人教版高一数学函数及其性质 新课标 人教必修一.ppt
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1、 函数及其性质函数及其性质2021/8/9 星期一1知识要点知识要点一、映射与函数一、映射与函数1.1.映射映射 设设A A,B B是是两两个个集集合合,如如果果按按照照某某种种对对应应法法则则f f,对对于于集集合合A A中中的的每每一一个个元元素素,在在集集合合B B中中都都有有惟惟一一的的元元素素和和它它对对应应,那那么么这这样样的的单单值值对对应应叫叫做做集集合合A A到到集集合合B B的的映映射射,记记作作f:ABf:AB.给给 定定 一一 个个 集集 合合 A A到到 B B的的 映映 射射,如如 果果aA,bB.aA,bB.且且元元素素a a和和元元素素b b对对应应,那那么么,
2、我我们们把把元元素素b b叫叫做做元元素素a a的的象象,元元素素a a叫叫做做元元素素b b的的原象原象2021/8/9 星期一22.2.函数函数一一般般地地,设设A A、B B是是两两个个非非空空的的数数集集,如如果果按按某某种种对对应应法法则则f f ,对对于于集集合合A A中中的的每每一一个个元元素素,在在集集合合B B中中都都有有唯唯一一的的元元素素y y和和它它对对 应应,这这 样样 的的 对对 应应 叫叫 做做 从从 A A到到 B B的的 一一 个个 函函 数数,通通常常记记为为y=f(x),xAy=f(x),xA .A.A称称为为函函数数的的定定义义域域,y,y的集合的集合C
3、 B C B 称为函数的称为函数的值域值域.即即函函数数是是由由一一个个非非空空数数集集到到另另一一个个非非空数集的映射空数集的映射.定定义义域域、对对应应法法则则是是函函数数的的两两大大要要素素,值值域域是是由由定定义义域域和和对对应应法法则则所所确确定定的的第第三三要素要素.对应法则是函数的核心。对应法则是函数的核心。2021/8/9 星期一33.3.函数的图象函数的图象 C C (1)定义定义:在平面直角坐标系中,:在平面直角坐标系中,以以函函数数 y=f(x),(xA)A)中中的的x为为横横坐坐标标,函函数数值值y为为纵纵坐坐标标的的点点P(x,y)的的集集合合C,叫叫做做函函数数 y
4、=f(x),(x A)A)的图象的图象 C上上每每一一点点的的坐坐标标(x,y)均均满满足足函函数数关关系系y=f(x),反反过过来来,以以满满足足y=f(x)的的每每一一组组有有序序实数对实数对x、y为坐标的点为坐标的点(x,y),均在均在C上上.即即C=P(x,y)|y=f(x),xA A C 一一般般的的是是一一条条光光滑滑的的连连续续曲曲线线(或或直直线线),也也可可能能是是由由与与任任意意平平行行与与Y轴轴的的直直线线最最多多只只有有一个交点的若干条曲一个交点的若干条曲线线或离散点或离散点组组成成.2021/8/9 星期一4 (2)画法画法 1、描点法描点法;根据函数解析式和定义域,
5、求出根据函数解析式和定义域,求出x,y的的一些对应值并列表,以一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标为坐标在坐标系内描出相应的点系内描出相应的点P(x,y),最后用平滑的,最后用平滑的曲线将这些点连接起来曲线将这些点连接起来.利用这种方法作图时,要与研究函数利用这种方法作图时,要与研究函数的性质结合起来的性质结合起来 进行,以简化过程进行,以简化过程.2、图象变换法图象变换法(三角函数讲)(三角函数讲)常用变换方法有三种,常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换即平移变换、伸缩变换和对称变换 2021/8/9 星期一5(3)作用:1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法
6、分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。2021/8/9 星期一64.函数的表示法:函数的表示法:解析法:便于算出函数值解析法:便于算出函数值 列表法:便于查出函数值列表法:便于查出函数值 图象法:便于量出函数值图象法:便于量出函数值 2021/8/9 星期一75、分段函数、分段函数(见课本(见课本P31例例3)在定义域的不同部分上有不同的解析表在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。必须把自变量代入相应的表达式。6、复合函数、复合函数(见课本(见课本P29思考。运用)思考。运用)如果如果
7、y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),M),u=g(x),(xA),且且g(x)M,g(x)M,则则 y=fg(x)=F(x)y=fg(x)=F(x),(xA)(xA)称为称为f f、g g的复合函数。的复合函数。2021/8/9 星期一8二、函数的定义域二、函数的定义域1.能使函数式有意义的实数能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的的集合称为函数的(自然)定义域自然)定义域.2.求函数的定义域时列不等式组的主要求函数的定义域时列不等式组的主要依据依据是:是:(1)分式的分母不等于零;分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真
8、数必须大于零;对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合 而成的而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义那么,它的定义域是使各部分都有意义 的的x的值组成的集合的值组成的集合.(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题 有意义有意义.3、求出不等式组的解集即为函数的定义域。、求出不等式组的解集即为函数的定义域。2021/8/9 星期一9三、函数的值域与最值三、函数的值域与最值1、函数的值域取决于定义域和对
9、应法则,、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域考虑其定义域.2.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础解复杂函数值域的基础.3.求函数值域的常用方法有:直接法、反求函数值域的常用方法有:直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等法、判别式法、单调性法等.2021/8/9 星期一104、函数的最值2021/8/9 星期一11四、函数的解析表
10、达式1.1.函函数数的的解解析析式式是是函函数数的的一一种种表表示示方方法法,要要求求两两个个变变量量之之间间的的函函数数关关系系时时,一一是是要要求求出出它它们们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.2.求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数时,可用待定系数法;已知复合函数fg(x)的表的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时
11、,也可用凑配法;若已知当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出出f(x)2021/8/9 星期一12五五.函数的单调性函数的单调性 1、定义、定义:设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为 A:区间区间I A,如如果果对对于于区区间间I上上的的任任意意两两个个自自变变量量的的值值x1,x2,当当x1x2时时,都都有有f(x1)f(x2),那那么么就就说说f(x)在在区区间间 I上是上是增函数增函数.区间区间I称为称为y=f(x)的单调增区间的单调增区间;如果对于区间如果对于区间I上的任意两个自变量的值上
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