4三角函数平面向量学案.doc

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1、夷陵中学2013届高三数学第一轮复习学案4.1角的概念及任意角的三角函数知识梳理：1、 任意角：任意角包括_，与终边相同的角（连同在内）可以表示为集合的形式。2、 象限角和轴线角：在直角坐标系内的角分象限角和轴线角，其中第一象限的角的集合是_，在终边在轴上的角的集合是_。3、弧度制：_称为1弧度的角，记作。正角的弧度数是_，负角的弧度数是_，零角的弧度数是_，这样在角的集合与实数集R之间建立_关系。即每一个角都有惟一的一个实数（这个角的弧度数与它对应，反过来，每一个实数也都是惟一的一个角（角的弧度等于这个实数）与它对应。度与弧度的换算公式： 3、 圆心角的弧度数为，半径为的扇形中：弧长公式_，

2、面积公式_。4、任意角的三角函数：在直角坐标系中，任意角的终边上任意的一点，有，定义：分别为角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。对于确定的角，这6个比值的大小和点在终边上的位置无关。根据任意角的概念，对于相同的始边和终边，对应着无数多个角，这样我们便建立了从角的集合到比值集合的映射（是多对一的对应），即以角为自变量，以比值为函数值的函数，这些函数都叫做三角函数。三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号4、 单位圆中的三角函数线：三角函数线是单位圆中某些特定的有向线段，其数量表示三角函数值： 将MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线。题型一： 任意角的概念的

3、应用例1、（1）写出与终边相同的角的集合； （2）把的角写成的形式；（3）若角，且；（4）求。中最小的正角和最大的负角。例2、（1）写出满足下列，的关系式： 与的终边关于原点对称； 与的终边在一条直线上；与的终边关于x轴对称； 与的终边关于y轴对称；例3、（1）若是第三象限的角，试分别确定2, ,的终边所在位置。（2）若角的终边与角的终边相同，求在内终边与角的终边相同的角。题型二、扇形的弧长和面积问题例4、（1）已知扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数；（2）若扇形的周长为，则当半径和圆心角分别为多少时扇形的面积最大，并求最大值。题型三： 三角函数定义的应用例5、（1）点为角终边上一点，

4、且cos=，则求和的值；（2）若，试判断的符号；题型四、单位园中三角函数线的应用例4、在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:(1) (2) 例5、求下列函数的定义域：（1）； （2）；4.2同角三角函数的基本关系与诱导公式知识梳理：1、同角三角函数的基本关系式倒数关系：，。商数关系：，。平方关系：，。2、诱导公式：三角函数诱导公式的记忆口诀是：_2k+-+sincostan题型一：给角求值：例1求值：（1）sin(660)cos420tan330cot(690) （2）点评：用诱导公式将负角化正角，大角化小角，进一步转化为的角进行计算。奇变偶不变，符号看象限：把看作锐

5、角时加上的奇数倍的三角函数可化为异名三角函数，把看作锐角时加上的偶数倍的三角函数可化为同名三角函数，前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号。题型二：给值求值：例2已知，求的值；已知，求；已知，求的值。点评：深入挖掘隐含条件，缩小角的取值范围；利用平方关系时，要注意开方后符号的选取；思考条件式与结论式之间的关系，进行转化。例3若，求值： ； ；若，求的值；若，求的值；点评：关于一次齐次分式常化弦为切进行计算；关于二次齐次式常采用除“1”法求解；关于的问题常先求其平方。例4 已知是关于的方程的两个根，且，求的值。题型三：化简三角函数式：例5化简：； （为第四象限角）； （）点评: 注意切化弦、

6、消“元”法和方程思想的应用；根式形式的化简常采用有理化公式的深化；题型五：证明三角函数式：例6求证： 点评：从右边向左边变形，“切”化为“弦”，以减少函数的种类，达到化简的目的。题型六：综合应用：例7已知是锐角，求函数的最小值。点拨：设，则在解题中可取到消元的作用。例8.是否存在使等式，同时成立?若存在求出的值；若不存在，说明理由.例9.已知关于的方程两根分别为和， 求：的值； 的值； 方程两根及此时的值。例10.已知A、B、C的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（，若，求角的值； 若求的值。 4.3 三角函数的图象知识要点：1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2、 函数y=Asin(x

7、+)的图像(1) 五点法作y=Asin(x+)的简图：注意图像上的 点、 点、 点 （2） 通过图像变换函数y=sinx的图像变换- 其中相位变换中的平移量为个单位，时向 移，时向 移；周期变换中纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍；振幅变换中，横坐标不变，而纵坐标变为原来的 倍3、 函数(其中) 最大值 ，最小值 ，周期 ，频率 ，相位 ，初相 4、 由的图像变换为y=Asin(x+)的图像利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换

8、)先将ysinx的图象向左(0)或向右(0）平移 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(0)，便得ysin(x)的图象。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将ysinx的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(0)，再沿x轴向左(0)或向右(0平移 个单位，便得ysin(x)的图象。5、 由y=Asin(x+)的图像求其函数式 一般先确定A,再确定，最后确定。给出图象确定解析式y=Asin（x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。题型一：三角函数的图像及图像变换例1.（ ）函数的图象可由的图象怎样变换得到 A.向左平移

9、B.向左平移 C.向右平移 D.向右平移（ ）为了得到函数的图象，只需将函数的图象 A.向左平移 B.向左平移 C.向右平移 D.向右平移（ ）为了得到函数的图像，只需将函数的图像 A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移（ ）函数的部分图象是 OOOOxxxxyyyy2222ADCB( )函数的部分图象是 点评: 利用的图象通过图象变换作的图象时，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿轴方向伸缩量的区别;无论哪种变形，要切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。提倡先平移后伸缩。例2.已知函数。 （1）求它的振幅、

10、周期和初相；（2）用五点法作出它的图象；（3）说明的图象可由的图象经过怎样的变换而得到？ 点评： 用五点作图法作（）的简图：五点取法是设，由依次取来求相应的值及对应的值；用三点二线作图法作正、余切型曲线。例3.方程有 个实数根。若方程在上有两个不同的实数解，试求实数的取值范围并求所对应的的值。点评: 数形结合是数学中重要的思想方法，中学阶段对各类函数的研究都离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的。交点的个数一般转化为方程解的个数。题型二：已知函数图象求解析式图甲例4若右图甲为的部分图象，则函数解析式为 ； 1Ox图乙y若右图甲为的部分图象，则函数解析式为 ；若右图乙为的部分图象，则

11、函数解析式为 。点评:振幅，周期，频率，相位；初相（即当时的相位）（当时以上公式可去绝对值符号）；要从图象的升降情况找准上特征点在上对应的特征点。利用平衡点容易出错。（）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）例5. 如图，函数，（其中）的图象与轴交于点。（1）求的值；（2）设是图象上的最高点，是图象与轴的交点，求与的夹角的余弦值。 4.4 三角函数的性质知识要点：y=sinxy=cosxy=tanx图像定义域值域周期性最值单调性奇偶性对称性题型一：三角不等式与定义域问题例1.在内，使成立的的范围是 （ ）A.（，）（，） B.（，）C.（，） D.（，）（，）例2求下列函数的定义域：

12、（1） （2） M1的终边POyT的终边Ax点拨：利用三角函数线解三角不等式:有向线段的数量 ,；利用三角函数的图象写解集； 通过找终边公共区域写无限个（周期）区间的交集；利用数轴求无限（周期）区间与有限个区间的交集。题型二：值域和最值问题例3.设函数。若时，的最大值是，最小值是，则 ， ；函数的值域为 ；已知函数。若时方程恒有解，则的范围是 ；当函数（）取得最大值时，自变量的集合为 ；函数的值域是 ；已知函数在区间上的最小值是，则的最小值是 。例4. 在中，已知内角，边设内角，周长为。（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值。 点拨：含有三角函数的复合函数常先将解析式化为一次型或二次型

13、后，再通过换元来研究该函数的性质。（其中可为）题型三：单调性问题例5. （1）函数的单调增区间为 ； （2）函数的单调递区间为 ；（3）函数的单调增区间为 。点拨：用复合函数单调性判断方法求单调区间；要特别注意函数的定义域；一般要注明。题型四：奇偶性问题例6.判断下列函数的奇偶性：（1） （2） 点拨：先求定义域，再用定义判断奇偶性。题型五：对称中心（轴）问题例7.函数的图象一个对称中心的坐标是 （ ）A. B. C. D. 函数的图像的对称轴方程是 ；如果函数的图像关于直线对称，则实数的值为 ；如果把函数的图象向左平移个单位后所得到的图象关于轴对称，则的最小值为 。点拨： （其中为）图象的对

14、称轴是过最值点且垂直于轴的直线，即若对称轴为则；对称中心就是平衡点，即对称中心为。例8.已知函数是上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。 题型六：周期性问题例9.指出下列函数是不是周期函数，若是，求出其周期： 点拨：求函数周期的常用方法有：公式法、图象法、定义法、性质法。例10 （1）函数，对任意实数，在区间上的值出现的次数不少于次且不多于次，求的值。（2）为使函数在区间上至少出现次最大值，求的最小值。（3）函数的图像与直线在轴右侧的交点按横坐标从小到大依次为，且，求的值。 5.1两角和与差.二倍角公式一、知识点归纳1和差角公式 2辅助角公式 （，）3.倍角公式 = =

15、 2cos2=1+cos2 2sin2=1-cos2 4.半角公式 5. 万能公式： 二、例题分析题型一：公式的熟练运用例1.1、下列各式中，值为的是（）A. B. C. D.2、等于 ( )A.1 B.2 C.1 D.23、在中，求的值4、5、6、 7、点评：注意公式的正用、逆用、变用。题型二：三角函数式的化简：常见题型：根式形式；多项式形式；分式形式；化简目标：尽量求出值；三角函数种类尽量少；项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数；次数尽量低；尽量不含分母和根号。常用方法：直接应用公式进行降次.消项；切割化弦；异名化同名，异角化同角；异次化为同次；特殊值与特殊角的三

16、角函数值互化。例2. 化简： 则 点评：注意：角度的特点；函数名的特点；化切为弦是常用手段；升降幂公式的灵活应用。题型三：求值： 给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；例3.计算： 分析：将切函数化成弦函数，转化成特殊角的三角函数，再利用两角和与差的三角函数即可求解。点评：注意常值代换在化简求值中经常用到；如1、等有时需将其转化成某个角的三角函数。sin220+cos280+sin20cos80tan20+4sin20点评：寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去

17、一些非特殊角的三角函数值；常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值；例4已知，且， ，求的值.已知，求的值点评：解题的关键在于“变角”，把所求角用已知角表示如()-()；等，求解时要重视角的范围对三角函数值的影响，要讨论角的范围。例5（1）已知=，0 c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）边与角关系：正弦定理 （R为外接圆半径）；余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA；它们的变形形式有：a = 2R sinA，。5三

18、角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在ABC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r为三角形内切圆半径，p为周长之半。（3）在ABC中，熟记并会证明：A，B，C成等差数列的充分必要条件是B=60；ABC是正三角形的充分必要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列。四【典例解析】题型1：利用正、余弦定理解三角形例1在ABC中，（1）若b=,c=1,B=45o,求a及C的值；（2）若A=

19、600，a=7,b=5,求边C。点评：（1）可直接使用正弦定理求解，注意解的个数的判断，也可利用余弦定理求解；（2）题目条件是已知两边及一边的对角，这种情况一般用正弦定理理解，但本题不求B，并且求出sinB后发现B非特殊角，故用正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列出关于c的方程求解。练习：在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求b题型二：判断三角形的形状例2 在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果，判断三角形的形状点评：分别以a2和b2为同类项整理已知条件展开和转化为边或角关系求解得三角形形状。例3在中，若,试判断三角形的形状.练习：在ABC中，若2cos

20、BsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形点评：“边化角”或“角化边”是解决此类问题的思路题型三.三角形中的面积问题例4在中，求的值和的面积。例5在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.1.求的值； 2.若cosB=，,求的面积.题型4：三角形中最值问题例6.中，则AB+2BC的最大值为_例7的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。题型5：三角形中的三角恒等变换问题例8在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值。例9在A

21、BC中，已知A、B、C成等差数列，求的值。点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。题型6.三角形中的范围问题例10.在ABC中则A的取值范围是（ ） A（0， B ，） C（0， D ，）例11已知在中，所对的边长分别为成等比数列求的范围.例12已知在中，求的取值范围.练习：在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 点评：三角形中的范围问题常常建立目标函数，再求目标函数的范围。 6.2 解三角形应用【知识清单】1、实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（

22、如图）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为（如图）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图） 北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；南偏本等其他方向角类似。（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图，角为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图，为坡比）类型一 与距离有关的问题例1 某观测站C在A城的南偏西200的方向。由A城出发的一条公路，走向是南偏东400，在C处测得公路上B处有一人距

23、C为31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A城？1.一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；（4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。2解斜三角形应用题常有以下几种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量

24、涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解；（3）实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理。练习 如图，公路MN和PQ在P处交汇，且QPN=300，在A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受影响？请说明理由。如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/小时，那么学校受影响的时间为多少？类型二 与高度有关的问题例2 某人在塔的正东沿着南偏本600的方向前进40米后望见在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为300，求塔高。

25、点评：1、在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；2、准确理解题意，分清已知与所求，画出示意图；3、运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用。类型三 与角度有关的问题例3 在海岸A处，发现北偏东450方向，距A处n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏本750的方向，距离A处2n mile的C处的缉私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船。此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东300方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？点评：1、测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义；2、

26、在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点。类型4 综合应用问题例4 为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤7.1 平面向量的概念及线性运算1.平面向量的有关概念：向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长

27、度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，或用，表示.模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|.零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2.实数与向量的积：定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，规定： 即 当0时，a的方向与a的方向 ；当0时，a的方向与a的方向 ；当=0时，a与a .运算律：（a）= ；（+）a= ，（a+b）= .典例解析：例1 给出下列命题向量的长度与向量的长度

28、相等；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；两个有共同终点的向量，一定是共线向量；向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为 .例2下列命题中真命题的个数为 .若|a|=|b|，则a=b或a=-b;若=，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点；若a=b,b=c,则a=c;若ab,bc,则ac.例3 如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，ABDC，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a，=b，=c，试用a、b、c表示，+.例4在OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在

29、OB上取点D，使DB=OB.DC与OA交于E，设=a，=b，用a,b表示向量，.例5 设两个非零向量a与b不共线，（1）若=a+b,=2a+8b,=3(a-b)，求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数k，使ka+b和a+kb共线.例6若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上？例7 如图所示，在ABO中，=,=,AD与BC相交于点M，设=a，=b.试用a和b表示向量.例8如图所示，在ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求APPM的值.7.2 平面向量基本定理及坐标表示两个重要定理：向量共线定理：向量b与非零向量a共线ba（a0）有且仅有一个实数，使得 （a0）.对任意向量a、b由b=a a0时对任意b都有 ba，但当b0时有 个满足b=a；当b0时 满足b=a；平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数1、2，使a= 典例解析：例1 设两个非零向量e1和e2不共线.（1）如果=e1-e2，=3e1+2e2，=-8e1-2e2，求证：A、C、D三点共线；（2）如果=e1+e2，=2e1-3e2，=2e1-ke2，且A、C、D三点共线，求k的值.例2如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，B