北京北京师范大学附属实验中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷(9套)附解析.docx

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1、中学自主招生数学试卷中学自主招生数学试卷一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正侧：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正侧的，请往答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得的，请往答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得 4 分，答错或不答一律得分，答错或不答一律得 0 分分.1（4 分）2019 的绝对值是（）A2019B2019C0D12（4 分）下面是几何体中，主视图是矩形的（）ABCD3（4 分）下列事件是必然事件的是（）A随意翻到一本书的某页，页码是奇数B抛掷一枚普通硬币，正面朝下C抛得一枚普通正方体般子

2、所得点数大于 3D太阳每天从东方升起4（4 分）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有 0.000 000 04m，将 0.000 000 04用科学记数法表示为（）A4108B4108C0.4108D41085（4 分）在函数 y中，自变量 x 的取值范围是（）Ax0Bx0 且 x3Cx0 且 x3Dx06（4 分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130，255，则3的度数等于（）A20B25C30D557（4 分）关于 x 的一元二次方程 ax2+4x+20 有两个相等的实数根，则 a 的值是（）A2B0C1D28（4 分）平面直角坐标系中，直线 1：y3x1 平移后得到新直

3、线 y3x+1则直线 l 的平移方式是（）A向左平移 2 个单位B向右平移 2 个单位C向上平移 2 个单位D向下平移 2 个单位9（4 分）已知二次函数 y（xh）2+1（h 为常数），在自变量 x 的值满足 1x3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 5，则 h 的值为（）A1 或5B1 或 5C1 或3D1 或 310（4 分）如图，矩形 ABCD 长与宽的比为 5：3，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，tan1，tan2，则 cos（1+2）的值为（）ABCD二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答：在答题卡上

4、相应题目的答题区域内作答11（4 分）计算：（）1+2019012（4 分）已知 a2b28，且 ab4，则 a+b13（4 分）如图，已知ABC，D，E 分别在 AB，AC 边上，且 DEBC，AD2，DB3，ADE 面积是 4，则四边形 DBCE 的面积是14（4 分）生命在于运动，小张同学用手机软件记录了 4 月份每天行走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如下图所示的统计图在这组数据中，众数是万步15（4 分）若整数 a 使关于 x 的分式方程+的解为正数，使关于 y 的不等式组无解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是16（4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知A 经过点

5、 E、B、0、C，点 C 在 y 轴上，点 E 在 x 轴上，点 A 的坐标为（2，1），则 sinOBC 的值是三、解答题（共三、解答题（共 86 分分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答：在答题卡上相应题目的答题区域内作答.17（8 分）解不等式：8（x3）2（x+1），并把解集在数轴上表示出来；18（8 分）先化简，再求值：（1），其中 a419（8 分）如图，已知ABC（1）用圆规和直尺作A 的平分线 AD（保留作图痕迹，不必证明）（2）在（1）的条件下，E 是 AB 边上一点，连结 DE，若AEDC求证：ACAE20（8 分）九章算术是中国古代第一部数学专著，该书中记载了一个问题，

6、“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出 8 元，多 3 元；每人出 7 元，少 4 元，问有多少人？该物品价格是多少？21（8 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数为 y1x+2 与反比例函数 y2的图象交于 A（3a）和 B（b，2）两点（1）求 a，b 的值；（2）结合图象，当 y1y2时，直接写出 x 的取值范围22（10 分）某校在一次大课间活动中，采用了三种活动形式：A 跑步，B 跳绳，C 做操，该校学生都选择了一种形式参与活动（1）小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，列出了两幅不完整的统

7、计图，利用图中所提供的信息解决以下问题：小杰共调查统计了人；请将图 1 补充完整；图 2 中 C 所占的圆心角的度数是；（2）假设被调查的甲、乙两名同学对这三项活动的选择是等可能的，请你用列表格或画树状图的方法求一下两人中至少有一个选择“A”的概率23（10 分）如图，二次函数 y（x2）2+b 的图象与 x 轴分别相交于 A、B 两点，点 A的坐标为（1，0），与 y 轴交于点 C（1）求 b 的值；（2）抛物线顶点为 E，EFx 轴于 F 点，点 P（2，m）是线段 EF 上一动点，Q（n，0）在 x 轴上，且 n2，若QPC90，求 n 的最小值24（13 分）如图，在直角三角形 ABC

8、 中，C90，AC2，BC2，点 O 是边 AB上的一个动点，以点 O 为圆心，OA 为半径作O，与边 AC 交于点 M（1）如图 1，当O 经过点 C 时，O 的直径是；（2）如图 2，当O 与边 BC 相切时，切点为点 N，试求O 与ABC 重合部分的面积；（3）如图 3，当O 与边 BC 相交时，交点为 E、F，设 CMx，就判断 AEAF 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请用含 x 的代数式表示25（13 分）矩形 ABCO，O（0，0），C（0.3），A（a.0），（a3），以 A 为旋转中心顺时针旋转矩形 ABCO，得到矩形 AFED（1）如图 1，当点 D 落在边 BC

9、上时，求 BD 的长；（2）如图 2，当 a3 时，矩形 AFEO 的对角线 A 任交矩形 ABCO 的边 BC 于点 G，连结 CE若CGE 是等腰三角形，求直线 BE 的解析式（3）如图 3，当 a4 时，矩形 ABCD 的对称中心为点 M，MED 的面积为 s，求 s 的取值范围参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正侧：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正侧的，请往答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得的，请往答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得 4 分，答错或不

10、答一律得分，答错或不答一律得 0 分分.1（4 分）2019 的绝对值是（）A2019B2019C0D1【分析】直接利用绝对值的性质得出答案【解答】解：2019 的绝对值是：2019故选：A【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键2（4 分）下面是几何体中，主视图是矩形的（）ABCD【分析】先得到相应的几何体，找到从正面看所得到的图形即可【解答】解：A、圆柱的主视图为矩形，符合题意；B、球体的主视图为圆，不合题意；C、圆锥的主视图为三角形，不合题意；D、圆台的主视图为等腰梯形，不合题意故选：A【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图3（4 分）下列事

11、件是必然事件的是（）A随意翻到一本书的某页，页码是奇数B抛掷一枚普通硬币，正面朝下C抛得一枚普通正方体般子所得点数大于 3D太阳每天从东方升起【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可【解答】解：A随意翻到一本书的某页，页码是奇数，属于随机事件；B抛掷一枚普通硬币，正面朝下，属于随机事件；C抛得一枚普通正方体般子所得点数大于 3，属于随机事件；D太阳每天从东方升起，属于必然事件；故选：D【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生

12、的事件4（4 分）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有 0.000 000 04m，将 0.000 000 04用科学记数法表示为（）A4108B4108C0.4108D4108【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：0.000 000 044108，故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确

13、定 a 的值以及 n 的值5（4 分）在函数 y中，自变量 x 的取值范围是（）Ax0Bx0 且 x3Cx0 且 x3Dx0【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出 x 的范围【解答】解：根据题意得：x0 且 x30，解得：x0 且 x3故选：C【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负6（4 分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130，255，则3的度数等于

14、（）A20B25C30D55【分析】如图，由平行线的性质可求得4，结合三角形外角的性质可求得3【解答】解：如图，ab，4255，又41+3，341553025故选：B【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，ab，bcac7（4 分）关于 x 的一元二次方程 ax2+4x+20 有两个相等的实数根，则 a 的值是（）A2B0C1D2【分析】方程 ax2+4x+20 有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式b24ac0 即可求解【解答】解：依题意，方程 ax2+4x+20 有两个相等的实数根b

15、24ac168a0，得 a2故选：D【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（b24ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根，但有 2 个共轭复根上述结论反过来也成立8（4 分）平面直角坐标系中，直线 1：y3x1 平移后得到新直线 y3x+1则直线 l 的平移方式是（）A向左平移 2 个单位B向右平移 2 个单位C向上平移 2 个单位D向下平移 2 个单位【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可【解答】解：将直线 l

16、：y3x1 平移后，得到直线：y3x+1，3x1+a3x+1，解得：a2，故将 l 向上平移 2 个单位长度故选：C【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键9（4 分）已知二次函数 y（xh）2+1（h 为常数），在自变量 x 的值满足 1x3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 5，则 h 的值为（）A1 或5B1 或 5C1 或3D1 或 3【分析】由解析式可知该函数在 xh 时取得最小值 1，xh 时，y 随 x 的增大而增大；当 xh 时，y 随 x 的增大而减小；根据 1x3 时，函数的最小值为 5 可分如下两种情况：若 h1x3，x1 时，y

17、 取得最小值 5；若 1x3h，当 x3 时，y 取得最小值 5，分别列出关于 h 的方程求解即可【解答】解：当 xh 时，y 随 x 的增大而增大，当 xh 时，y 随 x 的增大而减小，若 h1x3，x1 时，y 取得最小值 5，可得：（1h）2+15，解得：h1 或 h3（舍）；若 1x3h，当 x3 时，y 取得最小值 5，可得：（3h）2+15，解得：h5 或 h1（舍）；若 1h3 时，当 xh 时，y 取得最小值为 1，不是 5，此种情况不符合题意，舍去综上，h 的值为1 或 5，故选：B【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键10（

18、4 分）如图，矩形 ABCD 长与宽的比为 5：3，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，tan1，tan2，则 cos（1+2）的值为（）ABCD【分析】设 AB3aCD，ADBC5a，可求 CF2aBE，ECAB3a，由“SAS”可证ABEECF，可得 AEEF，1FEC，可求EAF45，即可求 cos（1+2）的值【解答】解：连接 EF矩形 ABCD 长与宽的比为 5：3，设 AB3aCD，ADBC5a，tan1，tan2，BE2a，DFa，CF2aBE，ECAB3a，且BC90ABEECF（SAS）AEEF，1FEC1+AEB90AEB+FEC90AEF90，且 AEEFEAF451+

19、245cos（1+2）故选：B【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，锐角三角函数，证明ABEECF 是本题的关键二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答：在答题卡上相应题目的答题区域内作答11（4 分）计算：（）1+201904【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式3+14故答案为：4【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键12（4 分）已知 a2b28，且 ab4，则 a+b2【分析】已知第一个等于左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出所求【解

20、答】解：a2b2（a+b）（ab）8，且 ab4，a+b2，故答案为：2【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键13（4 分）如图，已知ABC，D，E 分别在 AB，AC 边上，且 DEBC，AD2，DB3，ADE 面积是 4，则四边形 DBCE 的面积是21【分析】证明ADEABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可【解答】解：DEBC，ADEABC，（）2，即，解得，SABC25，四边形 DBCE 的面积25421，故答案为：21【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键14（4 分）生命在于运动，小张同

21、学用手机软件记录了 4 月份每天行走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如下图所示的统计图在这组数据中，众数是1.4万步【分析】根据众数的定义求解可得【解答】解：这组数据的众数是 1.4 万步，故答案为：1.4【点评】本题考查的是众数的定义及其求法，牢记定义是关键15（4 分）若整数 a 使关于 x 的分式方程+的解为正数，使关于 y 的不等式组无解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是7【分析】表示出分式方程的解，由分式方程解为正数，得到 a 的取值范围；不等式组变形后，根据不等式组无解，确定出 a 的范围，进而求出 a 的值，得到所有满足条件的整数 a 的值之和【解答】解：分式方程去分母

22、得：2a4x2解得：x2a2由分式方程的解为正数，得到：2a20，2a22a1 且 a2不等式组整理得：不等式组无解，32a5a4综上，a 的范围为 1a4 且 a2整数 a3，4所有满足条件的整数 a 的值之和是 7故答案为：7【点评】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键解题时注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于 0 的值，不是原分式方程的解16（4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知A 经过点 E、B、0、C，点 C 在 y 轴上，点 E 在 x 轴上，点 A 的

23、坐标为（2，1），则 sinOBC 的值是【分析】连接 EC，由COE90，根据圆周角定理可得：EC 是A 的直径，求出 OE和 OC，根据勾股定理求出 EC，解直角三角形求出即可【解答】解：过 A 作 AMx 轴于 M，ANy 轴于 N，连接 EC，COE90，EC 是A 的直径，即 EC 过 O，A（2，1），OM2，ON1，AMx 轴，x 轴y 轴，AMOC，同理 ANOE，N 为 OC 中点，M 为 OE 中点，OE2AN4，OC2AM2，由勾股定理得：EC2，OBCOEC，sinOBCsinOEC故答案为【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟

24、练掌握定理是解本题的关键三、解答题（共三、解答题（共 86 分分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答：在答题卡上相应题目的答题区域内作答.17（8 分）解不等式：8（x3）2（x+1），并把解集在数轴上表示出来；【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可【解答】解：8（x3）2（x+1），8x+32x+23x9原不等式的解集为：x3，在数轴上表示不等式的解集：【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键18（8 分）先化简，再求值：（1），其中 a4【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 a 的值代入

25、化简后的式子即可解答本题【解答】解：（1），当 a4 时，原式4【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法19（8 分）如图，已知ABC（1）用圆规和直尺作A 的平分线 AD（保留作图痕迹，不必证明）（2）在（1）的条件下，E 是 AB 边上一点，连结 DE，若AEDC求证：ACAE【分析】（1）利用基本作图作 AD 平分BAC；（2）利用“ASA”证明ACDAED 得到 ACAE【解答】解：（1）如图，AD 为求作；（2）如图，AD 平分CAB，CADEAD，在ACD 和AED 中，ACDAED（ASA），ACAE【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（

26、作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了三角形全等的判定与性质20（8 分）九章算术是中国古代第一部数学专著，该书中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出 8 元，多 3 元；每人出 7 元，少 4 元，问有多少人？该物品价格是多少？【分析】设有 x 人，物品价值 y 元，根据题意可得，8人数3物品价值，7人数+4物品价值，据此列方程组求解【解答】解：设共有 x 人，每件物品的价格为 y 元，依题意得：解得答：共有 7 人，每件物品的

27、价格为 53 元【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解21（8 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数为 y1x+2 与反比例函数 y2的图象交于 A（3a）和 B（b，2）两点（1）求 a，b 的值；（2）结合图象，当 y1y2时，直接写出 x 的取值范围【分析】（1）将 A、B 点坐标代入 y1x+2 即可求得 a、b 的值；（2）根据解得 A、B 的坐标，结合图象即可求得【解答】解：（1）把 A（3a）和 B（b，2）代入 y1x+2 得，a（3）+24，2b+2，则 b6；（2）A（3，4），B（6，2），当 y1

28、y2时，x 的取值范围是3x0 或 x6【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题时注意：一次函数与反比例函数交点坐标同时满足一次函数与反比例函数解析式22（10 分）某校在一次大课间活动中，采用了三种活动形式：A 跑步，B 跳绳，C 做操，该校学生都选择了一种形式参与活动（1）小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，列出了两幅不完整的统计图，利用图中所提供的信息解决以下问题：小杰共调查统计了160人；请将图 1 补充完整；图 2 中 C 所占的圆心角的度数是45；（2）假设被调查的甲、乙两名同学对这三项活动的选择是等可能的，请你用列表格或画树状图的方法求

29、一下两人中至少有一个选择“A”的概率【分析】（1）用参与 B 项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用总人数乘以参加 A 项目的人数的百分比得到参与 A 项目的人数，然后补全条形统计图；用 360 度乘参与 C 项目的百分比得到以图 2 中 C 所占的圆心角的度数；（2）画树状图展示 9 种等可能的结果数，找出两人中至少有一个选择“A”的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）4025%160，所以小杰共调查统计了 160 人；参加 A 项目的人数为 16062.5%100（人），图 1 补充完整为：图 2 中 C 所占的圆心角的度数36045；故答案为 160；45；（2）画树

30、状图为：共有 9 种等可能的结果数，其中两人中至少有一个选择“A”的结果数为 5，所以两人中至少有一个选择“A”的概率【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件B 的概率也考查了统计图23（10 分）如图，二次函数 y（x2）2+b 的图象与 x 轴分别相交于 A、B 两点，点 A的坐标为（1，0），与 y 轴交于点 C（1）求 b 的值；（2）抛物线顶点为 E，EFx 轴于 F 点，点 P（2，m）是线段 EF 上一动点，Q（n，0）在 x 轴上，且 n2，若QPC9

31、0，求 n 的最小值【分析】（1）将点 A 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）利用 tanMCPtanQPF，则，即可求解【解答】解：（1）将点 A 的坐标代入二次函数表达式得：0（12）2+b，解得：b9；（2）过点 C 作 CMEF，垂足为 M，CMPCPQPFQ90MCPQPF，tanMCPtanQPF，nm2m+2（m）2，n2，0m5，当时，n 的最小值为【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数最值、解直角三角形等知识，难度不大24（13 分）如图，在直角三角形 ABC 中，C90，AC2，BC2，点 O 是边 AB上的一个动点，以点 O 为圆心，OA 为半径作O，与

32、边 AC 交于点 M（1）如图 1，当O 经过点 C 时，O 的直径是4；（2）如图 2，当O 与边 BC 相切时，切点为点 N，试求O 与ABC 重合部分的面积；（3）如图 3，当O 与边 BC 相交时，交点为 E、F，设 CMx，就判断 AEAF 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请用含 x 的代数式表示【分析】（1）由 AB 是圆的直径知C90，再根据勾股定理求解可得；（2）连结 ON，OM，先证 tanB知B30，A60，BON60，AON120，设 ONOAr，证OBNABC 得，据此求出 r 的值，再计算出 2S扇形MON和 SAOM，从而得出答案；（3）设O 与 AB 的另

33、一交点为 G，连结 GE，OM，证AGEAFC 得，由AC2，CMx 知 AM2x，再证AOM60得 OAAM2x，AG2AO42x，从而知 AEAFACAG84x，据此得出答案【解答】解：（1）AB 是圆的直径，C90，AC2，BC2，AB4 故答案为 4；（2）如图 2，连结 ON，OM，O 与边 BC 相切于点 N，ONBC在 RtABC 中，C90，AC2，BC2，tanB，B30，A60，BON60，AON120，OAOM，OMAA60，AOM60，MON60，设 ONOAr，BNOC90，BB，OBNABC，即，解得 r，2S扇形MON2，SAOM（）2，O 与ABC 重合部分的面

34、积是+（3）AEAF 不为定值，理由如下：如图 3，设O 与 AB 的另一交点为 G，连结 GE，OM，AG 是O 的直径，GEA90C，在圆内接四边形 AGEF 中，AGE+AFE180，AFC+AFE180，AGEAFC，AGEAFC，AC2，CMx，AM2x，OMAOAM60，AOM60，OAAM2x，AG2AO42x，AEAFACAG84x，x 不是定值AEAF 不是定值【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、勾股定理、三角函数的运用、相似三角形的判定与性质及切线的性质等知识点25（13 分）矩形 ABCO，O（0，0），C（0.3），A（a.0），（a3），以 A 为

35、旋转中心顺时针旋转矩形 ABCO，得到矩形 AFED（1）如图 1，当点 D 落在边 BC 上时，求 BD 的长；（2）如图 2，当 a3 时，矩形 AFEO 的对角线 A 任交矩形 ABCO 的边 BC 于点 G，连结 CE若CGE 是等腰三角形，求直线 BE 的解析式（3）如图 3，当 a4 时，矩形 ABCD 的对称中心为点 M，MED 的面积为 s，求 s 的取值范围【分析】（1）如图 1，当点 D 落在边 BC 上时，BD2AD2AB2，即可求解；（2）分 CGEG、CEGE、CECG 三种情况分别求解；（3）MNMA+AD，当射线 DA 经过点 M 时，MNMA+AD，当边 AD

36、经过点 M，即 P 与 M 重合时，MNPD，MNPDADAP4，即可求解【解答】解：（1）如图 1，在矩形 ABCO 中，B90当点 D 落在边 BC 上时，BD2AD2AB2，C（0，3），A（a，0）ABOC3，ADAOa，BD；（2）如图 2，连结 AC，a3，OAOC3，矩形 ABCO 是正方形，BCA45，设ECG 的度数为 x，AEAC，AECACE45+x，当 CGEG 时，x45+x，解得 x0，不合题意，舍去；当 CEGE 时，如图 2，ECGEGCxECG+EGC+CEG180，x+x+（45+x）180，解得 x45，AECACE90，不合题意，舍去；当 CECG 时，

37、CEGCGE45+x，ECG+EGC+CEG180，x+（45+x）+（45+x）180，解得 x30，AECACE75，CAE30如图 3，连结 OB，交 AC 于点 Q，过 E 作 EHAC 于 H，连结 BE，EHAEAC，BQAC，EHBQ，EHBQ 且EHQ90四边形 EHQB 是矩形BEAC，设直线 BE 的解析式为 yx+b，点 B（3，3）在直线上，则 b6，直线 BE 的解析式为 yx+6；（3）如图 4，a4，点 M 是矩形 ABCO 的对称中心AO4，AM，以 A 为圆心，分别以 AO、AM 为半径作圆，AD 交小圆于 P，过 M 作 MNED 于 NDE 切大圆于 DM

38、NPD根据“垂线段最短”，MNMA+AD，如图 5，当射线 DA 经过点 M 时，MNMA+AD，s 的最大值是ED（MA+AD）；如图 6，当边 AD 经过点 M，即 P 与 M 重合时，MNPD，MNPDADAP4，s 的最小值是EDPD，s 的取值范围是【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到正方形和等腰三角形性质、圆的基本知识，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏中学自主招生数学试卷中学自主招生数学试卷一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分）1（3 分）下列图案中，不是中心对称图形的是（）ABCD2（3 分）初步核算

39、并经国家统计局核定，2017 年广东全省实现地区生产总值约 90000 亿元，比上年增长 7.5%将 90000 亿元用科学记数法表示应为（）元A91011B9104C91012D910103（3 分）下列说法正确的是（）A2 的相反数是 2B2 的绝对值是 2C2 的倒数是 2D2 的平方根是 24（3 分）下列运算正确的是（）Aa2+a3a5B（a2）3a5Ca3a2aD（ab）2a2b25（3 分）下列不等式组的解集中，能用如图所示的数轴表示的是（）ABCD6（3 分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含 30角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，21

40、15，则1 的度数是（）A75B85C60D657（3 分）如图，在O 中，OCAB，A20，则1 等于（）A40B45C50D608（3 分）有三张正面分别写有数字1，2，2 的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为 a 的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为 b 的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（）ABCD9（3 分）点 A（t，2）在第二象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为，tan，则 t 的值为（）AB2C2D310（3 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB5，BC3，点 E 在 AD 上，且 AE1，点 P 是线段

41、 AB 上一动点，折叠纸片，使点 P 与点 E 重合，展开纸片得折痕 MN，过点 P 作 PQAB，交 MN 所在的直线于点 Q设 xAP，yPQ，则 y 关于 x 的函数图象大致为（）ABCD二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分）11（4 分）方程 x2x 的解是12（4 分）因式分解：3x2+6x+313（4 分）把抛物线 y2x21 向上平移一个单位长度后，所得的函数解析式为14（4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AC14cm，BD8cm，AD6cm，则OBC 的周长是15（4 分

42、）在ABC 中 BC2，AB2，ACb，且关于 x 的方程 x24x+b0 有两个相等的实数根，则 AC 边上的中线长为16（4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，RtOA1C1，RtOA2C2，RtOA3C3，的斜边都在坐标轴上，A1OC1A2OC2A3OC3A4OC430若点 A1的坐标为（3，0），OA1OC2，OA2OC3，OA3OC4，则依此规律，的值为三、解答题（一三、解答题（一）（本大题共（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分）17（6 分）计算：|3|+4cos3018（6 分）先化简，后求值：（x），其中 x219（6 分）已知等腰AB

43、C 的顶角A36（如图）（1）请用尺规作图法作底角ABC 的平分线 BD，交 AC 于点 D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）证明：ABCBDC四、解答题（二四、解答题（二）（本大题共（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 7 分，共分，共 21 分）分）20（7 分）在国务院办公厅发布中国足球发展改革总体方案之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：（1）本次接受问卷调查的学生总人数是；（2）补全折线统计图（3）扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为，m 的值为；（

44、4）若该校共有学生 3000 名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数21（7 分）某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多 5 个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的 6 倍（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为 100 万元，乙队每月的施工费比甲队多 50 万元在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的 2 倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过 1500 万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）2

45、2（7 分）如图，在正方形 ABCD 中，边长 AB3，点 E（与 B，C 不重合）是 BC 边上任意一点，把 EA 绕点 E 顺时针方向旋转 90到 EF，连接 CF（1）求证：CF 是正方形 ABCD 的外角平分线；（2）当BAE30时，求 CF 的长五、解答题（三五、解答题（三）（本大题共（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 27 分）分）23（9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 AB：ykx+b（b 为常数）与反比例函数 y（x0）交于点 B，与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，且 OBAB（1）如图，若点 A 的坐标为（6，0）时，求点 B 的坐标及

46、直线 AB 的解析式；（2）如图，若OBA90，求点 A 的坐标；（3）在（2）的条件下中，如图，PA1A 是等腰直角三角形，点 P 在反比例函数 y（x0）的图象上，斜边 A1A 都在 x 轴上，求点 A1的坐标24（9 分）如图，在菱形 ABCD 中，A60，以点 D 为圆心的D 与边 AB 相切于点 E（1）求证：BC 是D 的切线；（2）设D 与 BD 相交于点 H，与边 CD 相交于点 F，连接 HF，若 AB2，求图中阴影部分的面积；（3）假设圆的半径为 r，D 上一动点 M 从点 F 出发，按逆时针方向运动，且FDM90，连接 DM，MF，当 S四边形DFHM：S四边形ABCD3

47、：4 时，求动点 M 经过的弧长25（9 分）如图，已知抛物线 yax2+x+c（a0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 A 坐标为（1，0），点 C 坐标为（0，），点 D是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，连接 CD，过点 D 作 DHx 轴于点 H，过点 A 作AEAC 交 DH 的延长线于点 E（1）求 a，c 的值；（2）求线段 DE 的长度；（3）如图，试在线段 AE 上找一点 F，在线段 DE 上找一点 P，且点 M 为直线 PF 上方抛物线上的一点，求当CPF 的周长最小时，MPF 面积的最大值是多少？参考答案与试题解析参考答案

48、与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分）1（3 分）下列图案中，不是中心对称图形的是（）ABCD【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答【解答】解：只有选项 C 连接相应各点后是正三角形，绕中心旋转 180 度后所得的图形与原图形不会重合故选：C【点评】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转 180 度后所得的图形与原图形完全重合，和正奇边形有关的一定不是中心对称图形2（3 分）初步核算并经国家统计局核定，2017 年广东全省实现地区生产总值约 90000 亿元，比上年增长 7.5%将 90000 亿元用科

49、学记数法表示应为（）元A91011B9104C91012D91010【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：90000 亿91012，故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（3 分）下列说法正确的是（）A2 的相反数是 2B2 的绝对值是 2C2 的倒数是 2D2 的

50、平方根是 2【分析】根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答即可【解答】解：A、2 的相反数是2，错误；B、2 的绝对值是 2，正确；C、2 的倒数是，错误；D、2 的平方根是，错误；故选：B【点评】此题考查了实数的性质，关键是根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答4（3 分）下列运算正确的是（）Aa2+a3a5B（a2）3a5Ca3a2aD（ab）2a2b2【分析】各项计算得到结果，即可作出判断【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式a6，不符合题意；C、原式a，符合题意；D、原式a22ab+b2，不符合题意，故选：C【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方