新教材高中数学 第三章 函数 3.1.3.1 函数的奇偶性课件 新人教B必修1.ppt

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1、3.1.3函数的奇偶性第1课时函数的奇偶性2021/8/8 星期日12021/8/8 星期日21.函数的奇偶性函数的奇偶性前提前提函数函数f(x)定定义义域域D内的内的任意一个任意一个x，都有都有-x D，条件条件且且f(-x)=f(x)且且f(-x)=-f(x)结论结论则则称称y=f(x)为为偶函数偶函数则则称称y=f(x)为为奇函数奇函数2021/8/8 星期日3【思考思考】函数的奇偶性定义中，函数的奇偶性定义中，“对于定义域对于定义域D内任意一个内任意一个x，都有都有-x D”，那么奇偶函数的定义域有什么特征？，那么奇偶函数的定义域有什么特征？提示：提示：奇偶函数的定义域关于原点对称奇偶

2、函数的定义域关于原点对称.2021/8/8 星期日42.奇偶函数的图像特征奇偶函数的图像特征(1)函数是偶函数函数是偶函数图像关于图像关于y轴对称；轴对称；(2)函数是奇函数函数是奇函数图像关于原点对称图像关于原点对称.2021/8/8 星期日5【思考思考】(1)如果奇函数在原点处有定义，则其图像有什么特征如果奇函数在原点处有定义，则其图像有什么特征？提示：提示：图像过原点，即图像过原点，即f(0)=0.f(0)=0.2021/8/8 星期日6(2)有没有一个函数既是奇函数，又是偶函数？有没有一个函数既是奇函数，又是偶函数？提示：提示：有有.如如f(x)=0f(x)=0的图像为的图像为x x轴

3、，即关于轴，即关于y y轴对称，又轴对称，又关于原点对称，因此既是奇函数，又是偶函数关于原点对称，因此既是奇函数，又是偶函数.2021/8/8 星期日7【素养小测素养小测】1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)(1)奇函数的图像一定过原点奇函数的图像一定过原点.()(2)如果定义域内存在如果定义域内存在x0，满足，满足f(-x0)=f(x0)，函数函数f(x)是偶函数是偶函数.()2021/8/8 星期日8(3)若对于定义域内的任意一个若对于定义域内的任意一个x，都有，都有f(x)+f(-x)=0，则函数，则函数f(x)是奇函数是奇函数.()2021/8/8 星期日9

4、提示：提示：(1).(1).不一定，如函数不一定，如函数f(x)=.f(x)=.(2).(2).不符合定义，必须对于定义域内的任意一个不符合定义，必须对于定义域内的任意一个x x都成立都成立.(3).(3).若若f(x)+f(-x)=0f(x)+f(-x)=0，则，则f(-x)=-f(x).f(-x)=-f(x).2021/8/8 星期日102.下列图像表示的函数具有奇偶性的是下列图像表示的函数具有奇偶性的是()2021/8/8 星期日11【解析解析】选选B.B选项的图像关于选项的图像关于y轴对称，是偶函数，轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性其余选项都不具有奇偶性.2021/8/8 星期

5、日123.若若f(x)为为R上的奇函数，且上的奇函数，且f(2)=3，则，则f(-2)=_.【解析解析】因为因为f(x)f(x)为为R R上的奇函数，上的奇函数，所以所以f(-2)=-f(2)=-3.f(-2)=-f(2)=-3.答案：答案：-3-32021/8/8 星期日13类型一函数奇偶性的判断类型一函数奇偶性的判断【典例典例】1.函数函数f(x)=-2x的图像关于的图像关于()A.y轴对称轴对称B.坐标原点对称坐标原点对称C.直线直线y=-x对称对称D.直线直线y=x对称对称2021/8/8 星期日142.判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)f(

6、x)=|2x-1|-|2x+1|.(2)f(x)=2021/8/8 星期日15【思维思维引引】1.1.先判断函数的奇偶性，再判断图像的对先判断函数的奇偶性，再判断图像的对称性称性.2.2.根据函数奇偶性的定义判断根据函数奇偶性的定义判断.2021/8/8 星期日16【解析解析】1.1.选选B.B.函数的定义域函数的定义域A=x|x0A=x|x0，所以所以xAxA时，时，-xA-xA，且，且f(-x)=-+2xf(-x)=-+2x=-=-f(x)=-=-f(x)，所以所以f(x)f(x)为奇函数，故图像关于坐标原点对称为奇函数，故图像关于坐标原点对称.2021/8/8 星期日172.(1)2.(

7、1)因为因为xRxR，f(-x)=|-2x-1|-|-2x+1|f(-x)=|-2x-1|-|-2x+1|=-(|2x-1|-|2x+1|)=-f(x)=-(|2x-1|-|2x+1|)=-f(x)，所以，所以f(x)f(x)是奇函数是奇函数.2021/8/8 星期日18(2)(2)方法一：作出函数图像如图：方法一：作出函数图像如图：关于原点对称，所以函数是奇函数关于原点对称，所以函数是奇函数.2021/8/8 星期日19方法二：当方法二：当x0 x0时，时，f(x)=1-xf(x)=1-x2 2，此时，此时-x0-x0，所以所以f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)2 2-1=x-1=x2

8、 2-1-1，所以所以f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)；当；当x0 x0-x0，f(-x)=1-(-x)f(-x)=1-(-x)2 2=1-x=1-x2 2，所以所以f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)；当；当x=0 x=0时，时，f(-0)=-f(0)=0.f(-0)=-f(0)=0.综上，对综上，对xRxR，总有，总有f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)，所以，所以f(x)f(x)为为R R上上的奇函数的奇函数.2021/8/8 星期日20【内化内化悟悟】函数具有奇偶性的前提是什么？函数具有奇偶性的前提是什么？提示：提示：定义域关于原点对称定义域关于原点对称.2

9、021/8/8 星期日21【类题类题通通】判断函数奇偶性的两种方法判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法：定义法：2021/8/8 星期日22(2)图像法：图像法：2021/8/8 星期日23【发散发散拓拓】如果两个函数如果两个函数f(x)，g(x)具有奇偶性，且有共同的具有奇偶性，且有共同的定义域，那么定义域，那么f(x)g(x)、f(x)g(x)、(g(x)0)有以下规律：偶有以下规律：偶偶偶=偶、奇偶、奇奇奇=奇、奇、偶偶偶偶=偶、偶偶、偶奇奇=奇、奇奇、奇奇奇=偶，相除时类似于偶，相除时类似于相乘的情况相乘的情况.2021/8/8 星期日24【延伸延伸练练】设设f(x)是是R上的任意函数

10、，则下列叙述正确的是上的任意函数，则下列叙述正确的是()A.f(x)f(-x)是奇函数是奇函数B.f(x)|f(-x)|是奇函数是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数是偶函数2021/8/8 星期日25【解析解析】选选D.D.当当xRxR时，时，-xR-xR，A A中，中，设设g(x)=f(x)f(-x)g(x)=f(x)f(-x)，则，则g(-x)=f(-x)g(-x)=f(-x)f(x)=g(x)f(x)=g(x)，为偶函数；为偶函数；B B中，设中，设g(x)=f(x)|f(-x)|g(x)=f(x)|f(-x)|，则，则g(-x)=f(-x)g

11、(-x)=f(-x)|f(x)|f(x)|非奇非偶函数；非奇非偶函数；2021/8/8 星期日26C C中，设中，设g(x)=f(x)-f(-x)g(x)=f(x)-f(-x)，则，则g(-x)=f(-x)-f(x)g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x)=-g(x)，为奇函数；，为奇函数；D D中，设中，设g(x)=f(x)+f(-x)g(x)=f(x)+f(-x)，则，则g(-x)=f(-x)+f(x)g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)=g(x)，所以，所以f(x)+f(-x)f(x)+f(-x)是偶函数是偶函数.2021/8/8 星期日27【习练习练破破】判断下列函数的奇偶性

12、：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=(2)f(x)=x3+x.(3)f(x)=2021/8/8 星期日28【解析解析】(1)f(x)=(1)f(x)=的定义域是的定义域是A=(-A=(-，1)1)(1(1，+)+)，-1A-1A，但，但1 1 A A，所以，所以f(x)f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数.(2)f(x)=x(2)f(x)=x3 3+x+x的定义域是的定义域是R R，当，当xRxR时，时，-xR-xR，且，且f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)，所以，所以f(x)f(x)为奇函数为奇函数.2021/8/8 星期日29(3)(3)函数的定义域为函数的定义域为R R，当

13、，当xRxR时，时，-xR-xR，当当x0 x0时，时，-x0-x0，则，则f(-x)=-(-x)+1=x+1=f(x)f(-x)=-(-x)+1=x+1=f(x)；当当x=0 x=0时，时，f(-x)=f(x)=1f(-x)=f(x)=1；当当x0 x0-x0，f(-x)=-x+1=f(x).f(-x)=-x+1=f(x).综上，对任意综上，对任意xRxR，都有，都有f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)，所以，所以f(x)f(x)为偶函数为偶函数.2021/8/8 星期日30【加练加练固固】函数函数f(x)=-x2的图像关于的图像关于()A.y轴对称轴对称B.直线直线y=-x对称对称C.

14、坐标原点对称坐标原点对称D.直线直线y=x对称对称2021/8/8 星期日31【解析解析】选选A.f(x)A.f(x)的定义域为的定义域为x|x0 x|x0，又又f(-x)=-(-x)f(-x)=-(-x)2 2=-x=-x2 2=f(x).=f(x).所以所以f(x)f(x)是偶函数，所以其图像关于是偶函数，所以其图像关于y y轴对称轴对称.2021/8/8 星期日32类型二奇偶函数图像的应用类型二奇偶函数图像的应用【典例典例】1.如图，给出了奇函数如图，给出了奇函数f(x)的局部图像，的局部图像，那么那么f(1)等于等于()A.-4B.-2C.2D.42021/8/8 星期日332.设偶函

15、数设偶函数f(x)的定义域为的定义域为-5，5，且，且f(3)=0，当，当x 0，5时，时，f(x)的图像如图所示，则不等式的图像如图所示，则不等式xf(x)0的解集是的解集是_.世纪金榜导学号世纪金榜导学号2021/8/8 星期日34【思维思维引引】1.1.奇函数关于原点对称，点奇函数关于原点对称，点(-1(-1，f(-1)f(-1)的对称点为的对称点为(1(1，-f(-1).-f(-1).2.2.利用偶函数的图像性质作出利用偶函数的图像性质作出x-5x-5，00上的图像，上的图像，分两种情况讨论求不等式的解集分两种情况讨论求不等式的解集.2021/8/8 星期日35【解析解析】1.1.选选

16、B.B.由函数的图像可得由函数的图像可得f(-1)=2f(-1)=2，又由函数，又由函数为奇函数，则为奇函数，则f(1)=-f(-1)=-2.f(1)=-f(-1)=-2.2021/8/8 星期日362.2.因为因为f(x)f(x)为偶函数，且由图像可得在为偶函数，且由图像可得在00，3)3)上，上，f(x)0f(x)0f(x)0，则在则在-5-5，-3)-3)上，上，f(x)0f(x)0，在，在(-3(-3，00上，上，f(x)0f(x)0，xf(x)0 xf(x)0 所以所以-5x-3-5x-3或或0 x30 x1时，时，f(x)=-1，则，则f(-2)=()2021/8/8 星期日57【

17、解析解析】选选B.B.根据题意，当根据题意，当x1x1时，时，f(x)=-1f(x)=-1，则则f(2)=-1=f(2)=-1=，又由函数，又由函数f(x)f(x)为奇函数，为奇函数，则则f(-2)=-f(2)=-.f(-2)=-f(2)=-.2021/8/8 星期日582.已知函数已知函数f(x)=ax2+bx+c(-2a-3x1)是偶函数，则是偶函数，则a=_，b=_.2021/8/8 星期日59【解析解析】因为因为f(x)是偶函数，所以其定义域关于是偶函数，所以其定义域关于y轴对轴对称称.所以所以-2a-3=-1.所以所以a=-1.所以所以f(x)=-x2+bx+c.因为因为f(-x)=

18、f(x)，所以，所以-(-x)2+b(-x)+c=-x2+bx+c.所以所以-b=b，所以，所以b=0.答案：答案：-102021/8/8 星期日60【加练加练固固】若若f(x)=ax2+bx+c(a0)是偶函数，则是偶函数，则g(x)=ax3+bx2+cx是是()A.奇函数奇函数B.偶函数偶函数C.非奇非偶函数非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数2021/8/8 星期日61【解析解析】选选A.A.因为因为f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)是偶函数，是偶函数，所以所以f(x)=f(-x)f(x)=f(-x)，即，即axax2 2+bx+c=ax+bx+c=ax2 2-bx+c-bx+c，所以，所以b=0b=0，所以所以g(x)=axg(x)=ax3 3+bx+bx2 2+cx=ax+cx=ax3 3+cx+cx，所以，所以g(-x)=-(axg(-x)=-(ax3 3+cx)+cx)=-g(x)=-g(x)，所以，所以g(x)g(x)是奇函数是奇函数.2021/8/8 星期日622021/8/8 星期日632021/8/8 星期日64