3的乘积。A=1 8 0 0-10;B=2-1 3B=2 -1 3C=conv(A,B)C=2 15 -5 24 -20 10 -30本例的运行结果是求得一个6次多项式2x6+15x5-5x4+24x3-20 x2+10 x-30(3)多项式除法多项式除法当A、B是由多项式系数组成的向量时，DECONV函数用来对两个多项式作除法运

9、算。调用的命令格式为：Q,r=deconv(A,B)本命令的结果：多项式A除以多项式B获商多项式赋予Q（也为多项式系数向量）；获余项多项式赋予r（其系数向量的长度与被除多项式相同，通常高次项的系数为0）。DECONV是 CONV的 逆 函 数，即 有A=conv(B,Q)+r。【例例1010】试用4次多项式与多项式2x2-x+3相除。A=1 8 0 0-10;B=2-1 3;P,r=deconv(A,B)P=0.5000 4.2500 1.3750r=0 0 0 -11.3750 -14.1250商多项式P为0.5x2+4.25x+1.375，余项多项式r为-11.375x-14.125。po

10、lyder()多项式微分k=polyder(p)求多项式p的微分多项式k=polyder(a,b)求a x b的微分q,d=polyder(b,a)：求有理分式b/a的微分q：分子多项式d：分母多项式(4).多项式微分例：a=1 2 3 4 5;poly2str(a,x)ans=x4+2 x3+3 x2+4 x+5b=polyder(a)b=4 6 6 4poly2str(b,x)ans=4 x3+6 x2+6 x+410、多项式的积分g=1,6,20,48,69,72,44h=polyder(g)q=polyint(h,44)q=polyint(p,k)对多项式p积分，k为积分常数q=pol

11、yint(p)对多项式p积分，积分常数为0也可以用p./(length(p):-1:1),k来完成积分其中k为常数项例：a=1 2 3 4 5;b=polyder(a)b=4 6 6 4c=b./(length(b):-1:1),0c=1 2 3 4 0 三、三、拟合与插值拟合与插值1.多项式拟合：用一个多项式来逼近一组给定的数据。拟合的准则是最小二乘法x0=0:0.1:1;y0=-.447 1.978 3.11 5.25 5.02 4.66 4.01 4.58 3.45 5.35 9.22;p=polyfit(x0,y0,3)p=56.6915 -87.1174 40.0070 -0.904

12、3xx=0:0.01:1;yy=polyval(p,xx);plot(xx,yy,-b,x0,y0,or)polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数，polyval函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。polyfit函数的调用格式为：P,S=polyfit(X,Y,m)函数根据采样点X和采样点函数值Y，产生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量S。其中X,Y是两个等长的向量，P是一个长度为m+1的向量，P的元素为多项式系数 polyval(P,x)按多项式的系数计算x点多项式的值.已知数据表t,y，t=0,1.7,2.9,3.5,4.8,6.9,7.3,8.6,9.4,10.2

13、y=5.6,7.8,14,18,19.6,18.6,17.6,15.4,12.5,14试求2次拟合多项式p(t)，然后求ti=1,1.5,2,2.5,9.5,10各点的函数近似值。解：源程序如下T=0,1.7,2.9,3.5,4.8,6.9,7.3,8.6,9.4,10.2Y=5.6,7.8,14,18,19.6,18.6,17.6,15.4,12.5,14P=polyfit(T,Y,2)ti=1:0.5:10yi=polyval(P,ti)plot(T,Y,r,ti,yi,b)多项式拟合时的注意事项在进行曲线拟合时对多项式阶次的选择是任意的。虽然高阶的多项式可以更准确地拟合数据（仅指该曲线与

14、给定的数据之间的均方误差最小），但在进行曲线拟合时，并不需要采用太高阶的多项式，这主要基于以下原因：1、越是高阶的多项式其数值特性越差，计算起来也越耗时；2、随着多项式阶次的升高，拟合的曲线变的越来越不平滑，通常会出现用户不愿意看到的局部波形；3、由于数据本身的近似性，因此在进行数据拟合时没有必要仅仅考虑使拟合的曲线无限接近数据点，而要在曲线的阶次合均方误差之间综合考虑，因为越是高阶的多项式在物理实现时越困难。从数学原理上，n+1个数据点可以惟一定义一个n次曲线（或n阶多项式）。2.插值插值是根据数据点的规律，找到一个多项式可以连接两个点，插值得出两个数据点之间的数值。当不能很快地求出所需中间

15、点的函数时，插值是一个非常有价值的工具。Matlab提供了一维、二维、三次样条等许多插值选择y1=interp1(x,y,x1,方法);例：x=0:10;y=sin(x);xx=0:.25:10;yy=spline(x,y,xx);yy=interp1(x,y,xx,spline);plot(x,y,o,xx,yy)Y1=interp1(X,Y,X1,method)函数根据X,Y的值，计算函数在X1处的值。X,Y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。method是插值方法，允许的取值有linear、nearest、c

16、ubic、spline。注意：X1的取值范围不能超出X的给定范围，否则，会给出“NaN”错误。用不同的插值方法计算在/2点的值。x=0,0.5,0.8,1.5,1.9,2.3y=4,5,8,9,6,3 y1=spline(x,y,pi/2)y1=8.5931e+000y2=interp1(x,y,pi/2,linear)y2=8.4690e+000某观测站测得某日6:00时至18:00时之间每隔2小时的室内外温度()，用3次样条插值分别求得该日室内外6:30至17:30时之间每隔2小时各点的近似温度()。解：设时间变量h为一行向量，温度变量t为一个两列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列储存室

17、外温度。命令如下：h=6:2:18;t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30;XI=6.5:2:17.5YI=interp1(h,t,XI,spline)%用3次样条插值计算二维数据插值 在MATLAB中，提供了解决二维插值问题的函数interp2，其调用格式为：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z是与参数采样点对应的函数值，X1,Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。method的取值linear、nearest、cubic、spline

18、X,Y,Z也可以是矩阵形式。同样，X1,Y1的取值范围不能超出X,Y的给定范围，否则，会给出“NaN”错误。某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测试。用x表示测量点0:2.5:10(米)，用h表示测量时间0:30:60(秒)，用T表示测试所得各点的温度()。试用线性插值求出在一分钟内每隔20秒、钢轨每隔1米处的温度TI。x=0:2.5:10;h=0:30:60;T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41;xi=0:10;hi=0:20:60;TI=interp2(x,h,T,xi,hi)四、泛函命令函数句柄方便地实现函数间互相调用兼容函数加载的

19、所有方式拓宽子函数包括局部函数的使用范围提高函数调用的可靠性减少程序设计中的冗余提高重复执行的效率数组、结构数组、细胞型数组结合定义数据函数句柄的创建和显示 定义函数句柄的定义只需在提示符后添加相应函数的函数名 f_h=plot函数句柄的内容通过functions显示 functions(f_h)ans=function:plot type:overloaded file:MATLAB built-in function methods:1x1 struct matlab的函数类型 simple 未加载的内部函数、m文件 overloaded 加载的内部函数、m文件 subfunction 子

20、函数 constructor matlab类的创建函数 private 局部函数函数句柄与函数名字符串转换 func2str 函数名字符串转换函数句柄 funh=str2func(det)funh=det str2func 函数句柄转换函数名字符串 func2str(funh)ans=det(1)内联函数inline(string,arg1,arg2)例：f=inline(sin(x),x);f(1:10)(2)函数句柄h=fun 或 h=str2func(fun)例：f=aaa;f(0:pi/100;2*pi)1、寻优函数求单变量函数最小值x,y=fminbnd(h_fun,x1,x2)x,

21、y=fminbnd(fun,x1,x2)其中：y是计算出的函数最小值x是函数最小值的自变量值h_fun是函数句柄fun为函数名字符串x1、x2是自变量取值范围例：x=fminbnd(fun_name,2,5)x=fminbnd(sin(x)+3,2,5)x=fminbnd(x)sin(x)+3,2,5)f=inline(sin(x)+3,x);x=fminbnd(f,2,5)2、寻优函数求多变量函数无约束最小值（单纯形法）x,y=fminsearch(h_fun,x0)x,y=fminsearch(fun,x0)其中：y是计算出的函数最小值向量x是函数最小值的自变量值向量x0是最小值点的初始猜

22、测值求:min f(x)=100(x2-x12)2+(1-x1)2banana=(x)100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2;x0=-1.2,1;x,fval=fminsearch(banana,x0)x=1.0000 1.0000fval=8.1777e-010473、求过零点：x=fzero(h_fun,x0)x=fzero(fun,x1,x2)求函数在x0点附近或x1、x2之间的过零点（或等于某个常数点）的自变量值4、数值积分：x=quad(h_fun,x1,x2)x=quad8(fun,x1,x2)x1、x2为积分上下限5、执行函数：y1,y2,=feval(h_fun,

23、x1,x2,)y1,y2,=feval(fun,x1,x2,)直接执行函数习题习题1已知某班的5名学生的三门课成绩列表如下：学生序号 1 2 3 4 5 高等数学 78 89 64 73 68 外语 83 77 80 78 70MATLAB语言 82 91 78 82 68试写出有关命令，先分别找出三门课的最高分及其学生序号；然后找出三门课总分的最高分及其学生序号。2针对上小题的成绩表，求出其三门课总分存入数组ZF，再利用SORT命令对之按降序排序，同时把相应的学生序号存入数组XH。习题习题3今有多项式P1(x)=x4-2x+1,P2(x)=x2+4x-0.5，要求先求得P(x)=P1(x)+P2(x)，然后计算xi=0.2*i各点上的P(xi)（i=0,1,2,5）值。4.练习多项式拟合与插值