20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题11.3 证明(解析版).docx
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1、11.311.3 证明证明【套路秘籍】-始于足下始于足下始于足下始于足下一开门见山证明(1)定义:开门见山从原命题的条件逐步推得命题成破的证明方法(2)一般方法ABC此题结论(3)综合理定义:从已经清楚条件出发,以已经清楚的定义、公理、定理为按照,逐步下推,直到推出要证明的结论为止这种证明方法常称为综合理推证过程(4)分析法定义:从征询题的结论出发,追溯导致结论成破的条件,逐步上溯,直到使结论成破的条件跟已经清楚条件或已经清楚理想契合为止这种证明方法常称为分析法推证过程 二开门见山证明(1)常用的开门见山证明方法有反证法、一致法等(2)反证法的全然步伐反设假定命题的结论不成破,即假定原结论的反
2、面为真归谬从反设跟已经清楚条件出发,经过一系列精确的逻辑推理,得出冲突结果存真由冲突结果,断定反设不真,从而确信原结论成破【修炼套路】-为君聊赋往日诗为君聊赋往日诗,努力请从往日始,努力请从往日始考向一综合理【例 1】已经清楚,且,求证:.【答案】证明看法析【分析】由,得,即,因而,因而,故原等式成破【举一反三】1已经清楚函数?ali b al?ilnla?耀i.1假定函数?ali在?i上是增函数,求负数?的取值范围;2事前?,设函数?ali的图象与x轴的交点为?,?,曲线?b?ali在?,?两点处的切线歪率分不为?,?,求证:?+?耀.【答案】1a耀?;2看法析.【分析】1?ali b al
3、?ilnla?耀i,?ali bllnll?l,设?ali b llnl l?,?函数?ali在?i上是增函数,?ali b llnl l?耀 在?i上恒成破,即?llnl l在?i上恒成破,设?ali b llnl l,那么?ali b lnl?,?l?,?ali?,?ali b llnl l 在?i上是增函数,?ali?,由?llnl l 在?i上恒成破,得?,?耀,耀?,即?的取值范围是a耀?.2?,?由?ali b al?ilnl b 耀,得l?b?,l?b?,不妨设?a?耀i?a?耀i.?ali bllnll?l,?b?,?bln?,?+?bln?,设?ali b lnl?l?,那么
4、?ali b?ll,?耀?l?时,?ali?耀,l?时,?ali?耀,因而 l b?为?ali b lnl?l?的极大年夜值点,因而?ali b lnl?l?的极大年夜值即最大年夜值为?a?i b耀,即?ali b lnl?l?耀,?耀 且?,?耀 且?,?a?i b ln?耀,?+?bln?耀.2假定a,b,c是不全相当的负数,求证:lglglglgalgblgc.【答案】看法析【分析】证明a,b,c(0,),0,0,0.由于a,b,c是不全相当的负数,上述三个不等式中等号不克不迭同时成破,abc0 成破上式单方同时取常用对数,得lglg(abc),lglglglgalgblgc.考向二分析
5、法【例 2】11已经清楚,且,试用分析法证明不等式【答案】看法析【分析】要证,只需证,只需证,由于只需证,只需证,即证或,只需证,而由,可得,因而【举一反三】1 1已经清楚?耀,?耀,用分析法证明:?;2已经清楚 a?耀,用分析法证明:?【答案】1证明见试题分析;2证明见试题分析【分析】1要证?,只需证?,即证?耀,由于 a?耀,?耀,?与?同号,因而?耀 成破,因而?成破2要证?,只需证?由于 a?耀,故只需证?,即证?,从而只需证?,只需证?,即证?,而上述不等式显然成破,故?考向三反证法【例 3】设,且,用反证法证明:至多有一个大年夜于。【答案】见证明【分析】证明:反证法假定结论不成破,
6、即,而这与相冲突故至多有一个大年夜于。【套路总结】【套路总结】使用反证法证明数学命题,一般有以下几多个步伐:第一步:分清命题“pq的条件跟结论;第二步:作出与命题结论q相反的假定綈q;【举一反三】1 1已经清楚,试用反证法证明:中至多有一个不小于 1;2已经清楚实数,称心,求证:,中至多有一个是负数【答案】1证明见试题分析;2证明见试题分析【分析】1假定均小于 1,即,那么有,而,与假定冲突,因而假定不成破,故中至多有一个不小于 12假定,这与相冲突,因而原假定不成破,故中至多有一个是负数考向四数学归纳法【例 4-1】用数学归纳法证明:(nN N*)【答案】看法析【分析】证明当n1 时,右边,
7、右边,右边右边,因而等式成破假定nk(kN N*,k1)时等式成破,即有,那么当nk1 时,.因而当nk1 时,等式也成破由可知,关于一切nN N*等式都成破【例 4-2】用数学归纳法证明不等式:1(nN N*且n1)【答案】看法析【分析】证明当n2 时,1 成破设nk(kN N*,k1)时,1 成破由于当k1 时,k2k10,即k(2k1)k22k1,那么当nk1 时,1111.综合可知,原不等式对nN N*且n1 恒成破【套路总结】【套路总结】1由一系列有限的特不现象得出一般性的结论的推理方法,素日叫做归纳法2用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,其步伐如下:(1)归纳奠基:证明取第一
8、个自然数 n0时命题成破;【举一反三】1用数学归纳法证明:1(nN N*)【答案】看法析【分析】证明当n1 时,等式右边1右边,等式成破假定当nk(kN N*)时,等式成破,即 1,那么,当nk1 时,有 1,因而当nk1 时,等式也成破由知,等式对任何nN N*均成破2.求证:对一切正整数n,42n13n2都能被 13 整除【答案】看法析【分析】证明当n1 时,421131291 能被 13 整除假定当nk(kN N*)时,42k13k2能被 13 整除,那么当nk1 时,42(k1)13k342k1423k2342k1342k1342k1133(42k13k2),42k113 能被 13
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