第六章 中心力场 12.ppt

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1、第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun ReviewReview微观全同粒子具有不可分辨性，任何两个粒子交换，量子态不变,第1页全同粒子波函数，要么对称（Bose子），要么反对称（Fermi 子）。P表示对不同单粒子态的粒子进行对换的置换。第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第2页交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列对调，由行列式性质可知，行列式要变号，故是反对称化波函数。Pauli 不相容原理 不能有两个全同的Fermi子处在相同的状态。第6章 中心力场 Quantum Mechanics

2、Fang Jun Fang Jun 第六章第六章 中心力场中心力场教学内容教学内容第3页1 中心力场中粒子运动的 一般性质2 无限深球方势阱3 三维各向同性谐振子4 氢原子第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 1 中心力场中粒子运动的中心力场中粒子运动的 一般性质一般性质一、角动量守恒与径向方程何谓中心力场 粒子的受力经过某个固定的中心（力心），其势能只是粒子到力心的距离r r的函数，即V(r)V(r)，为球对称势。（例如Coulomb场）第4页设质量为的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：经典理论中，中心力场中运动粒子角动量守恒，粒子

3、运动为平面运动。第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 对于势能只与 r r 有关而与,无关的有心力场，使用球坐标求解较为方便。第5页l,H=0,l2,H=0l l及l2均为守恒量径向动能离心势能第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 取体系(自由度3)的力学量完全集为第6页求解中心力场中粒子的能量本征方程径向方程可写为：第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 求解方程时，可作以下替换，使得计算更方便，令：第7页不同中心力场V(r)，不同Rl(r)（l

4、(r)）；方程中没有出现磁量子数m，能量本征值E与m无关。与l有关，给定l，m有2l+1个取值，中心力场的简并度一般为2l+1.选取对易守恒量完全集(H,l l2,lZ)之后，同一能级的各简并态就可标记清楚。第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 一定边界条件下求解径向方程，可求得能量本征值E及本征函数。非束缚态，E连续变化。束缚态，E取离散值。由于束缚态下边界条件，出现径向量子数nr,nr=0,1,2,，（代表波函数节点数），E依赖于nr和l，记为Enrl，l一定，E随nr增大而增大。nr一定，E随l（离心势能）增大而增大。光谱学习惯，把（l=

5、0,1,2,3,4,5,6）的态记为s,p,d,f,g,h,i.第8页第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 径向波函数在径向波函数在r0r0邻邻域内的渐进行为域内的渐进行为假定V(r)满足第9页变为设当r0，第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 在任何体积元找到粒子的概率应为有限值。当r0，若Rl(r)1/ra，要求a=1时，Rl(r)r-(l+1)不满足要求。l=0时，R0(r)Y001/r，但此解并不满足能量本征方程第10页r0时，只有Rl(r)rl是物理上可以接受的。等价地，要求径向方程的

6、一个定解条件。第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 两体问题化为单体问题两体问题化为单体问题 实际碰到的中心力场问题，通常是两体问题。两个质量分别为m1和m2的粒子，相互作用V(|r r1-r r2|)=V(r)只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程,第11页ET为体系的总能量。引入质心坐标R和相对坐标r 1xl+r1r2rR 2OyzI I 一个具有约化质量的粒子在场中的运动一个具有约化质量的粒子在场中的运动 II II 二粒子作为一个整体的质心运动。二粒子作为一个整体的质心运动。第6章 中心力场 Quantum MechanicsF

7、ang Jun Fang Jun 可以证明：第12页证明：第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第13页以上结果带入到两粒子能量本征方程，第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 分离变量第14页描述质心运动（自由粒子能量本征方程）平面波解描述相对运动，E 是相对运动能量（单粒子能量本征方程）两体问题 单体问题第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun Review 中心力场中粒子运动一般性质中心力场中粒子运动一般性质1.中心力场 V(r)球对称势2.经典

8、力学中，角动量守恒，平面运动3.量子力学中，l,H=0,ll,H=0,l2 2,H=0,H=0第15页第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第16页当r0，r0时，只有Rl(r)rl是物理上可以接受的。等价地，要求两体问题化为单体问题 第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 2 无限深球方势阱无限深球方势阱考虑质量为的粒子在半径为a的球形匣子中运动。这相当于粒子在一个无限深球方势阱中运动，(束缚态)第17页考虑s态（l=0）。径向方程势阱内部，第6章 中心力场 Quantum MechanicsF

9、ang Jun Fang Jun 方程的解可以表示为 sin(krsin(kr)的形式，再根据r=ar=a处的边界条件，sin(kasin(ka)=0)=0,有第18页粒子能量本征值为归一化，第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun l0l0时，径向方程为第19页引入无量纲变量=krkr,球Bessel方程，解可取为球Bessel函数j jl l()与球Neumann 函数 n nl l(),),0 0时时，球方势阱的解取为第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 当a取有限值时，k只能取一系列离散值，

10、令jl()=0的根为第20页粒子的能量本征值为相对应的径向本征函数为第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun L Ln nr r0 01 12 23 3023414.4937.72510.90414.06625.7679.09512.32315.51536.98810.41713.69816.924第21页10第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun A5.合流超几何函数合流超几何函数合流超几何微分方程为第22页，为参数。在z0邻域，令y=zs,可得第6章 中心力场 Quantum MechanicsF

11、ang Jun Fang Jun s=0 时的级数解，第23页要求方程左边各次项为0，由此可得c0=1,得出级数解，合流超几何函数第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第24页k,ck/ck-11/k，这与ez的幂级数展开系数比值一致，s=1-时级数解为第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 3 三维各向同性谐振子三维各向同性谐振子质量为的粒子在三维各向同性谐振子势V(r)中运动，第25页是刻画势阱强度的参量。径向方程为，r=0的邻域，物理上可以接受的径向波函数的渐近行为是r时，自然单位，=1第6

12、章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 束缚态边界条件要求第26页方程的解写为化为合流超几何方程。第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 方程有两个解，第27页u2，是物理上不能接受的解。方程的解只能为无穷级数解合流超几何函数第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 要满足束缚态边条件，要求F(F(,)中断为 一个多项式。要求=0or=0or负整数第28页这就要求这就是三维各向同性谐振子的能量本征值。第6章 中心力场 Quantum MechanicsFan

13、g Jun Fang Jun 能级简并度能级均匀分布，间隔。能级一般是简并的，能量本征值只依赖于nr和l的特殊组合N=2nr+l.给定能级EN,nr=0,1,2,3,，(N-1)/2orN/2l=N-2nr=N,N-2,N-4,N-6,1(N奇)or0(N偶)N偶时，能级简并度（N奇同样结果）第29页径向波函数为归一化后第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 直角坐标系直角坐标系采用直角坐标系，三维各向同性谐振子可分解为相同的三个彼此独立的一维谐振子第30页本征函数可以分离变量，相当于选取（Hx,Hy,Hz）为对易守恒量完全集，共同本征态为第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 相应的能量本征值为第31页能级简并度给定 N，nx=0,1,2,，N-1,Nny+nz=N,N-1,N-2,，1,0(ny,nz)种数 N+1,N,N-1,，2,1能级简并度为第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 练习练习（习题5.7）中心力场V(r)中粒子运动的径向方程可以写为第32页利用Feynman-Hellmann 定理（p.95,习题4.7）证明对处在能量本征态下的三维各向同性谐振子，