人教版辽宁省大连市第二十四中学高考数学复习《空间向量的应用（3）》课件.ppt

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1、数学专题二空间向量的应用（3）2021/8/9 星期一1温故知新温故知新1.异面直线所成的角异面直线所成的角2021/8/9 星期一2四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施温故知新温故知新2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角直线的方向向量为直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为 2021/8/9 星期一33.求平面的法向量的坐标的一般步骤:第一步第一步(设设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据na=0且nb=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标

2、.温故知新温故知新2021/8/9 星期一4 空间向量的引入为代数方法处理立体几空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角是立避免了一些繁琐的推理论证。求空间角是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角之一法解决空间角之一-问题。问题。二面角及其度量2021/8/9 星期一5OBA1.1.定义定

3、义:从一条直线出发的两个半平面所组成从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做的图形叫做二面角二面角。这条这条直线直线叫做二面角的叫做二面角的棱棱这这两个半平面两个半平面叫做叫做二面角的二面角的面面平面角由平面角由射线射线-点点-射线射线构成构成二面角由二面角由半平面半平面-线线-半平面半平面构成构成2.二面角的表示二面角的表示:二面角 lABPQ平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面研探新知研探新知2021/8/9 星期一6 l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCD3.二面角的画法二面角的画法CEFDAB（1）平卧式）平卧式（2）直立式）直立式二面角研探新知

4、研探新知2021/8/9 星期一7思考：思考：4.二面角的大小如何度量？二面角的大小如何度量？以二面角的以二面角的棱上任意一点棱上任意一点为端点，为端点，在两在两个半平面内个半平面内分别作分别作垂直于棱垂直于棱的两条射线，这的两条射线，这两条射线所成的两条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角二面角的平面角。lO1BB1OAA1A O BA1O1B1二面角的大小用它二面角的大小用它的的平面角平面角来度量来度量？显然与显然与O的选取无关的选取无关二面角研探新知研探新知2021/8/9 星期一8注意：二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足：3）角的边都要角的边都要垂直垂直于二面角的棱于二面角的

5、棱1）角的顶点在角的顶点在棱棱上上2）角的两边分别在两个角的两边分别在两个面内面内10 lOABAOB二面角研探新知研探新知2021/8/9 星期一9本书约定：本书约定：二面角的平面角的取值范围二面角的平面角的取值范围 是是平面角是平面角是直角直角的二面角叫做的二面角叫做直二面角直二面角5.二面角的取值范围如何？二面角的取值范围如何？互相垂直的平面就是相交互相垂直的平面就是相交成成直二面角直二面角的两个平面的两个平面二面角研探新知研探新知2021/8/9 星期一10探究方法探究方法l6.如何求二面角的平面角？如何求二面角的平面角？（1）定义法：）定义法：（2）射影面积法：）射影面积法：二面角O

6、BABCAA1D2021/8/9 星期一11探究方法探究方法lAOB问题问题1：二面角的平面角二面角的平面角 能否转化成向量的夹角？能否转化成向量的夹角？6.如何求二面角的平面角？如何求二面角的平面角？（1）定义法：）定义法：与棱垂直的向量与棱垂直的向量（3）向量法：）向量法：二面角（2）射影面积法：）射影面积法：2021/8/9 星期一12实践操作实践操作2021/8/9 星期一13你能找到所求二面角的棱吗？问题问题2：求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个

7、半平面的法向量有什么关系？平面的法向量有什么关系？2021/8/9 星期一14探究方法探究方法二面角平面的法向量平面的法向量（3）向量法：）向量法：即法向量的夹角与二面角的大小即法向量的夹角与二面角的大小相等相等或或互补互补解题时角的取值根据图形判断解题时角的取值根据图形判断2021/8/9 星期一15实践操作实践操作 本题是求二面角的余弦值，可重点关注向本题是求二面角的余弦值，可重点关注向量法求二面角的余弦值量法求二面角的余弦值.本题的特点是图中本题的特点是图中没有出现两个平面的交线，不能直接利用没有出现两个平面的交线，不能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹二面角的平面角或者垂直于

8、棱的向量的夹角解决，利用法向量的夹角解决体现了向角解决，利用法向量的夹角解决体现了向量求解立体几何问题的优越性。量求解立体几何问题的优越性。启示启示：2021/8/9 星期一16解解：则则设设是面是面SCDSCD的法向量的法向量，建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系则则令令z=1解之得解之得所求锐二面角的余弦值为：所求锐二面角的余弦值为：2021/8/9 星期一17小结小结：利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、证二面角的过程。证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向解题的关键是确定相关平面的法向量。量。利用法向量求二面角

9、的平面角的一般利用法向量求二面角的平面角的一般步骤步骤：找点坐标找点坐标求法向量坐标求法向量坐标求两法向量夹角求两法向量夹角定值定值建立坐标系建立坐标系2021/8/9 星期一182021/8/9 星期一191、二面角的定义二面角的定义 从空间一直线出发的两个半从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角平面所组成的图形叫做二面角2、求二面角的平面角方法、求二面角的平面角方法小小结结二面角二面角（3）射影面积法）射影面积法（2）向量法）向量法（1）定义法）定义法 lOAB2021/8/9 星期一20练习练习:正正三三棱棱柱柱 中中，D是是AC的的中中点点,当当 时，求二面角时，求二面角 的余弦值的余弦值.CADBC1B1A12021/8/9 星期一21解:如如图图，以以C为为原原点点建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系C-xyz.设设底面三角形的边长为底面三角形的边长为a，侧棱长为，侧棱长为b则则 C(0,0,0),故故由于由于 ,所以所以 yxzCADBC1B1A1 在坐标平面在坐标平面yoz中中 设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 可取可取 （1，0，0）为面）为面 的法向量的法向量 练习练习:2021/8/9 星期一22