浙江省温州市龙湾中学高三数学 数列的递推公式与通项课件.ppt

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1、数列的递推公式与通项数列的递推公式与通项2021/8/8 星期日1递推公式的递推公式的“一式用二次一式用二次”是求通项公式中常用的思想是求通项公式中常用的思想引例：引例：数列满足：数列满足：，求，求数列数列an的通项。的通项。练习：数列练习：数列an满足：满足：，则数列则数列an的通项。的通项。2021/8/8 星期日21.形如形如an+1-an=f(n)型型(1)若若f(n)为常数，即为常数，即an+1-an=d,此时数列此时数列an为等差为等差数列，则数列，则an=a1+(n-1)d;(2)若若f(n)为为n的函数，用的函数，用累加法累加法，也可用，也可用横式横式表示表示.an=(an-a

2、n-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 =f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f(1)+a1例例1:(1)已知数列已知数列an满足满足a1=1,an=n2+2n+an-1(n2),求求an(2)已知数列已知数列an满足满足a1=1,an=3n-1+an-1(n2),求求an;(3)已知数列已知数列an满足满足a1=3,an=an-1+,求求an;2021/8/8 星期日32.形如形如an+1/an=f(n)型型例例（1）数列数列an中，中，a1=1,(n+1)an+1=nan，求求an的表达式。的表达式。(2)设设an是首项为是首项为1的正项数列，且的正项数列，且(n+1)a

3、n+12-nan2-an+1an=0(n=1,2,3,),则它的通项则它的通项an=_.(1)若若f(n)为常数，即为常数，即an+1/an=q,此时数列此时数列an为等比数为等比数列，则列，则an=a1qn-1;(2)若若f(n)为为n的函数，用的函数，用累乘法累乘法，即，即.an=f(n-1)f(n-2)f(2)f(1)a12021/8/8 星期日43.形如形如an+1=can+d(c0,a1=a)型型(1)若若c=1,数列数列an为等差数列；为等差数列；(2)若若d=0,数列数列an为等比数列；为等比数列；(3)若若c1且且cd0时时,数列数列an为线性递推数列为线性递推数列,其通项其通

4、项通过待定系数法构造辅助数列来求通过待定系数法构造辅助数列来求.例例（1）在数列在数列an中，中，an+1=2an3，a1=5，求，求an的的通项公式通项公式（2）数列）数列an中，中，a1=2，且，且an+1=，求，求an的的通项公式通项公式 2021/8/8 星期日54.形如形如an+1=can+f(n)型型(1)若若f(n)=kn+b(其中其中k,b为常数为常数,且且k0),例：在数列例：在数列an中中,a1=1,an+1=3an+2n,求求an.待定系数法：设待定系数法：设an+1+A（n+1）+B=c(an+An+B),求出求出A、B，转化为等比数列求通项，转化为等比数列求通项.20

5、21/8/8 星期日6例例（1）设设a1=1，且，且an=3n+2an-1(n1)，求，求an通项通项（2）设）设a1=1，且，且an=3n-1+2an-1(n1)，求，求an通项通项(2)若若f(n)=qn(其中其中q为常数为常数,且且q0,1)当当c=1时时,累加即可；累加即可；当当c1时时,即即an+1=can+qn,求通项有以下三个方向：求通项有以下三个方向：)两边同除以两边同除以cn+1;)两边同除以两边同除以qn+1;)待定系数法：设待定系数法：设an+1+qn+1=c(an+qn),求出求出，转转化化为为等比数列求通等比数列求通项项.4.形如形如an+1=can+f(n)型型20

6、21/8/8 星期日75.形如形如an+1=pan+qan-1(其中其中p,q为常数为常数)型型例：数列例：数列an中中,若若a1=8,a2=2,且满足且满足an+2-4an+1+3an=0,求求an.练习：数列练习：数列an中中,若若a1=1,a2=5,且满足且满足an+2-5an+1+6an=0,求求an.先用待定系数法先用待定系数法将递推公式变形为将递推公式变形为an+1-Aan=B(an-Aan-1)再求解。再求解。2021/8/8 星期日86.形如形如an+1=pan/(ran+s)型型p,r,s0,即即 ，取倒数法取倒数法例：已知数列例：已知数列an中中,a1=1,求求an.202

7、1/8/8 星期日97.形如形如an+1=panr(其中其中p,r为常数为常数)型型(1)p0,an0,用用对数法，等式两边去以对数法，等式两边去以p为底的对为底的对数数例：设正项数列例：设正项数列an满足满足a1=1,an=2an-12(n2),求求an.例例:已知正项数列已知正项数列an满足满足a0=1,an+1=求求an.(2)p0，n=2,3,4）求证：数列求证：数列an是等比数列；是等比数列；2021/8/8 星期日1210.形如形如f(Sn,an)=0型型利用利用an=Sn-Sn-1转化为转化为g(an,an-1)=0型或型或h(Sn,Sn-1)=0型型例例.已知数列已知数列an满

8、足满足Sn+an=2n+1，其中，其中Sn是是an的前的前n项和，求项和，求an的通项公式的通项公式 2021/8/8 星期日1311.形如形如an+1+an=f(n)型型(1)an+1+an=d(d为常数为常数)，则数列，则数列an为为“等和数列等和数列”，它是一个周期数列，周期为，它是一个周期数列，周期为2.(2)若若f(n)为为n的函数的函数(非常数非常数)，可通过构造化为，可通过构造化为an+1an=f(n)型型,通过累加求出通项，若用通过累加求出通项，若用逐差法逐差法(两式相减两式相减),得得an+1an-1=f(n)f(n-1),分奇数项、偶数项求通项分奇数项、偶数项求通项.例例3

9、:数列数列an满足满足a1=0,an+1+an=2n，求，求an;例例4:已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn满足满足Sn-Sn-2=且且S11,S2 ,求数列求数列an的通项公式的通项公式.2021/8/8 星期日1412.形如形如an+1an=f(n)型型(1)an+1an=p(p为常数为常数)，则数列，则数列an为为“等积数列等积数列”，它是一个周期数列，周期为，它是一个周期数列，周期为2.(2)若若f(n)为为n的函数的函数(非常数非常数)，可用，可用逐商法逐商法(两式相除两式相除),得得an+1/an-1=f(n)/f(n-1),分奇数项、偶数项求通项分奇数项、偶数项求通项.2021/8/8 星期日152021/8/8 星期日16