人教版高三数学高考复习强化双基系列课件36《等差数列与等比数列的综合问题》课件人教.ppt

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1、2010届高考数学复习强化双基系列课件 2021/8/9 星期一136等差数列与等比数列的综合问题2021/8/9 星期一2 课课 前前 热热 身身1.观观察察数数列列：30，37，32，35，34，33，36，()，38的特点，在括号内适当的一个数是的特点，在括号内适当的一个数是_.2.若若关关于于x的的方方程程x2-x+a=0和和x2-x+b=0(a,bR且且ab)的的四四个根组成首项为个根组成首项为1/4的等差数列，则的等差数列，则a+b的值为的值为()A.3/8 B.11/24 C.13/24 D.31/72 3.等等比比数数列列an的的各各项项都都是是正正数数，且且a2,a3/2,a

2、1成成等等差差数数列，则列，则(a5+a6)/(a4+a5)的值是的值是()A.B.C.D.或或 31DA2021/8/9 星期一34.等等 比比 数数 列列 an中中，a4+a6=3，则则a5(a3+2a5+a7)=_ 5.在在等等差差数数列列an中中，若若a4+a6+a8+a10+a12=120,则则2a10-a12的的值值为为()A.20 B.22 C.24 D.28 C9 课课 前前 热热 身身2021/8/9 星期一4考点一考点一:等差数列等差数列 的概念、通项公式和的概念、通项公式和 前前n n项和公式项和公式.1.1.等差数列的定义等差数列的定义 如如果果一一个个数数列列从从第第

3、二二项项起起，每每一一项项与与它它的的前前一一项项的差等于同一个常数，的差等于同一个常数，这这个数列叫做等差数列个数列叫做等差数列.2.2.通项公式通项公式 等差等差 an=a1+(n-1)d3.前项和公式前项和公式 Sn=a1+a2+a3+an =2021/8/9 星期一5【典型例题【典型例题1】设数列设数列an的前项和为的前项和为Sn=n2+2n+4(nN)(1)写出写出a1，a2，a3；(2)证明证明:数列数列an除去首项后所成的数列除去首项后所成的数列a2,a3,a4,是是等等差数列差数列.评评:由于由于a2-a1=5-7=-2,an+1-an=-2故不对任意成立，数列故不对任意成立，

4、数列an不是不是等差数列等差数列.【同类变式】【同类变式】设数列设数列un是公差不为是公差不为0的的等差数列等差数列,u,u1111=u=u5151,u,u2020=22,=22,设数列设数列un的前项和为的前项和为Sn，uun n 的前项和为的前项和为Tn.(1)求求u31的值的值;(2)求求Tn的表达式的表达式.2021/8/9 星期一6考点二：考点二：等差数列的等差数列的性质：性质：1.1.等差中项等差中项 如果在如果在a a、b b中间插入一个数中间插入一个数A A，使，使a a、A A、b b成等差成等差数列，则数列，则A A叫叫a a、b b的等差中项的等差中项A A(a+b)(a

5、+b)/2 2m+n=p+q2.am+anap+aq(等差数列等差数列)3.等差数列中等差数列中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,Skn-S(k-1)n成等差数列成等差数列.4.若若kn成等差数列成等差数列,则则akn成等差数列成等差数列.2021/8/9 星期一7【典型例题【典型例题2】在等差数列中，在等差数列中，Sn表示表示an的前项和的前项和.(1)a3+a17=10,求求S19的值；的值；(2)a1+a2+a3+a4=100,an+an-1+an-2+an-3=156,Sn=224,求项数求项数n;(3)S4=1,S8=4,求求a17+a18+a19+a20的值的值.【同类变式】【同

6、类变式】一个等差数列的前一个等差数列的前12项和为项和为354,前前12项中项中偶数项和与奇数项和之比为偶数项和与奇数项和之比为32:27,求公差求公差d.d=5由由S偶偶-S奇奇=6d,2021/8/9 星期一8考点三：考点三：求求Sn的最大（小）值的最大（小）值(1)在等差数列在等差数列an中，中，a10,d0，则，则Sn有最大值，若有最大值，若a10，则则Sn有最小值有最小值.(2)求求Sn的最值的几种方法的最值的几种方法:由由 转化为二次函数求最值转化为二次函数求最值;利用利用 则则Sn为最大为最大.2021/8/9 星期一9【典型例题【典型例题3】在等差数列在等差数列an中中 (1)

7、若若a10,S4=S9,求求Sn取最大值时取最大值时,n的值的值;(2)a1=15,S4=S12,求求Sn的最大值的最大值.【同类变式】【同类变式】若数列若数列an是等差数列是等差数列,数列数列bn满足满足bn=anan+1an+2(nN+),bn的前项和为的前项和为,若若an中满中满足足3a5=8a120,试问试问n多大时多大时,Sn取得最大值取得最大值?证明你的证明你的结论结论.解析：解析：3a5=8a120,3a5=8(a5+7d),解得解得a5=0 ,d0,a17a2a3a16 0 a17 a18 而而 b15=a15a16a17 0.S14S13S1,S14S15,S150,a18=

8、0,a15 0 S16S14,故故Sn中中S16最大最大 .评：评：解此题的关键是确定数列的单调性，利用不等式组解此题的关键是确定数列的单调性，利用不等式组 ，探讨，探讨 中的正负关系。中的正负关系。若数列若数列an是等差数列是等差数列,数列数列bn满足满足bn=anan+1an+2(nN+),bn的前项和为的前项和为Sn,若若an中满中满足足3a5=8a120,试问试问n多大时多大时,Sn取得最大值取得最大值?证明你的结证明你的结论论b1b2b3b14 0 b17 b182021/8/9 星期一11考点四考点四考点四考点四:等比数列等比数列 的概念、通项公式和前的概念、通项公式和前n n项和

9、公式项和公式.1.1.等比数列的定义等比数列的定义 如如果果一一个个数数列列从从第第二二项项起起，每每一一项项与与它它的的前前一一项项的的比比等于同一个常数，等于同一个常数，这这个数列叫做等个数列叫做等比比数列数列.2.2.通项公式通项公式 an=a1 qn-1 3.前项和公式前项和公式 Sn=a1+a2+a3+an =2021/8/9 星期一12【典型例题【典型例题4】数列数列an与与bn的通项公式分别为的通项公式分别为an=2n,bn=3n+2,它们的公共项由小到大排成的数列是它们的公共项由小到大排成的数列是cn.(1)写出写出cn前前5项；项；(2)证明证明cn是等比数列是等比数列.【同

10、类变式】【同类变式】（1）已知数列）已知数列cn，其中，其中cn=2n+3n，且数，且数列列cn+1-tcn为等比数列，求常数为等比数列，求常数t;(2)设设an、bn是公比不相等的两个等比数列，是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，证明数列证明数列cn不是等比数列。不是等比数列。评：评：依定义或通项公式，判定一个数列为等差或等比数列，是依定义或通项公式，判定一个数列为等差或等比数列，是数列中的基本问题之一。数列中的基本问题之一。提示提示（1）(2-t)(3-t)2n3n=0 p=2或或p=3.（2）为证）为证cn不是等比数列只需证不是等比数列只需证c22c1c32021/8/9 星期

11、一13考点五：考点五：等等比比数列的数列的性质：性质：1.1.等比中项等比中项 如果在如果在a a、b b中间插入一个数中间插入一个数G G，使，使a a、G G、b b成等差数成等差数列，则列，则G G 叫叫a a、b b的等差中项的等差中项G G2 2ababm+n=p+q2.amanapaq(等比数列等比数列)4.等差比列中等差比列中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,Skn-S(k-1)n成等比数列成等比数列.5.若若kn成等差数列成等差数列,则则 成等比数列成等比数列.3.a1an=a2an-1=akan-k+1=若若an0,a1a2 an=2021/8/9 星期一14 6.6.重要

12、性质：重要性质：m+n=p+qam+anap+aq(等差数列等差数列)amanapaq(等比数列等比数列)(m、n、p、qN*)特别地特别地 m+n=2pam+an2ap(等差数列等差数列)amana2p(等比数列等比数列)知识要点知识要点2021/8/9 星期一15【典型例题【典型例题5】在等比数列在等比数列an中中,Sn表示前表示前n项和项和.(1)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求求n和公比和公比q;(2)Sn=2,S2n=12,求求S3n.【同类变式】【同类变式】在在1/n和和n+1之间插入之间插入n个正数个正数,使这使这n+2个数依次成等比数列个数依次成等比数列

13、,求所插入的求所插入的n个数之积个数之积.解：解：设这设这n个数为个数为x1，x2，x3，xn，且公比为，且公比为q，则有，则有=qn+1=n(n+1),xk=qk n (k=1,2,3,n)x1 x2x3xn=(qq2q3qn)nn2021/8/9 星期一16【典型例题【典型例题6】设等比数列设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是倍，且第二项与第四项的积是第第3项与第项与第4项和的项和的9倍，问数列倍，问数列lgan的前多少项和最大？的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=

14、0.4)解法一：解法一：设设公比公比为为q,项项数数为为2m,mN*,依依题题意有意有化简得化简得 设数列设数列lgan前前n项和为项和为Sn,则则Sn=lga1+lga1q2+lga1qn1=lga1nq1+2+(n1)=nlga1+n(n1)lgq =n(2lg2+lg3)n(n1)lg3=()n2+(2lg2+lg3)n.可见，当可见，当n=Sn最大最大.=5.5,故故lgan的前的前5项和最大项和最大.2021/8/9 星期一17设等比数列设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项

15、的积是第倍，且第二项与第四项的积是第3项与第项与第4项和的项和的9倍，问数列倍，问数列lgan的前多少项的前多少项和最大？和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)解法二：接前，解法二：接前，于是于是lgan=lg108()n1=lg108+(n1)lg 数列数列lgan是以是以lg108为首项，以为首项，以lg 为公差的等差数列，为公差的等差数列，令令lgan0,得得2lg2(n4)lg30,n=5.5 .由于由于nN*,可见数列可见数列lgan的前的前5项和最大项和最大.1.等比数列等比数列an的首的首项项a1=1,前前n项项和和为为Sn,若若 ，则则 Sn等于等于()C.2 D.2B 2

16、021/8/9 星期一182.已知已知a,b,a+b成等差数列，成等差数列，a,b,ab成等比数列，且成等比数列，且0logm(ab)0,S13a2a3a12a13 ,因此，在因此，在S S1 1，S S2 2，S S1212中中S Sk k为最大值的条件为：为最大值的条件为：5.(1)5.(1)解：依题意有：解：依题意有：ak0且且ak+10,a3=12,d 0,2 k3 d3 ,4,得得5.5k7.解之得公差解之得公差d d的取值范围为的取值范围为 d d3.3.因为因为k是正整数，所以是正整数，所以k=6,即在即在S1，S2，S12中，中，S6最大最大.解法二：由解法二：由d d0 0得

17、得a1 1 a a2 2a a1212 a a1313，因此，若在，因此，若在11k k1212中有自中有自然数然数k k,使得使得ak k0,0,且ak+10,2021/8/9 星期一20则Sk是S1，S2，S12中的最大值.由等差数列性质得，当m、n、p、qN*,且m+n=p+q时，am+an=ap+aq.所以有：2a7=a1+a13=S130,a70,a7+a6=a1+a12=S120,a6a70,故在S1，S2，S12中S6最大.解法三：依题意得：最小时，Sn最大；d3,6 (5 )6.5.从而，在正整数中，当n=6时，n (5 )2最小，所以S6最大.点评：该题的第(1)问通过建立不

18、等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.第(2)问难度较高，为求Sn中的最大值Sk,1k12,思路之一是知道Sk为最大值的充要条件是ak0且ak+10，思路之三是可视Sn为n的二次函数，借助配方法可求解.它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解.2021/8/9 星期一216.已知数列已知数列an为为等差数列，公差等差数列，公差d0,由由an中的部分中的部分项组项组成的成的数列数列a,a,a,为为等比数列，其中等比数列，其中b1=1,b2=5,b3=17.(1

19、)求数列求数列bn的通的通项项公式；公式；(2)记记Tn=C b1+C b2+C b3+C bn,求求解：解：(1)(1)由题意知由题意知a a5 52 2=a a1 1a a1717，即即(a a1 1+4+4d d)2 2=a a1 1(a a1 1+16+16d d)a a1 1d d=2=2d d 2 2,d d0,0,a a1 1=2=2d d,数列数列 的公比的公比q q=3=3 =a a1 133n n1 1 又又 =a a1 1+(+(b bn n1)1)d d=由由得得a a1 133n n1 1=a a1 1.a a1 1=2=2d d0,0,b bn n=23=23n n

20、1 11.1.(2)(2)T Tn n=C =C b b1 1+C +C b b2 2+C +C b bn n =C (23=C (230 01)+C (231)+C (231 11)+C (231)+C (23n n1 11)1)=(C +C 3=(C +C 32 2+C 3+C 3n n)(C +C +C )(C +C +C )=(1+3)n1(2n1)=4n2n+,2021/8/9 星期一222021/8/9 星期一237 7(2006(2006北大附中中学内部试卷北大附中中学内部试卷)设设aak k 为等差数列，为等差数列，公差为公差为d d，a ak k0 0，k k1 1，2 2，

21、2n2n1 1(1)(1)证明证明a a a a2n2n1 1aa2n2n1 1；(2)(2)记记b bk k ，试证，试证lg blg b1 1lg blg b2 2lg blg bn n lg a lg a2n2n1 1 lg a lg a1 1(1)(1)证明：证明：a a a a2 2n n1 1a a2n2n1 1 a a1 1(2(2n n1)1)d d 2 2 a a1 1(2(2n n2)2)d da a1 12 2ndnd a12(4n2)a1d(2n1)2d2a12(4n2)a1d(4n24n)d2 d d 2 2 0 (0 (d d 0)0)a a2n1a2n1 (5分分)2021/8/9 星期一24(2)由由(1)知知 ()2()2()2()2()()()即即 b b b b b b b b (11 (11分分)lg blg b1 1lg blg b2 2lg blg bn n lg alg a2n2n11 lg alg a1 1 (12(12分分)2021/8/9 星期一25再见2021/8/9 星期一26